BertJanssen-RelatividadGeneral-16

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que describe ondas (longitudinales) de densidad en el material de la varilla que se propagan con
una velocidad v =
√
Y/ρ.
Podemos escribir esta integral como L =
∫
dxL, donde el integrando L(φ, ∂xφ, ∂tφ) es la
densidad lagrangiana, que contiene toda la fı́sica del sistema. A su vez se define la acción S como
S(φ, ∂xφ, ∂tφ) =
∫
dt L(φ, ∂xφ, ∂tφ) =
∫
dtdx L(φ, ∂xφ, ∂tφ). (1.11)
Nótese que hemos tenidomucho cuidado en obtener el lı́mite continuo de tanto el lagrangiano
(1.10) como las ecuaciones de movimiento (1.9), sin decir todavı́a nada sobre cómo derivar las
ecuaciones de movimiento del lagrangiano. En principio no es muy diferente a la derivación
estándar de la mecánica analı́tica con variables discretas, salvo que ahora hay que variar con
respecto a los campos φ(x, t), es decir, a variables continuas. La herramientamatemática necesaria
para esta operación es la derivada funcional, definida como
δφ(x′, t′)
δφ(x, t)
= δ(x − x′)δ(t − t′), δF (φ(x
′, t′))
δφ(x, t)
=
∂F (φ(x′, t′))
∂φ(x′, t′)
δφ(x′, t′)
δφ(x, t)
, (1.12)
para cualquier función F (φ(x, t)) y donde δ(x − x′) es la delta de Dirac.
La variación de (1.11) con respecto a los campos φ(x, t) viene entonces dada por
0 ≡ δS =
∫
dtdx
[ δL(φ(x, t), ∂xφ(x, t), ∂tφ(x, t))
δφ(x′, t′)
δφ(x′, t′)
+
δL(φ(x, t), ∂xφ(x, t), ∂tφ(x, t))
δ∂x′φ(x′, t′)
δ∂x′φ(x
′, t′)
+
δL(φ(x, t), ∂xφ(x, t), ∂tφ(x, t))
δ∂t′φ(x′, t′)
δ∂t′φ(x
′, t′)
]
. (1.13)
Igual que en el caso de variables discretas, podemos suponer que δ∂x′φ(x
′, t′) = ∂x′δφ(x′, t′),
de modo que integrando por partes los últimos dos términos e imponiendo las condiciones de
contorno
δφ(x, t1) = δφ(x, t2) = δφ(x1, t) = δφ(x2, t) = 0, (1.14)
(es decir, tomando la variación igual a cero tanto en los puntos iniciales y finales como en los
contornos2), tenemos que la variación toma la forma
0 ≡ δS =
∫
dtdx
[ ∂
∂t
( δL
δ(∂tφ(x, t))
)
+
∂
∂x
( δL
δ(∂xφ(x, t))
)
− δL
δφ(x, t)
]
δφ(x, t), (1.15)
lo que por el cálculo variacional sólo es cero si está satisfecha la ecuación de Euler-Lagrange para
una teorı́a de campos:
∂
∂t
( δL
δ(∂tφ)
)
+
∂
∂x
( δL
δ(∂xφ)
)
− δL
δφ
= 0. (1.16)
Concretamente para el caso de la acción (1.9) tenemos que
δL
(
φ(x′, t′), ∂x′φ(x′, t′), ∂t′φ(x′, t′)
)
δ(∂tφ(x, t))
= ρ ∂t′φ(x
′, t′)δ(x − x′)δ(t − t′) = ρ ∂tφ(x, t), (1.17)
δL
(
φ(x′, t′), ∂x′φ(x′, t′), ∂t′φ(x′, t′)
)
δ(∂x′φ(x, t))
= Y ∂xφ(x
′, t′)δ(x − x′)δ(t − t′) = Y ∂xφ(x, t), (1.18)
2En el caso de la varilla elástica hemos tomado x1 = −∞ y x2 = ∞, pero en general la integración se puede hacer
tanto en intervalos finitos como infinitos.
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