BertJanssen-RelatividadGeneral-150

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O1 O2 O3 O4
Peso No Sı́ No Sı́
Curvatura No No Sı́ Sı́
Métrica ηµν gαβ =
∂xµ
∂yα
∂xν
∂yβ
ηµν ηαβ + O(x2) gµν
Γρµν = 0 6= 0 = 0 + O(x) 6= 0
Rµνρ
λ = 0 = 0 6= 0 6= 0
Cuadro 9.1: Resumen de lo que cada uno de los cuatro observadores tiene en común y lo que les distingue
de los demás observadores: O1 y O3 tienen la misma sensación de peso (al igual a O2 y O4), por lo que
el Principio de Equivalencia puede declararles equivalentes. Sin embargo, no ven la misma curvatura, de
modo que la equivalencia sólo es local. O1 y O2, al estar en el mismo espacio (al igual que O3 y O4) ven la
misma geometrı́a y los efectos de ésta sobre la fı́sica. Nótese que la sensación de peso está codificada en los
sı́mbolos de Christoffel, mientras que la curvatura lo está en el tensor de Riemann.
recido al de O4, aunque se dará cuenta de su interpretación erronea en cuanto decida cambiar a
coordenadas localmente inerciales. En esta caso de encontrará con la sorpresa de que su campo
gravitatorio no sólo desaparece en una pequeña región alrededor de él, sino en el espacio entero,
ya que sus coordenadas localmente inerciales son en realidad las coordenadas cartesianas de O1.
En este sentido está claro que es O2 él que está acelerado, y no O1, ya que sólo O1 sigue una
trayectoria geodésica en el espacio de Minkowski.
Se puede expresar todo este análisis en términos matemáticos: ya hemos visto en la Parte II
que la curvatura de un espaciotiempo viene codificada en el tensor de Riemann Rµνρ
λ, y al ser
éste un objeto covariante, todos los observadores del mismo espaciotiempo coincidirán sobre su
valor (módulo cambios generales de coordenadas). Por otro lado, la sensación de peso depende
de la manera en que se muevan los observadores y se puede eliminar a través de un cambio
de coordenadas. Eso es posible porque la sensación de peso está codificada en los sı́mbolos de
Christoffel Γρµν , que efectivamente no son tensoriales y pueden ser igualadas a cero localmente a
través de un cambio de coordenadas. Además, sabemos que los sı́mbolos de Christoffel pueden
ser distintos de cero en coordenadas curvilı́neas en el espacio plano, lo que explica por qué el
observador O2 nota su peso aún en ausencia de curvatura, mientras que O3 no lo nota en un
espacio curvo (véase Cuadro 9.1).
Finalmente, nos podemos preguntar a cuál de estos observadores podrı́amos llamar inerciales.
Para la mecánica newtoniana e incluso la relatividad especial, el asunto es muy sencillo: aunque
las posiciones y las velocidades son relativas, las aceleraciones son absolutas, en el sentido de que
las nota cualquier observador. Por lo tanto un observador puede saber perfectamente si está en un
sistema inercial o no: si se nota que las partı́culas en su sistema de referencia sufren aceleraciones
no-inerciales, es decir, aceleraciones que no se atribuyen a fuerzas que actúan sobre las partı́culas,
entonces el sistema no es inercial. Por otra lado, si todas las aceleraciones se pueden adscribir a
fuerzas (es decir, si es válida la segunda ley de Newton), el sistema es inercial. En este sentido,
Newton no hubiera dudado en llamar inerciales a O1 y O4, ya que los dos son observadores
estáticos, el primero en ausencia de gravedad y el segundo en un campo gravitatorio, mientras
que de ninguna manera hubiera pensado en O2 y O3 como inerciales.
Sin embargo, el Principio de Equivalencia complica seriamente esta idea ingenua. Hemos
visto que el Principio de Equivalencia relaciona las experiencias de observadores inerciales à la
Newton con no-inerciales (O1 con O3 y O2 con O4), afirmando que por lo menos localmente no
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