BertJanssen-RelatividadGeneral-232

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Otra vez la ecuación de Friedmann determina la constante de integración en función de la densi-
dad ρ0 como R0 =
1
3κρ0, de modo que métrica viene dada por
ds2 = R20 sin
4 τ
2
[
dτ2 − dχ2 − sin2 χdΩ22
]
. (13.101)
También aquı́ encontramos problemas al intentar escribirla en coordenadas comóviles. El cambio
de coordenadas (13.31) puede expresar t en función de τ
t =
1
2
R0
[
τ − sin τ
]
, (13.102)
pero no al revés. Sin embargo, con las dos expresiones para a(τ) y t(τ) sı́ tenemos una parame-
trización de a(t), que nos permite interpretar la solución: la curva a(t) representa una cicloide,
la curva trazada por un punto en el borde de un cı́rculo, que rueda sin deslizarse (véase Figu-
ra 13.8). El factor de escala por lo tanto crece inicialmente muy rápido, pero está frenado por la
gran cantidad de materia (recuerda que estamos en el caso super-crı́tico), hasta parar del todo y
contraerse otra vez. Al calcular el escalar de Ricci,
R = 3R−20 sin
−6 τ
2
, (13.103)
vemos que la métrica no sólo es singular en τ = 0 (t = 0, el Big Bang), sino también en τ = 2π, o
equivalentemente en t = πR0. El recolapso causará un aumento de la densidad que resultará en
otra singularidad, parecida al Big Bang, denominado Big Crunch (Gran Recolapso), que hará des-
aparecer el universo entero. Lo curioso es que cuanto más grande la densidad del universo, más
tardará en colapsarse.
Vemos por lo tanto que el espacio de Einstein-De Sitter es justo el caso lı́mite entre un universo
cerrado y uno abierto. Teniendo justo la densidad crı́tica, no hay suficiente materia para frenar la
expansión por completo y iniciar un recolapso, ni tampoco tan poca que ésta se diluya del todo
y haga que el universo se convierte en Minkowski.
En este capı́tulo hemos repasado algunos de los modelos cosmológicos históricos, que en su
dı́a fueron considerados atractivos por razones que hoy en dı́a nos pueden parecer poco relevan-
tes o incluso ingenuas. En el siguiente capı́tulo daremos una descripción más realista de lo que
se cree que es nuestro universo.
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