BertJanssen-RelatividadGeneral-183

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S
R0RT RV
T V
Figura 11.5: El efecto Shapiro: Un rayo de luz (linea continua) emitida desde la Tierra (T) refleja en la
superficie de Venus (V) y está detectado otra vez en la Tierra. Al viajar por el campo gravitatorio del Sol
(S), la trayectoria por el espaciotiempo curvo es más larga y la señal sufrirá un retraso en comparación con
el espacio plano.
aproximar las geodésicas por la expresion (11.43) a orden cero. La condición de que la geodésica
sea nula viene dada por
(
1 − 2M
r
)
dt2 −
(
1 − 2M
r
)−1
dr2 − r2dϕ2 = 0, (11.64)
donde podemos eliminar dϕ2 a través de la expresión de la geodésica no perturbada. Diferen-
ciando (11.43) obtenemos que
sinϕdr + r cosϕdϕ = 0, (11.65)
o, equivalentemente, usando la misma expresión (11.43) (ejerc.),
r2 dϕ2 =
R20
r2 − R20
dr2, (11.66)
con R0 la distancia mı́nima a la que se acerca la señal del origen. Sustituyendo esto en (11.64),
tenemos que (ejerc.)
dt2 =
[
(
1 − 2M
r
)−2
+
(
1 − 2M
r
)−1 R0
r2 − R20
]
dr2
≈ r
2
r2 − R20
[
1 +
4M
r
− 2MR
2
0
r3
]
dr2, (11.67)
donde en la segunda ecuación nos hemos quedado con los términos de primer orden del desa-
rrollo de Taylor en M/r. Sacando la raı́z cuadrada de esta expresión, otra vez hasta primer orden
en M/r,
dt ≈ ± r√
r2 − R20
[
1 +
2M
r
+
MR20
r3
]
dr, (11.68)
podemos obtener una expresión para dt en función de r, cuya integral corresponde al tiempo que
tarda la señal, integrando esta última expresión entre la posicion de ambos planetas. Obsérvese
que el signo menos corresponde a la parte de la trayectoria entre la posición RT de la Tierra y R0
y el signo positivo con la parte entre la posición RV de Venus y R0. El tiempo total para la señal
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