BertJanssen-RelatividadGeneral-195

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rente singularidad en θ = 0, π no es por lo tanto más que una singularidad de coordenadas, que
no nos preocupará más.
Otras singularidades son r = 0 y r = 2M donde gtt es respectivamente singular y cero (y grr
justo al revés), aunque aquı́ no está tan claro si son otra vez singularidades de coordenadas o si
son fı́sicas. Ya hemos dicho en la sección 10.4 que la manera de distinguir singularidades fı́sicas
de singularidades de coordenadas es mirando los invariantes de curvatura. Para nuestro caso de
la solución de Schwarzschild (12.13), tanto R como RµνR
µν son de poca utilidad, ya que ambos
son idénticamente cero por construcción, debido al hecho de que la solución de Schwarzschild
es Ricci-plana. Sin embargo, calculando el llamado invariante de Kretschmann RµνρλR
µνρλ, obte-
nemos para la métrica (12.13) que
RµνρλR
µνρλ =
48M2
r6
, (12.14)
es decir, el invariante de curvatura diverge para r → 0, pero queda perfectamente regular para
r = 2M . El punto r = 0 representa por lo tanto una singularidad fı́sica, mientras r = 2M resulta
ser una singularidad de coordenadas.2
Sin embargo, en contraste con la singularidad de coordenadas en θ = 0 y θ = π, la singula-
ridad de coordenadas en r = 2M sı́ tiene un significado fı́sico. El radio r = 2M se llama el radio
de Schwarzschild y juega un papel importante en la fı́sica de la solución (12.13). Ahora, el hecho
de que las llamadas coordenadas de Schwarzschild (t, r, θ, ϕ) sean singulares en r = 2M , hace que
estas no sean válidas en el radio de Schwarzschild. Veremos que son las coordenadas adecua-
das para describir la región donde r > 2M , pero para r < 2M son poco fiables y para r = 2M
completamente inútiles.
Una de las maneras de ver que algo fı́sicamente no-trivial pasa en el radio de Schwarzschild
es mirando el efecto Doppler gravitatorio. En la sección 11.4 hemos visto que el corrimiento
hacia el rojo de una señal emitida desde un punto con coordenada re y medida en un punto con
coordenada rd en una solución estática viene dada por (11.59)
Td = Te
√
gtt(rd)
gtt(re)
= Te
√
√
√
√
1 − 2Mrd
1 − 2Mre
, (12.15)
donde Te y Td son los periodos de la señal en elmomento de emisión y detección respectivamente.
Por lo tanto, cuando un reloj que cae hacia el centro emite pulsos con periodo Te, un observador
fijo en r = rd notará que el periodo Td medido por él es tanto mayor cuanto más se aproxima el
reloj al radio de Schwarzschild, hasta tal punto que el efecto Doppler es infinito cuando el reloj
está en r = 2M . El radio de Schwarzschild es una superficie de corrimiento infinito hacia el rojo.
Hay otra indicación más, si miramos la estructura causal de la solución de Schwarzschild,
a través de las geodésicas nulas radiales, las geodésicas nulas que van radialmente de r = 0 a
r = ∞ ó al revés. En particular tienen dθ = dϕ = 0, de modo que su ecuación viene dada por
(7.53)
(
1 − 2M
r
)
ṫ2 −
(
1 − 2M
r
)−1
ṙ2 = 0. (12.16)
La expresión para t en función de r es por lo tanto,
( dt
dr
)2
=
(
1 − 2M
r
)−2
, (12.17)
2Estrictamente hablando la regularidad de RµνρλR
µνρλ en r = 2M no es suficiente para concluir que se trata de
una singularidad de coordenadas, ni tampoco el hecho de que numerosos otros invariantes sean finitos en este punto. El
verdadero argumento es, que existe un cambio de coordenadas tal que r = 2M se vuelve regular, como veremos dentro
de poco.
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