BertJanssen-RelatividadGeneral-214

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Aunque no es estrictamente necesario para resolver las ecuaciones de Einstein, conviene calcular
también el tensor de Riemann, para estudiar las singularidades de las soluciones que vamos a
encontrar. Las únicas componentes que no son cero son de la forma
Rtitj = −aä g̃ij , Rijkl = −a2
[
k + ȧ2
]
(g̃ilg̃jk − g̃ikg̃jl). (13.26)
Para determinar a(t), hay que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales para el factor
de escala a(t), que se obtiene sustituyendo el Ansatz de FRW (13.22) en las ecuaciones de Einstein
Rµν −
1
2
gµνR = −κTµν, (13.27)
donde el tensor de energı́a-momento contiene las contribuciones de todos los tipos de energı́a-
momento presente en el universo (materia, radiación, constante cosmológica, ...). En la sección
13.5 discutiremos en más detalle las propiedades de los distintos tipos de materia y energı́a, pero
de momento nos basta con saber que por el Principio de Weyl se puede considerar el contenido
del universo como un fluido perfecto. Podemos escribir por lo tanto
Ttt = ρ, Tij = a
2g̃ijP, (13.28)
donde ρ =
∑
α ρα y P =
∑
α Pα son respectivamente la densidad y la presión total de todos los
tipos de energı́a y materia presentes en el universo.
En 1922 Friedmann sustituyó el Ansatz (13.22) en las ecuaciones de Einstein, obteniendo
ası́ las ecuaciones de Friedmann (y corrigiendo un error que comitió Einstein al derivar estas ecua-
ciones para su modelo del universo estático de 1917):
( ȧ
a
)2
=
1
3
κρ − k
a2
,
ä
a
+
1
2
( ȧ
a
)2
= −1
2
κP − k
2a2
. (13.29)
Aunque al conjunto de estas ecuaciones se les llama las ecuaciones de Friedmann, también a la
primera ecuación sólo, la componente {tt} de la ecuación de Einstein, se le denomina confusa-
mente la ecuación de Friedmann, mientras que la segunda, la componente {ij}, se llama la ecuación
de evolución. Se puede simplificar bastante esta última, combinándola con la ecuación de Fried-
mann, dando lugar a la ecuación de aceleración
ä
a
= −1
6
κ
(
ρ + 3P
)
. (13.30)
La ecuación de Friedmann (13.29a) relaciona por lo tanto la velocidad de expansión del uni-
verso con la densidad de energı́a y con la curvatura de las secciones espaciales. Obsérvese que
sólo es una ecuación diferencial de primer orden y por lo tanto no es realmente una ecuación de
movimiento, sino más bien una ligadura para a, ȧ, ρ y k. Por otro lado, la ecuación de evolución
(13.29b) sı́ es una ecuación de segundo orden y actúa como la ecuación demovimiento de a(t) (de
allı́ su nombre). En la práctica muchas veces basta con resolver la ecuación de Friedmann para
determinar el factor de escala. Veremos en la sección 13.5 que la ley de conservación de energı́a y
la ecuación de Friedmann implican la ecuación de aceleración.
Finalmente, a veces conviene reescribir la métrica de FRW (13.22) en las llamadas coordenadas
conformes, donde el factor de escala aparece en la métrica como un factor conforme. Se define el
tiempo conforme τ , a través de una reparametrización de la coordenada temporal, como
dτ = a−1(t)dt ⇔ dt = a(τ)dτ, (13.31)
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