BertJanssen-RelatividadGeneral-225

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muestra que estas soluciones vienen dadas por
ds2 = dt̃2 − R20 cosh2(R−10 t̃)
[
dχ2 + sin2 χ dΩ22
]
, (k = +1),
ds2 = dt̄2 − R20 sinh2(R−10 t̄)
[
dχ2 + sinh2 χ dΩ22
]
, (k = −1). (13.69)
Ahora, al calcular el tensor de Riemann de estas métricas, encontramos que también satisfacen
la condición (13.1) de curvatura constante positiva con radio R0. Puesto que la solución de la
ecuación (13.1) es única para cada valor de K (por lo menos localmente), sabemos que en reali-
dad las métricas (13.69) también describen el mismo espacio de De Sitter, pero en coordenadas
diferentes. De hecho, aunque t, t̃ y t̄ jueguen cada uno el papel de coordenada temporal en la
métrica de Friedmann-Robertson-Walker (13.22), son en realidad distintas maneras de parame-
trizar el tiempo (por eso sus nombres distintos). Lo que acabamos de encontrar es que es posible
foliar el espacio de De Sitter de varias maneras, tanto en secciones espaciales abiertas, cerradas y
planas, gracias a la cantidad de simetrı́a. En este caso, la geometrı́a de las secciones espaciales es
claramente una propiedad que depende del sistema de coordenadas elegido. Entreremos en más
detalle sobre las distintas formas de la métrica de De Sitter en la sección ??.
La paradoja de los modelos cosmológicos de 1917 por lo tanto era que habı́a dos soluciónes:
una de Einstein, con materia, pero sin movimiento, y una de De Sitter, con movimiento, pero sin
materia. Sin embargo estas dos soluciones no tardaron a insprirar otra gente, como Friedmann y
Lemaı̂tre a considerar modelos más realistas.
El espacio de anti-De Sitter
Aunque nunca fue considerado como un modelo cosmológico realista, es útil preguntar cuál
serı́a el vacı́o de la acción (13.61) con constante cosmológica Λ < 0, es decir ρM = ρrad = 0 y
ρΛ < 0. Un vistazo a las ecuaciones de Friedmann deja bien claro que tal solución sólo es posible
en coordenadas FRW para k = −1.
Un cálculomuy parecido al caso anterior muestra que la solución, llamado el espacio de anti-De
Sitter es de la forma
ds2 = dt2 − R20 sin2(R−10 t)
[
dχ2 + sinh2 χ dΩ22
]
, (13.70)
donde ahora R0 =
√
−3/κΛ. El espacio de anti-De Sitter en cierto modo es lo contrario del es-
pacio de De Sitter: en vez de ser sometido una expansión exponencial, sufre una contracción
continua. Partı́culas emitidas desde un punto inicialmente divergen, pero la atracción de la cons-
tante cosmológica negativa las frena y las hacen recolapsar otra vez en un tiempo finito, como
indica el factor de escala.
Sin embargo, el espacio de anti-De Sitter mismo no colapsa: igual que el espacio de De Sitter
es perfectamente regular en todo momento (en realidad t = 0 y t = R0π son singularidades de
coordenadas), e incluso satisface la condición (13.1) con K = R−20 (ejerc.) En otras palabras, anti-
De Sitter es un espacio de curvatura constante negativa, el análogo lorentziano cuadrimesional
del hiperboloide y por lo tanto podemos identificarlo como el vacı́o de (13.61) con Λ < 0.
Cabe preguntar entonces, si anti-De Sitter también es máximamente simétrico, igual que De
Sitter, ¿por qué sólo se puede foliar con secciones espaciales abiertas? La respuesta es que tam-
bién existen foliaciones del espacio de anti-De Sitter con geometrı́as planas y curvatura positiva,
pero la métrica con estas foliaciones no son del tipo FRW. (La diferencia está en que la coorde-
nada perpendicular a las hipersuperficies de la foliación es una coordenada espacial). El espacio
de anti-De Sitter no se suele tomar en serio como modelo cosmológico (menos aún ahora que
hay indicaciones obervacionales de que el universo pueda tener una constante cosmológica po-
sitiva), pero sı́ se usa mucho como herramienta matemática en otros terrenos de la fı́sica teórica,
especialmente en teorı́as de holografı́a (véase sección 11.6). Discutiremos más extensamente las
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