BertJanssen-RelatividadGeneral-37

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son remarcablemente simétricas bajo intercambio de ~E y ~B. Efectivamente en ausencia de cargas
las ecuaciones (1.98) son invariantes bajo la transformación SO(2)
~E ′ = cosα ~E + sin α ~B, (1.99)
~B ′ = − sinα ~E + cosα ~B. (1.100)
Nótese que esta transformación intercambia completamente ~E y ~B, de modo que en el vacı́o los
campos eléctricos y magnéticos son en realidad indistinguibles y que es puramente convenio lo
que llamamos ~E y lo que llamamos ~B.
Esta simetrı́a se rompe en presencia de cargas, debido al hecho de que existen cargas eléctricas,
pero no hay cargas magnéticas. El fı́sico inglés Paul Dirac (1902-1984) descubrió en 1931 una
configuración de campos que describe un monopolo magnético.
Para restaurar la simetrı́a en presencia de cargas y corrientes eléctricas ρe y ~e, es preciso
introducir cargas magnéticas ρm y corrientes magnéticas ~m en las leyes de Maxwell:
~∇ · ~E = ρe, ~∇ · ~B = ρm,
~∇× ~E = −1
c
~m −
1
c
∂t ~B, ~∇× ~B =
1
c
~e +
1
c
∂t ~E. (1.101)
En analogı́a con la expresión (1.31) de una carga puntual, un monopolo magnético con carga
magnética qm en el origen producirı́a un campo magnético ~B de la forma
~B =
qm
4πr2
~er, (1.102)
Un potencial ~A que darı́a lugar al campo (1.102) viene dado por
~A(n) =
qm(1 − cos θ)
4πr sin θ
~eϕ, (1.103)
ya que con la expresión
~∇× ~A = 1
r sin θ
(
∂θ(sin θAϕ) − ∂ϕAθ
)
~er +
(
1
r sin θ ∂ϕAr − 1r ∂r(rAϕ)
)
~eθ
+
1
r
(
∂r(rAθ) − ∂θAr
)
~eϕ, (1.104)
para el rotacional en coordenadas esféricas, se puede comprobar que ~∇ × ~A(n) = ~B en todo el
espacio, salvo en r = 0. Nótese que la expresión (1.103) es singular para θ = π, es decir el eje
z negativo. Esta singularidad, llamada la cuerda de Dirac, es una consecuencia del hecho de que
hayamos modificado la expresión para la divergencia de ~B: sólo a través de una singularidad en
~A podemos escribir
~∇ · ~B = ~∇ · (~∇× ~A) 6= 0. (1.105)
Nótese que esta situación es muy parecida a la de (1.94) en el caso del efecto Aharonov-Bohm,
donde también los teoremas del análisis vectorial son circunvalados por singularidades en el
potencial. Esto sugiere que también aquı́ habrá un fundamento topológico en la base de esta
solución. Veremos que éste efectivamente es el caso.
A nivel clásico la singularidad de la cuerda de Dirac no nos debe preocupar, puesto que sólo
es una singularidad en el potencial y no corresponde a nada fı́sico. Sin embargo ya hemos visto
que a nivel cuántico sı́ puede haber efectos fı́sicos. Por lo tanto si queremos tomar el monopolo
de Dirac en serio, tenemos que encontrar una manera de deshacernos de la cuerda de Dirac.
Podemos evitar la singularidad de la cuerda de Dirac en θ = π, usando otra expresión para el
potencial ~A. Una expresión para ~A que da el mismo campo magnético (1.102) es
~A(s) =
−qm(1 + cos θ)
4πr sin θ
~eϕ, (1.106)
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