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vector cuadrimensional xµ = x0 x1 x2 x3 = t x y z . (5.1) Hemos visto en el Capı́tulo 3 que la norma ||xµ|| de los vectores se define en el espacio de Min- kowski como ||xµ||2 = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2. (5.2) Del Capı́tulo 4 sabemos que con esta definición de la norma, hemos introducido implı́citamente una métrica. Efectivamente, se puede escribir (5.2) como ||xµ||2 = xµxµ = ηµνxµxν , (5.3) donde ηµν se llama la métrica de Minkowski y es de la forma 2 ηµν = 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 = diag (1,−1,−1,−1). (5.4) El elemento de lı́nea, que resume las propiedades geométricas del espaciotiempo viene por lo tanto dado por ds2 = ηµνdx µdxν = (dx0)2 − (dx1)2 − (dx2)2 − (dx3)2. (5.5) La métrica y su inversa nos permiten subir y bajar los ı́ndices y convertir vectores covariantes en contravariantes y vice versa, xµ = ηµνx ν , xµ = ηµνxν (5.6) de modo que el producto escalar se puede escribir como xµy µ = ηµνx µyν = ηµνxµyν = x µyµ, (5.7) o, explı́citamente en componentes xµy µ = x0y 0 + x1y 1 + x2y 2 + x3y 3 = x0y0 − x1y1 − x2y2 − x3y3. (5.8) Como vemos, hay que tener un particular cuidado al subir y bajar ı́ndices con los signos que aparecen por la métrica (5.4). Esto es una gran diferencia entre la geometrı́a euclı́dea y la del espacio de Minkowski: las componentes de un vector cambian al pasar el vector de covariante a contravariante o vice versa. En particular, debido a los signos en la métrica (5.4), las componentes espaciales adquieren un signo. Si un vector contravariante tiene componentes aµ = 1 2 3 4 , (5.9) el vector covariante correspondiente tiene componentes aµ = (1,−2,−3,−4). Si la métrica gµν tiene una forma más general,3 la relación entre las componentes de vectores co- y contravariantes será más complicada. 2A veces la métrica se presenta con los signos opuestos (es decir ηµν = diag (−1, 1, 1, 1)). El signo de la métrica es puro convenio y, aunque algunas fórmulas pueden tener signos diferentes, la fı́sica es por supuesto independiente del convenio utilizado. Para un resumen de los convenios que utilizamos en este curso, referimos a Apéndice A. 3Aquı́ referimos tanto a la métrica del espacio de Minkowski en coordenadas no-cartesianas, como a métricas de espacios más complejos. 81
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