BertJanssen-RelatividadGeneral-33

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estructura de las ecuaciones del vacı́o, se expande con la velocidad de la luz, formando una onda
electromagnética esférica.
La propiedad de que la información se propague con velocidad menor o igual a la de la luz es
tı́pica de teorı́as relativistas, dado que la velocidad de la luz como velocidadmáxima es justo uno
de los postulados de la teorı́a de la relatividad especial, como veremos en los siguientes capı́tulos.
El hecho de que esto aparezca de manera natural en la teorı́a de Maxwell es otra manifestación
de que esta teorı́a ya es relativista.
El efecto Aharanov-Bohm
Hemos mencionado en varias ocasiones que en la teorı́a de Maxwell los campos fı́sicos son
los campos electromagnéticos ~E y ~B, mientras los potenciales φ y ~A sólo son construcciones ma-
temáticas para manejar mejor las ecuaciones de Maxwell. Esto es obvio para la fı́sica clásica. Sin
embargo, en la mecánica cuántica la cosa es un poco más sutil, ya que las partı́culas cargadas aco-
plan directamente a los potenciales. El ejemplo más conocido es el efecto Aharonov-Bohm, llamado
ası́ por los descubridores David Bohm (1917-1992) y su estudiante Yakir Aharonov (1932), que
publicaron en 1959.7
En la mecánica cuántica, la norma al cuadrado |Ψ(~r, t)|2 de la función de onda Ψ(~r, t) de
un electrón (o cualquier otra partı́cula) describe la probabilidad de encontrar el electrón en la
posición ~r en un momento t. Nótese que por lo tanto la función de onda no está determinada
unı́vocamente: dada una función de onda Ψ(~r, t), siempre se puede añadir una fase α = α(~r, t),
tal que Ψ(~r, t) y Ψ′(~r, t) = eiα(~r,t)Ψ(~r, t) describen la misma fı́sica.
El hecho de que ni los potenciales electromagnéticos, ni la fase de la función de onda re-
presenten conceptos fı́sicos, sugiere que una cosa esté relacionada con la otra. Efectivamente, a
través del formalismo hamiltoniano se puede demostrar que una transformación gauge de los
potenciales induce un cambio de fase en la función de onda y vice versa.
En la sección 1.5 hemos visto que el hamiltoniano clásico de una partı́cula con masa m y carga
q en un campo electromagnético externo con potencial ~A viene dado por
H =
1
2m
(pi − qAi)2 + φ(x). (1.86)
Entonces el hamiltoniano cuántico se obtiene remplazando los momentos pi por −i~∂i, resultan-
do el operador
Ĥ = − ~
2
2m
(
∂i +
iq
~
Ai
)2
+ φ(xi) (1.87)
con ~ = h/2π, es la constante de Planck reducida. El hamiltoniano es el operador de evolu-
ción de la función de onda Ψ(~r, t), ya que aparece en la ecuación de movimiento, la ecuación de
Schrödinger
ĤΨ(~r, t) = i~ ∂tΨ(~r, t). (1.88)
El hecho de que aparezcan explı́citamente los potenciales electromagnético ~A y φ en el hamilto-
niano, hace que éste no sea invariante bajo transformación gauge (1.50). Sin embargo, una trans-
formación gauge no puede tener consecuencias fı́sicas, por lo tanto la única manera de conseguir
que la ecuación de Schrödinger sea invariante es añadirle un factor de fase eicqΛ/~ a la función
de onda. Esta es la profunda relación entre los cambios de fase y la invariancia gauge que descu-
brió el fı́sico ruso Vlamidir Fock (1898 - 1974) en 1926.
Es justo este cambio de fase el que utiliza el efecto Aharonov-Bohm. El experimento es el
siguiente: considera una fuente de electrones colocada frente a una pantalla (detector). Entre la
7En realidad el efecto ya fue descrito en 1949 por Werner Ehrenberg y Raymond Siday, por lo que a veces se refiere a
ello como el efecto Ehrenberg-Siday-Aharonov-Bohm.
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