BertJanssen-RelatividadGeneral-231

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a(t)
k=0
k=−1
k=1
t0
t
Figura 13.8: El factor de escala para universos dominados por materia con distintos valores de k: un
universo con densidad crı́tica (k = 0, linea continua) corresponde al espacio de Einstein-De Sitter; el caso
subcrı́tico (k = −1, linea discontinua) expande más rápido y se aproxima en tiempos tardı́os al espacio de
Minkowksi; el caso supercrı́tico (k = 1, linea punteada) expandemuy rápido inicialmente, pero está frenado
por la gran cantidad de materia y recolapsará en un tiempo finito. Hace falta interpretar este diagrama con
cuidado, puesto que a(t) en el caso k = 0 es adimensional, mientras que tiene dimensión L para k = ±1.
pero no al revés, de modo que no podemos obtener una expresión exacta para a(t). Sin embargo,
sı́ podemos aprender algunas cosas de esta métrica, mirando a los tensores de curvatura y la
evolución en tiempos muy tardı́os.
El escalar de Ricci viene dado por
R = 3R−20 sinh
−6 τ
2
, (13.96)
de modo que, al igual que el espacio de Einstein-De Sitter, tiene una singularidad del tipo Big
Bang en τ = 0. Sin embargo, la expansión es mucho más rápida que en el caso k = 0. Aunque no
podemos invertir la relación (13.95) en general, sı́ podemos mirar lo que pasa cuando τ ≫ 1. En
este caso tenemos que
t ≈ 1
4
R0 e
τ , (13.97)
y por lo tanto
a(t) ≈ t. (13.98)
Por lo tanto vemos que un universo dominado por materia con densidad más baja que la den-
sidad crı́tica se aproxima en tiempos tardı́os (o no tan tardı́os, ya que va exponencialmente) al
universo de Milne (13.72), que a su vez habı́amos identificado con el espacio de Minkowski. En
otras palabras, un universo con densidad subcrı́tica se expande tan rápido y diluye la materia
tanto, que el universo se aproxima al espacio plano. La evolución del factor de escala para todo
τ está dibujada en Figura 13.8.
Por último, miremos el caso k = 1. Entonces la integral (13.86) se resuelve como
τ = −2
∫
dh
h2 + 1
= 2Arccotg h, (13.99)
de modo que podemos escribir h y por lo tanto a en función de τ como
h = cotg
τ
2
⇒ a = R0 sin2
τ
2
. (13.100)
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