BertJanssen-RelatividadGeneral-125

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puramente en términos de derivadas parciales, ya que la contracción de la conexión simétrica y
el tensor de Levi-Civita antisimétrico es idénticamente cero:
(~∇× ~A)µ = εµνρ
(
∂νAρ − ΓλνρAλ) = εµνρ ∂νAρ. (8.29)
También las expresiones para la divergencia y el laplaciano son más sencillas. De la misma defi-
nición (8.7) de la conexión de Levi-Civita se puede demostrar con el uso de (A.23) que el sı́mbolo
de Christoffel con dos ı́ndices contraı́dos se puede escribir como (ejerc.)
Γνµν =
1
√
|g|
∂µ
√
|g|. (8.30)
Usando esta propiedad, la divergencia de un vector y el laplaciano de un escalar toman la forma
~∇ · ~A = 1√
|g|
∂µ
[
√
|g|Aµ
]
, ∇2φ = 1√
|g|
∂µ
[
√
|g| ∂µφ
]
. (8.31)
No es difı́cil ver que esta expresión para la divergencia es incluso válida para tensores antisimétri-
cos: si T µ1...µm es un tensor completamente antisimétrico, entonces (ejerc.)
∇µT µν1...νm−1 =
1
√
|g|
∂µ
[
√
|g|T µν1...νm−1
]
. (8.32)
Es instructivo ver hasta qué punto las conocidas identidades de las diferentes operadores dife-
renciales actuando unos sobre otros generalizan de RN (R3 en caso de rotacionales) a variedades
arbitrarias. Claramente, la divergencia de un gradiente sigue siendo el laplaciano,
~∇ · (~∇φ) = ∇µ∂µφ = ∇2φ, (8.33)
básicamente por la misma definición de los operadores. El caso del rotacional de un gradiente
también es bastante directo:2
(~∇× ~∇φ)µ = εµνρ ∇ν∇ρφ =
1
2
εµνρ [∇ν ,∇ρ]φ = 0, (8.34)
El caso de la divergencia de un rotacional es un poco más sútil. El conocido resultado de RN
generaliza a variedades curvas, pero gracias a la identidad de Bianchi (8.9):
~∇ · (~∇× ~A) = εµνρ ∇µ∇νAρ =
1
2
εµνρ [∇µ,∇ν ]Aρ =
1
2
εµνρ Rµνρ
λAλ = 0. (8.35)
Finalmente el rotacional de un rotacional sı́ da un resultado distinto cuando hay curvatura:
(~∇× ~∇× ~A)µ = εµνρερλσ∇ν∇λAσ
= ∇ν∇µAν − ∇ν∇νAµ
= gµλ
[
∇λ∇νAν + RνλσνAσ
]
− ∇2Aµ
= ∇µ∇νAν − ∇2Aµ − RµσAσ, (8.36)
donde en la segunda igualdad hemos usado la identidad para la contracción de dos tensores de
Levi-Civita,
εµνρελσρ = δ
µ
λδ
ν
σ − δνλδµσ . (8.37)
2Por lo menos en el caso de que la conexión sea Levi-Civita, al que nos limitaremos aquı́. Dejamos como ejercicio
derivar el equivalente para conexiones arbitrarias.
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