BertJanssen-RelatividadGeneral-138

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L + L∆
ω
L 
0
0
Figura 9.1:Masa inercial y masa gravitacional: La frecuencia de oscilación ω de un cuerpo colgado de un
muelle depende de la masa inercial mi del cuerpo, mientras la extensión ∆L del muelle en la posición de
equilibrio depende de la masa gravitacional mg.
La masa inercial es por lo tanto una medida para la resistencia de un cuerpo a cambios de ve-
locidad. Por otra parte, la masa gravitacional mg es una medida de cómo interacciona un cuerpo
gravitacionalmente con los demás cuerpos en el universo. El potencial gravitatorio causado por
un cuerpo sobre otro viene dado por
V =
GN mgMg
r
, (9.2)
donde GN es la constante de Newton y r la distancia entre las dos masas mg y Mg.
A priori estas dos cantidades fı́sicas no tienen nada que ver la una con la otra y las distin-
tas maneras de medir la masa de un cuerpo miden en realidad una de estas dos posibilidades,
dependiendo del experimento. Por ejemplo, colgando una masa de un muelle con constante de
elasticidad k, la ecuación de movimiento de la masa viene dada por la segunda ley de Newton
kx = miẍ, (9.3)
de modo que midiendo la frecuencia ω =
√
k/mi, obtenemos la masa inercial. Sin embargo, en la
posición de equilibrio, la fuerza del muelle está compensada por la fuerza gravitacional1
k∆L = mgg, (9.4)
donde g es la aceleración gravitatoria y ∆L el desplazamiento de la longitud de reposo del mue-
lle. Por lo tanto, el desplazamiento ∆L = mgg/k nos da una medida para la masa gravitacional
(Véase Figura 9.1).
El hecho de que todos los cuerpos caigan con lamisma velocidad implica que hay una relación
entre estos dos tipos de masas. Efectivamente, la ecuación de movimiento de una masa en caı́da
libre viene dada por la segunda ley de Newton, donde ~F = −mgg~ez es la fuerza de la gravedad
galileiana
− mg g = mi z̈. (9.5)
En general la solución de esta ecuación es de la forma
z(t) = −1
2
mg
mi
g t2 + v0t + z0, (9.6)
donde v0 y z0 son constantes de integración determinadas por las condiciones iniciales. Pero si
queremos explicar por qué dos cuerpos con distintas masas (inerciales y gravitacionales) y con
1Aquı́ consideraremos la gravedad galileiana, es decir un campo gravitatorio constante, cerca de la superficie de la
Tierra.
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