BertJanssen-RelatividadGeneral-230

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donde h = a′/a es el parámetro de Hubble en coordenadas conformes y la prima indica una deri-
vación con respecto al tiempo conforme τ . La ecuación de evolución se puede integrar fácilmente
para τ como función de h, resultando
τ = −2
∫
dh
h2 + k
, (13.86)
que se puede resolver con técnicas estándar para todos los valores de k.
Miremos primero el caso k = 0, a pesar de que ya sabemos que la solución es el espacio de
Einstein-De Sitter, para familizarizarnos con las coordenadas conformes. En este caso la integral
(13.86) se resuelve como
τ = −2
∫
dh
h2
= 2h−1 + c, (13.87)
de modo que podemos escribir h, y por lo tanto a, en función de τ como
h =
2
τ − c ⇒ a = α(τ + c)
2, (13.88)
donde c y α son constantes de integración. Se puede reabsorber c en una redefinición de τ , pero
α será determinada por la ecuación de Friedmann, que todavı́a nos queda por resolver. Sustitu-
yendo la solución para a en la primera ecuación de (13.85), vemos que el factor de escala viene
dado por
a(τ) =
1
4
H20 τ
2, (13.89)
y la métrica es de la forma
ds2 =
1
16
H40 τ
4
[
dτ2 − δijdxidxj
]
. (13.90)
Para ver que esta solución es realmente el espacio de Einstein-De Sitter (13.76), sólo hace falta ir
a coordenadas comóviles a través del cambio de coordenadas (13.31)
t =
1
12
H20 τ
3 ⇔ τ =
[
12H−20 t
]
1
3
. (13.91)
Efectivamente sustituyendo la expresión para τ(t) en (13.89), obtenemos la expresión (13.75).
El caso k = −1 es nuevo, pero la integral (13.86) es fácilmente obtenible:
τ = −2
∫
dh
h2 − 1 = 2Arccotgh h, (13.92)
de modo que
h = cotgh
τ
2
⇒ a = R0 sinh2
τ
2
. (13.93)
Otra vez la ecuación de Friedmann determina la constante de integración como R0 =
1
3κρ0, un
parámetro con dimensión L, como era de esperar,13 de modo que métrica viene dada por
ds2 = R20 sinh
4 τ
2
[
dτ2 − dχ2 − sinh2 χdΩ22
]
. (13.94)
Al intentar escribir esta métrica en coordenadas comóviles, nos encontramos con un problema
técnico. El cambio de coordenadas (13.31) puede expresar t en función de τ
t =
1
2
R0
[
sinh τ − τ
]
, (13.95)
13Obsérvese que en contraste con el caso k = 0, la densidad ρ0 en un momento t = t0 se mide en kilogramos por
ángulo sólido (tridimensional) y tiene por lo tanto dimensión M.
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