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O’ O r 02M r t A Figura 12.2: Trayectoria de un observadorO′ en caı́da libre visto por un observador lejano O: un observa- dor en caı́da libreO′ alcanza la singularidad después de un tiempo propio finito. Los señales de luz emitido por el observador en caı́da libre (lı́neas puntuales) siguen geodésicas radiales nulas y tardan cada vez más en llegar al observador lejano O, que cree erróneamente queO′ sigue la trayectoria A y que nunca cruza el radio de Schwarzschild. Una vez pasado el radio de Schwarzschild O′ ya no tiene manera de comunicarse con O para convencerle de lo contrario. La Figura 12.1 refleja por lo tanto no lo que realmente ocurre con O′ cerca del radio de Schwarz- schild, sino más bien lo que pasa con el observador O′ según el punto de vista del observador O. Y lo único que tiene éste para enterarse son las señales que emite O′ periódicamente. Pero ya hemos visto que estas señales siguen las geodésicas nulas radiales (12.18) y llegan por lo tanto a O con intervalos cada vez mayores, como consecuencia de sufrir un corrimiento hacia el rojo cada vez mayor. O ve aO′ acercarse asintóticamente al radio de Schwarzschild, pero nunca lo ve cruzarlo, ya que la señal emitida por O′ en r = 2M llega a O en el momento t = ∞. Las señales queO′ emite después de cruzar el radio de Schwarzschild no salen hacia el exterior y no llegarán nunca a O, ni siquiera después de una cantidad infinita de tiempo t (véase Figura 12.2). 12.3. Las coordenadas de Eddington-Finkelstein Ya hemos visto algunas caracterı́sticas de la fı́sica que ocurre cerca del radio de Schwarz- schild e incluso hemos deducido algunas propiedades de geodésicas temporales y nulas para r < 2M , aunque siempre en el sistema de coordenadas (t, r, θ, ϕ), que no es muy fiable cerca del radio de Schwarzschild. Para entender cómo conectan las regiones dentro y fuera del radio de Schwarzschild y para entender mejor la estructura causal de la solución, es necesario utilizar unas coordenadas que no sean singulares en el radio de Schwarzschild y que describan bien el comportamiento de objetos fı́sicos (masivos o sin masa) en r = 2M . Insprirados por la expresión (12.18) para las geodesicas radiales nulas entrantes (con signo menos), consideramos la siguiente redefinición de la coordenada temporal t̃ = t + 2M log(r − 2M). (12.26) Nótese que el cambio de coordenadas es tal que lejos del radio de Schwarzschild, el término lo- garı́tmico es despreciable con repecto al término lineal y t̃ ≈ t. Sin embargo cuando r ∼ 2M , la 198 IV Soluciones de las Ecuaciones de Einstein La solución de Schwarzschild Las coordenadas de Eddington-Finkelstein
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