BertJanssen-RelatividadGeneral-220

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que tienen una velocidad de receso mayor que la de la luz: la velocidad de los fotones emitidos
hacia nosotros es vrec − 1, que es positiva (es decir los fotones están recediendo) en las zonas de
expansión superlumı́nica. Sin embargo, al decelerar la expansión, el radio de Hubble crece más
rápido que la expansión y en cierto momento alcanza a los fotones. Una vez dentro del radio
de Hubble, ya están en la región de expansión sublumı́nica y finalmente podrán llegar hasta
nosotros. En este caso, no hay un horizonte de eventos, pero debido a la expansión rápida inicial,
sı́ hay un horizonte de partı́culas.
13.5. El contenido de energı́a y materia del universo
Como hemos visto, la evolución del universo depende de la densidad de energı́a ρ y de la pre-
sión P , de modo que hay que especificar éstas para poder resolver las ecuaciones de Friedmann.
Sin embargo, a su vez, la densidad de energı́a y la presión cambian con la evolución del universo
y dependen por lo tanto del factor de escala. Necesitamos entonces información adicional, que
determina como varı́a a(t) con la densidad y la presión.
Esta información nos la dará la ley de conservación de energı́a,
∇µT µν = 0. (13.48)
Aunque (13.48) es una ecuación vectorial, sólo la componente temporal nos proporciona una
relación entre ρ, P y a(t): sustituyendo (13.24) y (13.28) en la ley de conservación de energı́a,
encontramos en coordenadas comóviles
ρ̇ + 3
ȧ
a
(ρ + P ) = 0. (13.49)
Esta ecuación, por rara que pueda parecer a primera vista, es en realidad una identidad conocida
de la termodinámica. Multiplicando (13.49) por a3, podemos reescribirla como
d
dt
[
a3ρ
]
= −P d
dt
[
a3
]
. (13.50)
Si interpretamos a3(t) como el volumen de un trozo de la sección espacial en el momento t,
vemos que la ley de conservación de energı́a dice que el cambio de energı́a en un volumen es
igual a menos la presión por el cambio de volumen. En otras palabras, hemos recuperado una
formulación de la primera ley de la termodinámica
dE = −PdV. (13.51)
Con la ley de conservación de energı́a podemos demostrar que las dos ecuaciones de Fried-
mann en realidad no son independientes: derivando la ecuación de Friedmann (13.29a) con res-
pecto a t y usando (13.49), obtenemos depués de un poco de cálculo la ecuación de aceleración
(13.30). La ecuación de Friedmann y la conservación de energı́a implican por lo tanto la ecuación
de aceleración y consecuentemente la de evolución. Dado que siempre trabajaremos con fluidos
perfectos, que satisfacen la conservación de la energı́a, en la práctica sólo tenemos que resolver
la ecuación de Friedmann para determinar la evolución del sistema.
La ley de conservación de energı́a (13.49) es imposible de resolver, si no especificamos con
qué tipo de energı́a estamos tratando. El tipo de energı́a o materı́a viene especificado por la
dependencia de la presión Pα de la densidad ρα, expresado en la ecuación de estado
Pα = w(α) ρα, (13.52)
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	IV Soluciones de las Ecuaciones de Einstein
	Cosmología relativista
	El contenido de energía y materia del universo