BertJanssen-RelatividadGeneral-47

Vista previa del material en texto

Combinando (2.13) y (2.14), obtenemos que si para un observador es válida la segunda ley (2.12),
otro observador relacionado con el primero a través de una rotación (2.3) verá la segunda ley
como
− ∂V
∂x′i
= mẍ′i. (2.15)
Las ecuaciones (2.13) y (2.14) dicen que los dos observadores obtendrán resultados diferentes
para las componentes de la fuerza y la aceleración, pero cada uno medirá, componente por com-
ponente, que la fuerza es proporcional a la aceleración, con la masa como constante de proporcio-
nalidad. Si la ley de Newton es válida para un observador, también lo es para el otro. Si objetos
(y leyes) transforman de esta manera decimos que no son invariantes sino covariantes.
La razón por la que esto funciona es que tanto la fuerza −~∇V como la aceleración ~̈x transfor-
man de la misma manera bajo rotaciones. Ambas son vectores en R3 y transforman como tales
bajo el grupo O(3) de rotaciones en R3. La lección que aprendemos de esto es que para que las
leyes de la fı́sica sean invariantes o covariantes, hay que expresarlas en función de objetos que
transformen bien bajo el grupo de simetrı́a, en este caso vectores. Si no, estas leyes sólo tendrı́an
sentido en un sistema de referencia especı́fico.
Con estos cálculos hemos demostrado la invariancia y covariancia de la mecánica newtoniana
bajo el grupo de Galilei. El problema aparece cuando intentamos averiguar la invariancia del otro
pilar de la fı́sica clásica: el electromagnetismo en forma de la teorı́a de Maxwell. Las leyes de
Maxwell vienen dadas (en unidades de Lorentz-Heaviside) por
~∇ · ~E = ρ, ~∇ · ~B = 0,
~∇× ~E = −1
c
∂t ~B, ~∇× ~B =
1
c
(
~ + ∂t ~E
)
, (2.16)
donde ~E y ~B son los campos eléctricos y magnéticos respectivamente, ρ la densidad de carga, ~
la densidad de corriente y c = 299792, 458 km/s la velocidad de la luz. La velocidad de la luz
aparece porque la teorı́a de Maxwell predice la existencia de ondas electromagnéticas (o sea luz),
que viajan con la velocidad c.
El hecho de que aparezca explı́citamente la velocidad de la luz es extraño porque parece vio-
lar el Principio de la Relatividad: c es la velocidad de la luz ¿con respecto a qué observador? La
interpretación generalmente aceptada a finales del siglo XIX era que las ondas electromagnéti-
cas necesitaban un medio para propagarse, el éter, y c serı́a entonces la velocidad de la luz con
respecto a ese éter.
Un observador que se mueve con una velocidad v con respecto al éter medirı́a entonces, por
la regla de la sumatoria de las velocidades (2.10), que la luz se propaga con una velocidad
c′ = c ± v, (2.17)
dependiendo de si se acerca o se aleja de la fuente de luz. En particular, un observador que se
mueve a la velocidad de la luz en la misma dirección que una onda electromagnética, verı́a esa
onda como estática (c′ = 0), ya que estarı́a en reposo con respecto al observador. Sin embargo,
las ecuaciones de Maxwell en el vacio (ρ = ~ = 0) no permiten soluciones de campos estáticos,
al menos que sean constantes (ejerc.). Por lo tanto, ese observador verı́a una perfil del campo
electromagnético que no está permitido por las ecuaciones de Maxwell, lo que implica un grave
problema teórico.
Pero también hay graves problemas experimentales: entre 1881 y 1930 una serie de experi-
mentos (de los cuales el de los americanos Albert Michelson (1852 - 1931) y EdwardMorley (1838
- 1923) de 1887 es el más famoso) intentaron determinar la velocidad v de la Tierra con respecto al
éter, midiendo con mucha precisión la velocidad de la luz (2.17) con respecto a la Tierra. Sin em-
bargo a pesar de la gran precisión, los resultados nunca mostraron (dentro del margen de error)
47