BertJanssen-RelatividadGeneral-235

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donde el tensor de Riemann Rµνρ
λ y el tensor de torsión T ρµν vienen dados por
Rµνρ
λ = ∂µΓ
λ
νρ − ∂νΓλµρ + ΓλµσΓσνρ − ΓλνσΓσµρ, T ρµν = Γρµν − Γρνµ. (A.17)
Las expresiones para la geodésica afı́n y la geodésica métrica son respectivamente
ẍσ + Γσνρẋ
ν ẋρ = 0, ẍσ +
{
λ
νρ
}
ẋν ẋρ = 0, (A.18)
donde los sı́mbolos de Christoffel vienen dados por
{
λ
νρ
}
=
1
2
gλσ
(
∂νgσρ + ∂ρgνσ − ∂σgνρ
)
. (A.19)
La expresión de la geodésica afı́n sale pidiendo que el vector tangente a la curva sea transportado
paralelamente a lo largo de la curva, uν∇νuµ = 0, mientras la ecuación de la geodésica métrica
sale extremizando el funcional s =
∫
dτ
√
gµν ẋµẋν . En espacios lorentzianos hay que especificar
el tipo de geodésica:
gµν ẋ
µẋν = ε, donde ε =



1 si xµ(τ) es temporal,
0 si xµ(τ) es nulo,
−1 si xµ(τ) es espacial.
(A.20)
Si la conexión Γρµν satisface las siguientes dos condiciones,
1. La conexión es simétrica: Γρµν = Γ
ρ
νµ,
2. La derivada covariante de la métrica es cero:∇µgνρ = 0,
entonces Γρµν es la conexión de Levi-Civita y está determinada por completo por la métrica y
coincide con los sı́mbolos de Christoffel
Γλρµ =
{
λ
ρµ
}
=
1
2
gλσ
(
∂ρgσµ + ∂µgρσ − ∂σgρµ
)
. (A.21)
De esta expresión se puede derivar la identidad útil,
Γνµν =
1
√
|g|
∂µ
√
|g|, (A.22)
donde hemos utilizado que las siguientes identidades para el determinante g de la métrica
δgµν = gµρgνλδgρλ, δg = g g
µνδgµν = −g gµνδgµν ,
δ
√
|g| = 1
2
√
|g| gµνδgµν = −
1
2
√
|g| gµνδgµν . (A.23)
El tensor de Riemann tiene las siguientes propiedades (asumiendo la conexión de Levi-Civita):
Rµνρλ = −Rνµρλ, Rµνρλ = −Rµνλρ, Rµνρλ = Rρλµν , (A.24)
Rµνρλ + Rµρλν + Rµλνρ = 0, ∇µRνρλσ + ∇νRρµλσ + ∇ρRµνλσ = 0.
A través de contracciones con la métrica se puede construir el tensor de Ricci Rµν , el escalar de
Ricci R y el tensor de Einstein Gµν
Rµν = Rµρν
ρ = gρλRµρνλ = ∂µΓ
λ
νλ − ∂λΓλµν + ΓλµσΓσλν − ΓλµνΓσλσ,
R = gµνRµν Gµν = Rµν −
1
2
gµνR. (A.25)
El tensor de Ricci, el escalar de Ricci y el tensor de Einstein satisfacen las seguientes propiedades
(asumiendo la conexión de Levi-Civita):
Rµν = Rνµ, ∇µRνµ =
1
2
∂νR,
Gµν = Gνµ, ∇µGνµ = 0. (A.26)
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