BertJanssen-RelatividadGeneral-76

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Con estas definiciones (4.51), se puede construir objetos más generales: los escalares y los tenso-
res.
Un escalar φ es un objeto que tiene el mismo valor en todos los sistemas de referencia
φ′ = φ. (4.53)
En otras palabras, un escalar es un invariante bajo cambios de coordenadas. Un ejemplo de un
escalar es el producto escalar de dos vectores, como hemos visto previamente. Del mismo modo,
una función escalar (o un campo escalar) es una función φ(xi) que asigna a cada punto ~x un valor
numérico φ(xi). Dado que es una función escalar, φ es invariante bajo cambios de coordenadas:
φ′(x′i) = φ(xi). (4.54)
En general φ será una función de xi diferente que φ′ de x′i, pero los dos asignarán el mismo valor
numérico al mismo punto del espacio.
Considérese ahora el objeto T ij construido de los vectores contravariantes ai y bj a través
del producto exterior o el producto tensorial: T ij = aibj . Matemáticamente hablando es un objeto
que vive en el espacio RN × RN , pero lo que realmente nos interesa es cómo transforma bajo un
cambio de base. De la definición de los vectores, está claro que T ij transforma como
T ′ij = a′ib′j = M ika
kM j lb
l = M ikM
j
lT
kl. (4.55)
Definimos un tensor contravariante de rango 2 como cualquier objeto deN2 componentes que trans-
forma como (4.55). Obsérvese que un producto tensorial de dos vectores contravariantes, como
T ij , siempre es un tensor contravariante, pero no todos los tensores contravariantes de rango 2
se pueden escribir como el producto tensorial de dos vectores contravariantes.
Del mismo modo podemos definir un tensor covariante de rango 2 como un objeto Tij de
∗
R
N ×
∗
R
N , que transforma como
T ′ij = (M
−1)ki(M
−1)ljTkl, (4.56)
y en general un tensor mixto de rango m contravariante y rango n covariante (o simplemente un tensor
de rango (m, n)) un objeto de RN × . . . × RN × ∗RN × . . . × ∗RN que transforma como como
T ′i1...imj1...jn = M
i1
k1 ...M
im
km(M
−1)l1 j1 ...(M
−1)ln jnT
k1...km
li...ln . (4.57)
En otras palabras, cada ı́ndice co(ntra)variante transforma como si fuera el ı́ndice de un vector
co(ntra)variante.
Comparando esta definición con las reglas de transformación (4.25) de la métrica, vemos que
lamétrica gij es en realidadun tensor covariante de rango 2. De lamismamanera se puede pensar
en un vector co(ntra)variante como un tensor de rango 1 y un escalar como un tensor de rango 0.
Por último, es útil introducir los siguientes tensores importantes: la delta de Kronecker, definida
en (4.13) y el tensor de Levi-Civita εi1...iN , definida como
εi1...iN =



1 cuando (i1...iN ) es una permutación par de (12...N),
−1 cuando (i1...iN ) es una permutación impar de (12...N),
0 en todos los demás casos.
(4.58)
Por construcción la delta de Kronecker es un tensor simétrico. La delta es en realidad la variante
(1, 1) de la métrica de RN , es decir δij es lo mismo que δij con un ı́ndice subido:
δij = δ
ikδkj . (4.59)
La delta de Kronecker es un tensor fundamental, lo que quiere decir que mantiene la misma forma
en cualquier sistema de referencia:
δ′ij = M
i
k(M
−1)lj δ
k
l = δ
i
j . (4.60)
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