BertJanssen-RelatividadGeneral-72

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Finalmente el ángulo θ entre dos vectores |x〉 y |y〉 se define como
cos θ =
〈x|y〉
|||x〉|| |||y〉|| , (4.28)
de modo que dos vectores son ortogonales cuando el producto escalar es cero. Dejamos como
ejercicio demostrar que las reglas de transformación son tales que (4.26), (4.27) y (4.28) tienen el
mismo valor en todos las bases.
Con estas definiciones podemos construir una base ortonormal en RN . Decimos que la base
{|ei〉} es ortogonal y normalizada si
|ei〉 · |ej〉 = δij , (4.29)
donde δij es la métrica de R
N en coordenadas cartesianas, a veces llamada por simplicidad (aun-
que no del todo correcto) la métrica euclı́dea,4
δij =





1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . 1





. (4.30)
La definición (4.29) es consistente con (4.21), puesto que
|ei〉 · |ej〉 = δik〈ek|ej〉 = δik δkj = δij . (4.31)
La gran ventaja de utilizar una base ortonormal en RN es que la forma (4.30) de la métrica es
extremadamente simple. También está claro que la expresión explı́cita de las componentes de un
vector covariante son idénticas a las componentes del vector contravariante correspondiente,
xi = δijxj , xi = δijx
j , (4.32)
una cosa que en una base general (y por lo tanto con unamétrica general gij) no necesariamente es
el caso, como demuestra (4.23)-(4.24). De igual manera, en una base ortonormal, las expresiones
para el producto escalar y la norma toman una forma más sencilla:
〈x|y〉 = xiyi = δijxiyj,
|||x〉||2 = xixi = δijxixj , (4.33)
Valoraremos tanto la forma sencilla de la métrica en coordenadas cartesianas, que nos limita-
remos para el resto de capı́tulo a trabajar exclusivamente con bases ortonormales. Sin embargo
es útil enfatizar que todas las propiedades demostradas en en resto del capı́tulo siguen siendo
verdad en bases arbitrarias, cambiando δij por gij .
La norma (4.27) nos permite introducir el concepto de distancia en RN , ya que la distancia en-
tre dos puntos x y y es la norma del vector |x−y〉 = |x〉−|y〉. Está claro entonces que la expresión
(4.33) para la norma no es más que la generalización a N dimensiones del Teorema de Pytha-
goras. En general la métrica resume las propiedades geométricas del espacio. Concretamente en
este caso, (4.30) nos está diciendo que la geometrı́a de RN es la geometrı́a plana de Euclides. Por
futuro convenio introducimos el elemento de lı́nea ds, la distancia entre un punto ~x y un punto
cercano ~x + d~x. Para el caso de RN tenemos en coordenadas cartesianas que
ds2 = δijdx
idxj = (dx1)2 + (dx2)2 + ... + (dxN )2. (4.34)
4Ojo, no se puede confundir la métrica euclı́dea δij con la matriz identidad δ
i
j . La métrica es un objeto (un tensor) que
describe las propiedades geométricas del espacio, mientras la matriz identidad es la transformación trivial, la unidad. La
diferencia se hará más clara en la siguiente sección.
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