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ct x x’ ct’ L t’=cte L’ b a t=ctec Figura 3.7: La contracción de Lorentz y la no-simultaneidad de eventos en el espacio de Minkowski. Una varilla de longitud L′ para un observador en reposo con respecto a la varilla, tiene una longitud L < L′ para un observador que ve la varilla moverse. Los eventos que un observador llama simultáneos no lo son para otro. otros. En otras palabras, E y ~p también forman las componentes de un vector cuadrimensional p̂ = (E/c, px, py, pz) en el espacio de Minkowski y transforman como (3.31) bajo el cambio de base (3.19). La relación (3.32) entonces es precisamente el cuadrado de la norma del vector de energı́a-momento p̂ · p̂ = m20c2, según la definición (3.55) del producto escalar. El hecho de que E2 − p2c2 tenga el mismo valor para todos los observadores es justo porque es la norma de un vector cuadrimensional, y por lo tanto es, igual que s2, un invariante Lorentz. También en electromagnetismo hemos encontrado varias cantidades que transforman bajo transformaciones de Lorentz y que por lo tanto forman vectores cuadrimensionales: la carga y la corriente son componentes del vector ̂ = (cρ, jx, jy, jz) y de igual manera φ y ~A combinan para formar el vector  = (φ, Ax, Ay, Az). El caso de los campos electromagnéticos ~E y ~B es un poco más sutil, puesto que las transformaciones (3.38) son más complicadas que las transformaciones de Lorentz que hemos visto en otros casos. Resulta que ~E y ~B no son las componentes espaciales de dos vectores cuadrimensionales, sino que combinan en un tensor antisimétrico F̂ = 0 −Ex −Ey −Ez Ex 0 −Bz By Ey Bz 0 −Bx Ez −By Bx 0 . (3.57) Hemos visto por lo tanto que toda la dinámica relativista, tanto la mecánica como el electro- magnetismo, se puede formular en función de vectores y tensores cuadrimensionales que trans- forman de determinada manera bajo las transformaciones de Lorentz. Esto es necesario para que se cumpla el Principio de la Relatividad, es decir que las leyes de la fı́sica tengan la misma forma para todos los observadores en movimiento uniforme y rectilı́neo relativo. En el Capı́tulo 5 volveremos a introducir estos conceptos de manera más formal, que tie- ne la ventaja de ser directamente generalizable a transformaciones que relacionan observadores en movimiento no necesariamente uniforme y rectilı́neo. Pero primero repasaremos un poco de álgebra lineal, necesario para entender bien este formalismo. 66
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