BertJanssen-RelatividadGeneral-236

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A.3. Relatividad general
Las ecuaciones de Einstein son
Rµν −
1
2
gµνR = −8πGNTµν , (A.27)
o, en la forma sin traza,
Rµν = −8πGN
(
Tµν −
1
2
gµνT
)
. (A.28)
donde la expresión para el tensor de energı́a-momento viene dada por
T µν = ρ0 u
µuν para polvo,
T µν = (ρ0 + P )u
µuν − Pgµν para un fluido perfecto,
T µν = −FµρF νρ + 14gµνFρλF ρλ para electromagnetismo,
T µν = Λgµν una constante cosmológico.
(A.29)
Las ecuaciones de Einstein se pueden obtener de la acción
S =
∫
d4x
√
|g|
[ 1
2κ
R + Lmat
]
, (A.30)
donde κ = 8πGN y Lmat es el lagrangiano que describe la dinámica y las interacciones de los
campos no-gravitacionales. El tensor de energı́a-momento Tµν correspondiente a estos campos
no-gravitacionales se puede obtener a través de una variación del lagrangiano Lmat:
Tµν =
2
√
|g|
δ(
√
|g|Lmat)
δgµν
. (A.31)
La ley de conservación de energı́a y momento implica que ∇µT µν = 0.
Una ecuación útil para derivar las ecuaciones de Einstein desde una acción es la identidad de
Palatini:
δRµν = ∇µ(δΓλλν) −∇λ(δΓλµν) + T σµλ(δΓλσν), (A.32)
donde Γρµν es una conexión arbitraria y T
ρ
µν el tensor de torsión.
La segunda ley de Newton y las leyes de Maxwell en espacios curvos vienen dadas por
m0
(
ẍµ + Γµνρẋ
ν ẋρ
)
= fµ,
∇µFµν = jν , ∂µFνρ + ∂ρFµν + ∂νFρµ = 0, (A.33)
donde Fµν = ∂µAν − ∂νAµ. La ecuación inhomogénea se puede rescribir, utilizando (A.22) como
∂µ
[
√
|g| Fµν
]
=
√
|g| jν . (A.34)
La solución de Schwarzschild, en las coordenadas de Schwarzschild, Eddington-Finkelstein
y Kruskal viene dada respectivamente por
ds2 =
(
1 − 2M
r
)
dt2 −
(
1 − 2M
r
)−1
dr2 − r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
=
(
1 − 2M
r
)
dt̃2 − 4M
r
dt̃dr −
(
1 +
2M
r
)
dr2 + r2
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
=
16M2
r
e−r/2M
(
dT 2 − dR2
)
− r2dΩ22, (A.35)
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	IV Soluciones de las Ecuaciones de Einstein
	Convenios
	Relatividad general