BertJanssen-RelatividadGeneral-82

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La dirección temporal destaca en la métrica (5.4) porque lleva el signo contrario de las direc-
ciones espaciales. Esto tiene como consecuencia directa que la norma no sea definida positiva,
es decir: existen vectores cuya norma al cuadrado es negativa. Se dice que la métrica (5.4) tiene
signatura (3,1). El espacio de Minkowski por lo tanto no es euclı́deo, sino lorentziano. La diferencia
con el espacio euclı́deo es la presencia de la dirección temporal que hace posible una dinámica.
Los vectores se llaman vectores temporales si su norma al cuadrado es positiva, vectores nulos
si su norma es cero y vectores espaciales si la norma al cuadrado es negativa. Entre los vectores
temporales distinguimos los vectores temporales dirigidos hacia el futuro y los vectores temporales
dirigidos hacia el pasado, dependiendo de si el producto escalar entre el vector temporal y el vector
de base ~et es positivo o negativo. Una curva se llama curva temporal si en cada punto de la curva
el vector tangente es un vector temporal. De igual modo se llama curva espacial (nula) si en cada
punto el vector tangente es espacial (nulo). En general una curva arbitraria puede ser temporal,
nula o espacial por trozos.
El conjunto de todas las rectas nulas que pasan por un punto xµ se llama cono de luz en xµ. La
estructura del cono de luz y la distinción entre vectores y curvas temporales, nulos y espaciales
está bien definida, en el sentido de que es igual para todos los observadores. Esto es porque el
grupo de Lorentz, que relaciona diferentes observadores, preserva esta estructura del espacio de
Minkowski, como veremos en la siguiente sección.
5.2. El grupo de Lorentz
El grupo de Lorentz L se define como el grupo de transformaciones lineales y homogéneas4
x′µ = Λµνx
ν (5.10)
que dejan la métrica (5.4) invariante,
ηµν = Λ
ρ
µΛ
λ
νηρλ. (5.11)
Comparando esta expresión con la regla de transformación (4.56), vemos que ηµν transforma co-
mo un tensor de rango (0, 2) bajo las transformaciones de Lorentz (como era de esperar). Además,
la definición (5.11) tiene mucha similitud con la fórmula (4.37) y con la definición (4.35) de las
transformaciones ortogonales en RN . Efectivamente, de (5.11) se deriva fácilmente que
(Λ−1)λρ = ηρµ Λ
µ
ν η
νλ. (5.12)
Comparando esta definición con (4.38) y (4.39), vemos que de cierto modo esta fórmula nos
está diciendo que la traspuesta de una transformación de Lorentz es su inversa, una propiedad
de las transformaciones ortogonales, sólo que aquı́ la traspuesta está definida con respecto a la
métrica de Minkowski ηµν . Esto es general: la única diferencia entre las transformaciones en el
espacio de Minkowski y las transformaciones ortogonales en el caso euclı́deo es que aquı́ aparece
ηµν en lugar de la métrica euclı́dea δij . Podemos interpretar por lo tanto las transformaciones de
Lorentz (5.11) como el grupo de transformaciones ortogonales en el espacio de Minkowski y las
fórmulas (5.11) y (5.12) como los análogos lorentzianos de (4.37) y (4.35) en RN .
Del Capı́tulo 4 podemos derivar matemáticamente muchas propiedades que ya habı́amos
visto en el Capı́tulo 3. En particular sabemos que un vector covariante transforma con la matriz
inversa de un vector contravariante
x′µ = (Λ
−1)νµxν , (5.13)
4Hasta ahora nos hemos referido a una transformación de Lorentz como la que relaciona x y t como en (3.19). A veces
a (3.19) se le llama una transformación de Lorentz especial o por el término en inglés, boost (empujón), para distinguirla de
los demás elementos del grupo de Lorentz. A partir de ahora llamaremos una transformación de Lorentz a cualquier
elemento de L.
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Relatividad especial en formulación covariante 
	El grupo de Lorentz