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ó RµρλσRν ρλσ darı́an lugar a ecuaciones diferenciales de orden más alto que 2.1 Posibles candidatos más o menos obvios para Gµν podrı́an ser la misma métrica gµν , su d’Alambertiano ∇ρ∇ρgµν o el tensor de Ricci Rµν , pero pensando un poco uno se da cuenta en seguida de que ninguna de estas posibilidades cumple todas las condiciones mencionadas arriba. Aunque la métrica tiene el rango y las simetrı́as adecuadas y satisface la condición ∇µgµν = 0, tiene la desventaja de que no cumple la condición 5: la ecuación gµν = −κTµν no es una ecuación dinámica, ni mucho menos recupera la ecuación de Poisson (5.58). El d’Alambertiano ∇ρ∇ρgµν sufre del problema opuesto, ya que satisface (casi) todas las condiciones, pero es identicamente cero, por el hecho de que la conexión de Levi-Civita es compatible con la métrica, como conta- mos en la sección 8.1. Finalmente, Rµν no satisface la condicón 4, sino ∇µRµν = 12∂νR, como vimos en (8.13). Por lo tanto, la ley de conservación de energı́a impondrı́a que las únicas métricas permitidas serı́an las que tienen ∂µR = 0, lo que no es una realista de esperar. 2 En realidad las condiciones 1 - 6 determinan el tensor Gµν unı́vocamente: se puede demostrar que la expresión más general para un tensor simétrico de rango (0, 2), construido de la métrica y sus derivadas y lineal en Rµνρλ es, salvo una constante común, de la forma Gµν = Rµν + αgµνR + gµνΛ(x), (10.18) con α una constante y Λ(x) una función escalar con dimensiones ML−3. Exigir que ∇µGµν = 0 implica que α = −1/2 y que Λ es una constante, mientras que exigir que Gµν = 0 para el espacio plano implica que Λ = 0. Por lo tanto el único tensor que satisface todas las condiciones necesarios es el tensor de Einstein, introducido en (7.40), Gµν = Rµν − 1 2 gµνR. (10.19) Una comparación con las fórmulas newtonianas (vease sección 11.1) fija la constante de pro- porcionalidad κ = 8πGN , donde GN es la constante de Newton, de modo que las ecuaciones de Einstein vienen dadas por Rµν − 1 2 gµνR = −8πGNTµν . (10.20) Las ecuaciones de Einstein forman un sistema de 10 ecuaciones diferenciales parciales no- lineales acopladas de segundo orden, lo que hace que sean muy difı́ciles de resolver analı́tica- mente. No hay técnicas conocidas para obtener una solución general. Todas las soluciones cono- cidas son casos con mucha simetrı́a u obtenidas a través de técnicas especı́ficas. Comentaremos más sobre este asunto en el Capı́tulo 12. Las ecuaciones de Einstein tiene 10 componentes, pero en realidad la condición ∇µGµν = 0 impone 4 ligaduras, de modo que sólo 6 ecuaciones son realmente independientes. Esto implica que de las 10 componentes de la métrica sólo 6 están determinadas por las ecuaciones de Einstein y corresponden a grados de libertad fı́sicos. Las otras 4 componentes son componentes no-fı́sicas que expresan la libertad de elección de sistema de coordenadas. Si gµν es una solución de (10.20) 1En 1938, el fı́sico húngaro Cornelius Lanczos (1893 - 1977) demostró que la variación del Lagrangiano de Gauss- Bonnet, L = p |g| “ R2 − 4RµνR µν + RµνρλR µνρλ ” , también da lugar a ecuaciones diferenciales de segundo orden. Sin embargo en cuatro dimensiones el término de Gauss- Bonnet es un término topológico (es la caracterı́stica de Euler cuadrimensional) y por lo tanto no contribuye a las ecua- ciones de movimiento. La acción que consideró Lanczos sı́ contribuye a la dinámica en 5 o más dimensiones. 2En 1915, nomucho antes de dar con la versión correcta, Einstein propusoRµν = −κTµν para la ecuaciones adecuadas para la gravedad. Einstein mismo se autocriticó de manera irónica: “Este tipo hace lo que le conviene. Cada año retira lo que escribió en año anterior.” 158
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