BertJanssen-RelatividadGeneral-127

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pequeño entorno alrededor de un punto p podemos expandirla como
gµν(x) ≈ gµν(p) + ∂ρgµν(p)xρ +
1
2
∂ρ∂λgµν(p)x
ρ xλ + . . . (8.41)
donde por simplicidad (pero sin pérdida de generalidad) hemos elegido xµ(p) = 0. Del mismo
modo en las coordenadas localmente inerciales yi tenemos que
gij(y) ≈ gij(p) + ∂kgij(p) yk +
1
2
∂k∂lgij(p) y
k yl + . . . (8.42)
Las dos expresiones de la métrica obviamente están relacionadas a través de un cambio de coor-
denadas (6.29),
gij(y) =
∂xµ
∂yi
∂xν
∂yj
gµν(x), (8.43)
donde a su vez podemos expandir el cambio de coordenadas xµ = xµ(y) en una serie de Taylor
como
xµ ≈ ∂x
µ
∂yi
(p) yi +
∂2xµ
∂yi∂yj
(p) yi yj +
∂3xµ
∂yi∂yj∂yk
(p) yi yj yk + . . . (8.44)
Sustituyendo (8.41) , (8.42) y (8.44) en (8.43) obtenemos (esquemáticamente) que (ejerc.)
g′(p) + ∂g′(p) y + ∂∂g′(p) y2 ≈
[∂x
∂y
∂x
∂y
g
]
(p) +
[∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂g +
∂x
∂y
∂2x
∂y∂y
g
]
(p) y (8.45)
+
[∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂∂g +
∂x
∂y
∂x
∂y
∂2x
∂y∂y
∂g +
(∂x
∂y
∂3x
∂y∂y∂y
+
∂2x
∂y∂y
∂2x
∂y∂y
)
g
]
(p) y y + ...
donde el acento sólo indica que escribimos la métrica en coordenadas yi. Comparando el lado
izquierdo con el lado derecho de esta ecuación tenemos entonces que
g′(p) =
[∂x
∂y
∂x
∂y
g
]
(p), (8.46)
∂g′(p) =
[∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂g +
∂x
∂y
∂2x
∂y∂y
g
]
(p),
∂∂g′(p) =
[∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
∂∂g +
∂x
∂y
∂x
∂y
∂2x
∂y∂y
∂g +
(∂x
∂y
∂3x
∂y∂y∂y
+
∂2x
∂y∂y
∂2x
∂y∂y
)
g
]
(p).
El resto es combinatoria: g′ij(p) es un tensor simétrico, de modo que en una variedad N -
dimensional tiene 12N(N + 1) componentes independientes. Por otro lado, la matriz ∂x
µ/∂yi
tiene N2 entradas independientes, asi que, sea lo que sea el valor de gµν(p), siempre podemos
elegir los ∂xµ/∂yi tal que gij(p) = δij .
4
Una vez elegidas las ∂xµ/∂yi, las primeras derivadas de la métrica ∂kgij(p) están determina-
das por las segundas derivadas del cambio de coordenadas ∂2xµ/∂yi∂yj . No es difı́cil ver que hay
1
2N
2(N + 1) componentes ∂kgij(p) y exactamente la misma cantidad de entradas ∂
2xµ/∂yi∂yj ,
de modo que siempre hay suficiente libertad para elegir los xµ(yi) tal que ∂kgij(p) = 0.
Sin embargo, los números ya no cuadran cuandomiramos las segundas derivadas de lamétri-
ca: dado que ∂k∂lgij es simétrico en tanto en i y j, como en k y l, tenemos
1
4N
2(N + 1)2 se-
gundas derivadas independientes de gij , mientras sólo hay
1
6N
2(N + 1)(N + 2) componentes
∂3xµ/∂yi∂yj∂yk. Podemos por lo tanto igualar a cero una parte de las entradas de ∂k∂lgij , pero
siempre quedarán 112N
2(N2 − 1) componentes que no podemos elegir. Veremos en breve que no
4Se puede demostrar que los restante 1
2
N(N − 1) componentes de ∂xµ/∂yi son exactamente las componentes de las
transformaciones ortogonales SO(N) que preservan la forma de la métrica δij (ηµν ).
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