BertJanssen-RelatividadGeneral-46

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Esta regla se llama la regla (clásica) de la suma de las velocidades y parece confirmar lo que conocemos
intuitivamente de la vida cotidiana. Derivando (2.10) otra vez con respecto a t, vemos que
~a = ~a ′. (2.11)
En otras palabras, (2.7), (2.10) y (2.11) nos confirman los resultados conocidos de que en lamecáni-
ca newtoniana las posiciones y las velocidades son relativas, pero las aceleraciones son absolutas.
Como hemos visto, el Principio de la Relatividad dice que diferentes observadores inerciales
ven la misma fı́sica. Ası́ que las leyes de la fı́sica que estos observadores formulan tienen que
ser invariantes bajo la transformación (2.8) (o en general (2.7)). Las transformaciones de Galilei,
junto con las rotaciones (2.3) y las traslaciones espaciales (2.2) y temporales (2.1) forman un grupo
(ejerc.), llamado el grupo de Galilei. Como veremos en la siguiente sección, el grupo de Galilei es
el grupo de simetrı́as de la mecánica newtoniana.
2.3. Invariancia de la mecánica newtoniana y las leyes de Max-
well
Investigaremos la invariancia de la segunda ley de Newton en el caso en que las fuerzas sean
conservativas, es decir que son derivables de un potencial ~F = −~∇V . Esto es el caso para todas
las interacciones fundamentales, ya que los efectos no-conservativos, como el rozamiento, son
una descripción efectiva de interacciones conservativas complicadas a nivel molecular.
En componentes la segunda ley de Newton tiene la forma
− ∂V
∂xi
= mẍi. (2.12)
A base de conservación de momento, se puede demostrar que la masa m de una partı́cula tiene
el mismo valor para todos los observadores. En otras palabras, la masa es invariante bajo cambios
de coordenadas, es decir, que toma el mismo valor para todos los observadores. También hemos
visto que los potenciales tı́picos de gravedad, electromagnetismo y fı́sica molecular, atómico o
nuclear son de la forma V = V (|~r1−~r2|), tal que estos potenciales son invariantes bajo rotaciones
y traslaciones.5
En el lado derecho de (2.12) aparece la segunda derivada de la posición ẍi, de forma que con
la regla de la cadena es fácil ver que la ecuación es invariante bajo las transformaciones (2.1),
(2.2) y (2.7). En particular, el hecho de que la segunda ley de Newton venga en función de la
aceleración y no de la velocidad es una consecuencia directa del Principio de la Relatividad: si
aparecieran velocidades, habrı́a que especificar con respecto a qué sistema de referencia,mientras
las aceleraciones son absolutas en la mecánica newtoniana.
La invariancia bajo rotaciones es un poco más sutil: derivando dos veces la transformación
(2.3) con respecto al tiempo, está claro que la aceleración transforma como
ẍ′i =
3
∑
j=1
M ij ẍ
j . (2.13)
Aunque, por ser un potencial central, V es invariante bajo rotaciones, su gradiente no lo es, de-
bido a la transformación de las derivadas. Aplicando la regla de la cadena tenemos (o véase
Capı́tulo 4)
∂V
∂x′i
=
3
∑
j=1
M ij
∂V
∂xj
. (2.14)
5Ojo, el hecho de que V sea invariante bajo rotaciones no significa que ~∇V lo sea. Es más, en seguida demostraremos
que ~∇V no es invariante, sino que transforma de manera covariante.
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	El Principio de la Relatividad
	Invariancia de la mecánica newtoniana y las leyes de Maxwell