BertJanssen-RelatividadGeneral-128

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es casualidad que este número es precisamente el número de componentes independientes del
tensor de Riemann.
Resumiendo, para cualquier punto de una variedad siempre podemos elegir unas coordena-
das tal que la métrica en una pequeña región alrededor de este punto sea de la forma
gij(x)
∗
= δij + O(∂2g y2). (8.47)
En el fondo no es demasiado profundo lo que acabamos de hacer. Sabemos que una variedad
MN es un espacio que localmente parece RN , porque en cada punto p podemos definir el espa-
cio tangente Tp(M), que es isomorfo a RN . Lo que quiere decir la expresión (8.47) es que en una
región suficientemente pequeña alrededor de p, el espacio tangente Tp(M) es una buena aproxi-
mación de la variedad y las coordenadas localmente inerciales son las coordenadas cartesianas
en el espacio tangente. Además vemos que la diferencia local entre la metrica gij de la variedad y
la métrica δij (ηµν) del plano tangente es un efecto de segunda orden. Matemáticamente hablan-
do gij será de la forma δij (ηµν) solamente en el punto p, ni siquiera en una pequeña región, ya
que las derivadas segundas no son cero. Pero desde el punto de vista fı́sico, siempre habrá una
pequeña región donde este efecto de segundo orden es demasiado pequeño para ser detectado y
en la cual no se nota la diferencia entre la variedad curva y el espacio tangente. La extensión de
esta región dependerá de la sensibilidad de los aparatos experimentales usados.
Nótese que las coordenadas localmente inerciales serán diferentes en puntos diferentes, ya
que el cambio de coordenadas para ir a estas coordenadas varı́a de punto en punto. Por lo tanto
siempre es posible llevar la métrica a la forma (8.47) en cualquier punto p, pero en general no es
todos los puntos a la vez (sino el espacio serı́a plano). Esto coincide con la idea rudimentaria que
teniamos de una variedad: un conjunto de parches que son localmente planos y “pegados” de
forma suave tal que forma un espacio que globalmente no es plano.
El hecho de que en coordenadas localmente inerciales las primeras derivadas de lamétrica son
idénticamente cero en un punto p, implica que en estas coordenadas los sı́mbolos de Christoffel
Γρµν son cero en este punto, ya que éstas se construye directamente de las derivadas de la métrica.
El cambio de coordenadas es en realidad el mismo que el que hemos construido antes, pe-
ro es instructivo ver cómo funciona para los sı́mbolos de Christoffel a través de las reglas de
transformación (7.15). Considera el cambio de coordenadas
yi = xµ δiµ +
1
2
M iµνx
µxν , (8.48)
dondeM iµν sonN
3 constantes que quedan por determinar. Tomemos, sin pérdida de generalidad,
como el origen xµ = 0 del sistema de referencia el punto p donde queremos construir el sistema
localmente inercial. Bajo este cambio de coordenadas la conexión transforma en el punto xµ = 0
como
Γkij(p) = δ
µ
i δ
ν
j δ
k
ρ Γ
ρ
µν(p) − Mkµν δµi δνj . (8.49)
Con la elección apropiada de las constantes M iµν = Γ
ρ
µν(p) δ
i
ρ, podemos conseguir que en el punto
p la conexión en las coordenadas yi tengan el valor Γkij(p)
∗
= 0. Nótese otra vez que el cambio de
coordenadas con esta elección de las M iµν sólo anula la conexión en el punto p. Para poder anular
la conexión en un punto q 6= p hará falta otra elección de las constantes, es decir,M iµν = Γρµν(q) δiρ.
Nótese que sólo hemos conseguido imponer una condición sobre el valor de los sı́mbolos de
Christoffel en un punto p, pero no sobre sus derivadas. Por lo tanto, aunque la métrica tome la
forma (8.47) y aunque Γkij(p)
∗
= 0, el tensor de Riemann sigue teniendo una forma no-trivial
Rijk
l(p)
∗
= ∂iΓ
l
jk(p) − ∂jΓlik(p). (8.50)
Son precisamente las segundas derivadas de gij , que no logramos anular en el cambio a coorde-
nadas localmente inerciales que contribuyen al tensor de Riemann y las derivadas de los sı́mbolos
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