BertJanssen-RelatividadGeneral-212

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Figura 13.1: Los tres espacios con curvatura constante (aquı́ en su versión bidimensional): la esfera SN
con curvatura positiva (izquierda), el plano RN con curvatura cero (centro) y el hiperboloide HN con
curvatura negativa (derecha), cada uno con su angulo azimutal θ. La esfera SN se puede embeber en el
espacio euclideo RN+1, mientras que el hiperboloide HN se puede embeber en el espacio lorentiano R1,N .
Esta métrica describe un hiperboloide tridimensional H3, como que se puede comprobar consi-
derando la parametrización
X1 = K−
1
2 sinhχ sin θ cosϕ, X3 = K−
1
2 sinhχ cos θ,
X2 = K−
1
2 sinhχ sin θ sin ϕ, X0 = K−
1
2 coshχ.
(13.18)
El hiperboloide H3 no se puede embeber en R4, sino en su versión lorentziana, el espacio de
Minkowski R1,3: efectivamente, las coordenadas satisfacen la ligadura
(X0)2 − (X1)2 − (X2)2 − (X3)2 = K−1, (13.19)
lo que determina en R1,3 una superficie a distancia temporal constante 1/
√
|K| del origen (véase
la figura 13.1). La métrica (13.17) se obtiene sustituyendo la parametrización (13.18) y la ligadura
en la métrica ds2 = (dX0)2 − (dX1)2 − (dX2)2 − (dX3)2 (aunque con signo opuesto por ser una
superficie temporal en un espacio lorentziano).
En resumen, las tres superficies tridimensionales con curvatura constante son por lo tanto
la esfera S3 (curvatura positiva), el plano R3 (curvatura cero) y el hiperboloide H3 (curvatura
negativa). No es sorprendente que fue en estos espacios donde históricamente se desarolló la
geometrı́a diferencial, dado que estos son los casos con más simetrı́a: la geometrı́a plana en R3
de Euclides, la geometrı́a esférica por la cartografı́a y astronomı́a y la geometrı́a no-euclidea de
Bolyai y Lobachevsky para el hiperboloide en el siglo XIX.
Por lo tanto, sustituyendo la forma de la métrica (13.11) en nuestro Ansatz cosmológico (13.2),
vemos que la métrica de un universo homogéneo e isótropo siempre se puede escribir como
ds2 = dt2 − a2(t)
[ 1
1 − kr2 dr
2 + r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)]
, (13.20)
donde hemos absorbido el radio |K| de los espacios tridimensionales en un nuevo factor de escala
a(t), definido como
a(t) = |K|− 12 S(t) para K 6= 0,
a(t) = S(t) para K = 0. (13.21)
La imagen por lo tanto es que a cualquier momento t = t0, las secciones espaciales son superficies
de curvatura constante y el factor de escala a(t) representa de cierto modo el “tamaño” de esta
superficie espacial. En el caso de k = 1, la función a(t) es el radio de la tres-esfera en el momento
t y, aunque para los otros dos casos es más difı́cil visualisar, el aumento o disminución del factor
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