BertJanssen-RelatividadGeneral-69

Vista previa del material en texto

Más que elementos de un espacio vectorial, para un fı́sico un vector es un objeto con ciertas
reglas de transformación. Por eso, en la fı́sica se suele tomar la regla de transformación como
la definición de un vector: Cualquier objeto con N componentes xi que bajo un cambio de base
(4.4) transforma como (4.5) se le llama un vector de columna o un vector contravariante. (Hemos
añadido los adjetivos “de columna” y “contravariante” para distinguirlo de otro tipo de vector
que introduciremos en seguida.)
El hecho de que en la transformación de los vectores de base (4.4) aparezca la matriz M−1,
mientras en la transformación de las componentes del vector aparezca la inversa M , puede ser un
poco confuso, pero tiene que ver con la diferencia entre una transformación activa y una pasiva.
No entraremos en detalles aquı́, puesto que no nos hace falta. En realidad toda la información
fı́sica de un vector está contenida en sus componentes, demodo que dadas las componentes de un
vector en una base y sabiendo la regla (4.5) de transformación a otra base, podemos trabajar sólo
con las componentes, sin tener que hacer referencia a los vectores de base o las transformaciones
de estos últimos. Esto es lo que haremos en este curso, salvo en esta sección y la siguiente, por
razones pedagógicas.
Considera ahora el espacio de las aplicaciones lineales 〈y| que llevan los vectores de RN a los
números reales R: la aplicación 〈y| actúa sobre el vector contravariante |x〉 como 〈y|x〉 ∈ R. Dado
que estas aplicaciones son lineales (por construcción) tenemos que
〈y|
(
α|x1〉 + β|x2〉
)
= α〈y|x1〉 + β〈y|x2〉. (4.8)
Además una combinación lineal de dos de estas aplicaciones, también es una aplicación
(
α〈y1| + β〈y2|
)
|x〉 = α〈y1|x〉 + β〈y2|x〉, (4.9)
de modo que el espacio de las aplicaciones lineales también tiene la estructura matemática de
un espacio vectorial, usualmente llamado el espacio dual ∗RN . Por lo tanto podemos considerar
también los 〈y| como un tipo de vectores (aunque distinto de los |x〉, como veremos enseguida) y
construir una base dual {〈ei|}, en la cual las aplicaciones lineas se descomponen como
〈y| = y1〈e1| + y2〈e2| + ... + yN 〈eN | = yi〈ei|. (4.10)
Dada la estructura de espacio vectorial dual, es habitual llamar a los 〈y| vectores covariantes, o
uno-formas. Una manera alternativa de representar los vectores covariantes es por lo tanto como
vector de fila:
( y1, y2, ... , yN ) (4.11)
Obsérvese que anotamos las componentes de los vectores contravariantes (es decir elementos de
R
N ) con ı́ndice arriba, mientras las componentes de los vectores covariantes (los elementos del
espacio dual) con ı́ndice abajo.
Los vectores covariantes actúan sobre los contravariantes mediante el producto escalar. Lo más
sencillo es definir el producto escalar utilizando los vectores de base: definimos el producto esca-
lar entre el vector de base dual 〈ei| y el vector de base |ek〉 como
〈ei|ej〉 = δij , (4.12)
donde δij es la delta de Kronecker
δij =
{
0 cuando i 6= j,
1 cuando i = j.
(4.13)
Utilizando las propiedades de linealidad (4.8) y (4.9), es obvio que en general el producto escalar
entre un vector covariante 〈y| y un vector contravariante |x〉 viene dado por
〈y|x〉 = yixk〈ei|ek〉 = yixkδik = yixi, (4.14)
69