BertJanssen-RelatividadGeneral-131

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µ
σ
τ
sµ
u
Figura 8.1:Una familia de geodésicas γσ(τ), donde τ es el parámetro afı́n a lo largo de cada geodésica y σ el
parámetro que identifica cada geodésica dentro de la familia. La familia de geodésicas define una superficie
bidimensional dentro de la variedad y en cada punto se pueden definir los vectores uµ y sµ que representan
respectivamente la velocidad a lo largo de la geodésica y la separación entre geodésicas cercanas.
de que uµ y sµ formen una base en la superficie, implica que satisfacen la siguiente condición:6
uρ∇ρsµ = sρ∇ρuµ. (8.58)
Aparte de la velocidad uµ a lo largo de la geodésicas y la separación sµ entre geodésicas cercanas,
podemos definir los vectores V µ y Aµ como
V µ = uρ∇ρsµ, Aµ = uρ∇ρV µ, (8.59)
que representan cuánto cambia la separación entre distintas geodésicas a lo largo de la curva a
primer y segundo orden. En cierto modo V µ es la velocidad de receso, que dice cuánto aumen-
ta la distancia entre las geodésicas según vayan avanzando, y Aµ la aceleración relativa entre
geodésicas, que mide los cambios en la velocidad de recesión. Ojo, no se deben confundir ningu-
na de estos conceptos con la (cuadri)velocidad y la aceleración de las partı́culas que se mueven a
lo largo de las geodésicas.
Ahora, la desviación geodésica es una relación entre la aceleración relativa y la curvatura de
la variedad. En particular para Aµ tenemos que
Aλ = uν∇ν(uµ∇µsλ)
= uν∇ν(sµ∇µuλ)
= (uν∇νsµ)∇µuλ + uνsµ∇ν∇µuλ
= (sν∇νuµ)∇µuλ + uνsµ∇µ∇νuλ + uνsµRνµρλuρ
= (sν∇νuµ)∇µuλ + sµ∇µ(uν∇νuλ) − (sµ∇µuν)∇νuλ − Rµνρλsµuνuρ
= −Rµνρλsµuνuρ (8.60)
donde en las segunda y la cuarta igualdad hemos usado la propiedad (8.58), en la tercera y la
quinta la regla de Leibniz para derivadas covariantes y en la sexta que γσ(τ) es una geodésica y
que por lo tanto uν∇νuλ = 0.
6En el Capı́tulo ?? veremos que esto quiere decir que el conmutador entre los dos vectores es cero: [u, s]µ = 0.
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