BertJanssen-RelatividadGeneral-175

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y cambiando a la variable u = 1/r, la ecuación se reduce a (ejerc.)
( du
dϕ
)2
+ u2 =
m20(k
2 − 1)
L2
+
2m20M
L2
u + 2Mu3, (11.27)
La ecuación (11.27) es muy parecida a la ley de conservación de energı́a (11.21) en el caso new-
toniano, salvo el último término. Esto implica que podemos interpretar k como una medida para
la energı́a de la partı́cula,
E =
1
2
m0(k
2 − 1), (11.28)
mientras que el último término, 2Mu3, actúa como una perturbación a la ecuación newtoniana.
Efectivamente, el tercer término es mucho más pequeño que el segundo puesto que
3Mu2
m20M/L
2
≈ 3L
2
a2m20
=
3M(1 − e2)
a
, (11.29)
donde a es el eje mayor del elipse y donde en la última igualdad hemos utilizado la segunda y la
tercera ley de Kepler,
T =
2πa2
√
1 − e2
L
, T 2 =
2π2a3
M
. (11.30)
Dado que para el Sol M es aproximadamente 1,5 km y para Mercurio a = 6 ·106 km y e = 0, 2056,
vemos que, para el caso de Mercurio, el término relativista en (11.27) es del órden de 10−7 veces
menor que el segundo término. Obsérvese que para los demás planetas, el eje mayor es aún más
grande y la excentricidad es más pequeña (salvo para Plutón), de modo que la perturbación es
aún menor.
En lugar de intentar resolver la ecuación (11.27), resulta más fácil derivarla con respecto a ϕ y
obtener la llamada ecuación relativista de Binet (ejerc.)
d2u
dϕ2
+ u =
m20M
L2
+ 3Mu2, (11.31)
donde otra vez el último término es una pertubación a la ecuación de Binet (11.23). Definiendo el
parámetro de perturbación adimensional
ε =
3m20M
2
L2
=
3M
a(1 − e2) , (11.32)
cuyo valor para Mercurio es del orden de 10−7, y suponiendo que la solución es en primera
aproximación de la forma u = u0 + εu1, con u0 la solución newtoniana (11.24), encontramos que
la ecuación para la perturbación en primer orden viene dada por (ejerc.)
d2u1
dϕ2
+ u1 ≈
m20M
L2
[(
1 +
e2
2
)
+ 2e cosϕ +
1
2
e2 cos 2ϕ
]
. (11.33)
Sustituyendo el Ansatz
u1 = A + Bϕ cosϕ + C cos 2ϕ (11.34)
en la ecuación (11.33), encontramos que existe una solución para (ejerc.)
A =
m20M
L2
(
1 +
e2
2
)
, B =
m20Me
L2
, C = −m
2
0Me
2
6L2
, (11.35)
de modo que la solución hasta primer orden viene dada por (ejerc.)
u ≈ m
2
0M
L2
(
1 + e cosϕ
)
+ ε
m20M
L2
[
1 + eϕ sin ϕ + e2
(1
2
− 1
6
cos 2ϕ
)]
. (11.36)
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