BertJanssen-RelatividadGeneral-133

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b
s
Figura 8.2: La desviación geodésica en la esfera bidimensional: la separación ~s entre dos geodéscias varı́a
entre un máximo y cero, ya que cualesquieras dos cı́rculos máximos se cruzan en dos exactamente puntos.
Las dos ecuaciones para θ = θ(τ) y ϕ = ϕ(τ) se pueden combinar en una sola ecuación para
θ = θ(ϕ), (ejerc.)
dθ
dϕ
= R−10 ℓ
−1
√
sin4 θ − R20 ℓ2 sin2 θ (8.68)
que tiene como solución (ejerc.)
sin(ϕ − ϕ0) =
R0 ℓ
√
1 − R20ℓ2
cotg θ. (8.69)
Para dar una interpretación geométrica de lo que representa esta ecuación, es útil escribirla como
− sin ϕ0 sin θ cosϕ + cosϕ0 sin θ sin ϕ −
R0 ℓ
√
1 − R20ℓ2
cos θ = 0, (8.70)
que, multiplicado por r e identificando A = − sinϕ0, B = cosϕ0 y C = R0ℓ(1 − R20ℓ2)−
1
2 , no es
más que la ecuación en coordenadas esfércias de un plano que pasa por el origen de R3:
Ax + By + Cz = 0. (8.71)
En otras palabras la solución (8.69) de la geodésica en S2 es la intersección de esa esfera con un
plano que pasa por el origen, lo que viene a ser un cı́rculo máximo (un cı́rculo que tiene como
centro el centro de la esfera), donde los constantes de integración ℓ y ϕ0 determinan la inclinación
y la orientación de ese cı́rculo máximo con respecto al ecuador.
Una vez determinadas las geodésicas en la esfera bidimensional, es útil calcular la desviación
geodésica. Tomamos por simplicidad como geodésica de referencia uno de los meridianos, es
decir un cı́rculo máximo que pasa por los polos, y como segunda geodéscia otro meridiano que
en el ecuador está separado por una distancia b del primero (véase Figura 8.2).
La ecuación de la desviación geodésica (8.61) impone entonces las siguientes condiciones so-
bre las componentes del vector de separación ~s:
∇2sθ
dτ2
= −Rϕθθθ sϕ uθ uθ,
∇2sϕ
dτ2
= −Rϕθθϕ sϕ uθ uθ, (8.72)
Parametrizando las geodésicas como γs(τ) = τ = R
−1
0 θ, tenemos entonces que ~u = R
−1
0 ~eθ, de
modo que con las expresiones (8.16) para el tensor de Riemann de la S2, estas ecuaciones se
reducen al siguiente sistema de ecuaciones diferenciales desacopladas:
d2sθ
dθ2
= 0,
d2sϕ
dθ2
= −sϕ. (8.73)
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