BertJanssen-RelatividadGeneral-210

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El problema central de la cosmologı́a relativista es determinar las funciones S2(t) y g̃ij(x) en
el Ansatz (13.2) en función del contenido de energı́a y materia del universo. El factor de escala
S2(t) se determinará a través de las ecuaciones de Einstein, ya que éstas describen la dinámica
del sistema. Nos ocuparemos de este problema en las siguientes secciones. Sin embargo, hallar
g̃ij(x) es un problema puramente geométrico, puesto que implica resolver la ecuación (13.3).
Dedicaremos el resto de esta sección a encontrar e interpretar las soluciones de esta ecuación.
La isotropı́a del espacio implica una simetrı́a esférica, por lo tanto podemos escribir la métrica
en las secciones espaciales como (véase sección 12.1)
ds̃2 = e2B(r̄)dr̄2 + r̄2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
, (13.4)
donde B(r̄) es una función aún desconocida de la coordenada radial r̄. En lugar de sustituir este
Ansatz en la ecuación (13.3), vamos a determinar la función B(r̄) a través de la ecuación para el
tensor de Ricci:
R̃ik = −2Kg̃ik. (13.5)
En un espacio tridimensional (como es nuestro caso) las condiciones (13.3) y (13.5) son equiva-
lentes,3 por lo tanto es preferible resolver la última, ya que es más sencillo calcular el tensor de
Ricci que el de Riemann. Sin embargo en general la condición (13.5) es claramente más debil que
la condición (13.3). Todas las métricas de curvatura constante satisfacen la ecuación (13.5), pero
no todas las métricas que satisfacen (13.5) tienen curvatura constante. Las métricas que satisfacen
la ecuación (13.5) se llaman métricas tipo Einstein.4
Los sı́mbolos de Christoffel no nulos del Ansatz (13.4) son (ejerc. ó compárese con (12.4))
Γ̃r̄r̄r̄ = B
′, Γ̃θr̄θ = Γ̃
ϕ
r̄ϕ =
1
r̄ ,
Γ̃r̄θθ = −r̄ e−2B, Γ̃θϕϕ = − sin θ cos θ,
Γ̃r̄ϕϕ = −r̄ sin2 θ e−2B, Γ̃ϕθϕ = cotg θ,
(13.6)
de modo que las componentes no-triviales del tensor de Ricci vienen dadas por (ejerc.)
R̃r̄r̄ = −
2B′
r̄
, R̃θθ = −1 + e−2B − r̄B′e−2B, R̃ϕϕ = sin2 θ R̃θθ, (13.7)
donde la prima denota la derivada con respecto a r̄. La ecuación (13.5) se reduce entonces, en
nuestro caso, a dos ecuaciones independientes
B′
r̄
= Ke2B, −e−2B
(
1 − r̄B′
)
+ 1 = 2Kr̄2, (13.8)
que tienen como solución
e2B =
1
1 − Kr̄2 . (13.9)
La métrica de una superficie (tridimensional) con curvatura constante viene dada por lo tanto
por
ds̃2 =
1
1 − Kr̄2 dr̄
2 + r̄2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
, (13.10)
3No es directo ver que en tres dimensiones las dos condiciones son equivalentes. La manera más fácil es observar que
al resolver (13.5) todas las constantes de integración (y por lo tanto la solución entera) quedan determinadas. Unamanera
más elegante es darse cuenta de que en tres dimensiones tanto el tensor de Riemann como el de Ricci tienen 6 grados de
libertad y por lo tanto los dos llevan exactamente la misma información sobre la curvatura del espacio. En otras palabras,
la ecuación (13.3) no impone ninguna restricción más que la ecuación (13.5). En dimensiones mayores que 3 (es decir, en
universos 5-dimensionales o más), sı́ es necesario resolver la ecuación (13.3).
4Obsérvese que la relación entre los espacios de curvatura constante y los espacios tipo Einstein es un generalización
de la relación entre el espacio plano y un espacio Ricci-plano. En realidad el espacio plano y Ricci-plano no son nada más
que un espacio de curvatura constante y un espacio de Einstein con K = 0.
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