BertJanssen-RelatividadGeneral-216

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Podemos calcular la velocidad de receso de las galaxias, derivando la definición (13.36) con
respecto a t:
vrec = Ḋ(t) = ȧ(t)χ =
ȧ(t)
a(t)
D(t). (13.37)
Evaluada en la actualidad t = t0, esta ecuación se convierte en la Ley de Hubble,
vrec = H0 D(t), (13.38)
publicada por el astrónomo americano Edwin P. Hubble (1889 - 1953) en 1929. La ley de Hubble
establece una relación lineal entre la distancia geométrica D(t) a la que se encuentran las galaxias
y su velocidad de receso vrec, donde la constante de proporcionalidad es la constante de Hubble
H0 = ȧ(t0)/a(t0). Las observaciones de Hubble, que dieron lugar a su ley empı́rica, jugaron un
importantı́simo papel en la aceptacion de que nuestro universo está realmente en expansión,
en contraste con lo que la humanidad siempre habı́a creı́do. Obsérvese que la ley de Hubble
no es una propiedad especı́fica de nuestro universo, sino que es general para cualquier modelo
cosmológico derivado de la métrica de Friedmann-Robertson-Walker.
En realidad, la relación lineal entre la distancia y la velocidad de receso solamente es válida
para distancias pequeñas, a orden cero en el desarrollo de Taylor de a(t). En general la relación
entre ambos está determinada por el parámetro de Hubble
H(t) =
ȧ(t)
a(t)
, (13.39)
que mide la velocidad de expansión (o contracción) en comparación con la escala del universo.
En particular la evolución del parámetro de Hubble con el tiempo, H(t), codificada en la varia-
ción del parámetro de Hubble como función de la distancia (observacionalmente medible como
función del corrimiento hacia el rojo, H(z)), es una fuente muy valiosa de información sobre la
evolución de nuestro universo.6
Como tiene dimensión L−1, el parámetro de Hubble marca una escala de tiempo y de dis-
tancia para el modelo cosmológico en consideración. El radio de Hubble RH(t) = H
−1(t) es la
distancia a la que la velocidad de receso de las galaxias es igual a la velocidad de la luz, vrec = 1,
y galaxias más allá del radio de Hubble tienen velocidades de receso superlumı́nicas, como se
puede ver en la ley de Hubble general (13.37).7 Por otro lado el tiempo de Hubble TH(t) = H
−1(t)
es la edad que tendrı́a el universo si se hubiera expandido siempre con la misma velocidad que
ahora, y es el tiempo que necesita la luz para viajar la distancia de un radio de Hubble. Obsérvese
que el tiempo de Hubble no es (necesariamente) la edad real del universo (de hecho sólo lo es pa-
ra un modelo especı́fico), ni el radio de Hubble es la frontera del universo visible, como veremos
en breve.
En la práctica la distancia geométrica (13.36) no es muy útil, ya que no es una cantidad ob-
servable: no podemos ver dónde están las galaxias en este instante, sólo donde estaban cuando
emitieron la luz que ahora nos llega. Podemos por lo tanto definir la distancia de cono de luz como
la distancia espacial que ha recorrido la luz entre emisión y observación o, equivalentemente, el
tiempo que ha tardado en llegar hasta nosotros. Dado que la luz sigue curvas nulas en el espa-
ciotiempo cuadrimensional, tenemos para la métrica (13.20) con ds = dΩ2 = 0, que
0 = dt2 − a2(t) dχ2, (13.40)
6El parámetro z del corrimiento hacia el rojo está definido como 1+z = λd/λe, donde λe,d son las longitudes de onda
en el momento de emisión y detección. Para el caso cosmológico, donde la longitud de onda cambia con la expansión del
universo, tenemos que 1 + z = λd/λe = a(t0)/a(te).
7Esto no contradice los postulados de la relatividad especial, ya que su velocidad es sublumı́nica para un observador
inercial local (es más, será cero si la galaxia no tiene una velocidad particular). En otras palabras, la velocidad de receso
(13.37) no es la velocidad con la que la galaxia se mueve por el espacio, sino la medida en que aumenta su distancia hacia
nosotros debido a la expansión del espacio. Recuerda que la velocidad “de movimiento” (no de receso) sólo está de-
finida localmente, en el espacio tangente en el punto donde se encuentra la galaxia, y no hay ningún observador que
medirá velocidades superlumı́nicas es su entorno local.
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