BertJanssen-RelatividadGeneral-84

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El grupo de Lorentz propio y ortocrono L↑+ consiste en las transformaciones Λ que tienen
determinante 1, preservan la dirección temporal y preservan la métrica ηµν como en (5.11). Un
ejemplo de una transformación son las rotaciónes en las tres dimensiones espaciales. Es fácil ver
que por ejemplo una rotación en el plano xy
Λµν =




1 0 0 0
0 cos θ sin θ 0
0 − sin θ cos θ 0
0 0 0 1




(5.20)
satisface todas las condiciones para pertenecer a L↑+. En otras palabras el grupo SO(3) de rota-
ciones en R3 es un subgrupo de L↑+.6
Otro tipo de transformación que pertenece a L↑+ son las transformaciones especiales de Lo-
rentz (3.19). Efectivamente, la matriz correspondiente
Λµν =




γ −γv 0 0
−γv γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




(5.21)
también preserva la métrica ηµν .
Es interesante darse cuenta de que podemos sustituir el parámetro v por
v = − tghϕ, (5.22)
de modo que γ = 1/
√
1 − v2 = cosh ϕ y la transformación (5.21) se puede escribir como
Λµν =




coshϕ sinhϕ 0 0
sinhϕ coshϕ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1




. (5.23)
Esta forma de escribir un boost es remarcablemente parecida a una rotación espacial (5.20). La
diferencia esencial es que en lugar de senos y cosenos aparecen sus equivalentes hiperbólicos.
En cierto modo podemos pensar en un boost como una “rotación en el plano tx”. Las funcio-
nes hiperbólicas aparecen por lo tanto debido al signo relativo entre la dirección temporal y la
espacial.
Donde en una rotación (5.20) el parámetro de rotación θ corre de 0 a 2π, el parámetro ϕ de un
boost puede tomar cualquier valor en R, de −∞ a ∞. Decimos por lo tanto que el grupo de Lo-
rentz es un grupo no-compacto, porque el intervalo de algunos de sus parámetros no es compacto.
Esta es la gran diferencia entre el grupo de Lorentz y el grupo O(4) de las transformaciones or-
togonales en R4. El grupo de Lorentz es el grupo de transformaciones ortogonales en un espacio
4-dimensional con una dirección temporal, lo que matemáticamente se anota respectivamente co-
mo O(3, 1) y R1,3. El subgrupo de transformaciones propias y ortocronas es por lo tanto el grupo
SO↑(3, 1).
El grupo L↑+ (o equivalentemente SO↑(3, 1)) consiste por lo tanto en las rotaciones espacia-
les y los boosts, que se interpretan como una rotación entre la dirección temporal y una espa-
cial. SO↑(3, 1) tiene 6 parámetros independientes que tienen la siguiente interpretación fı́sica:
un elemento de SO↑(3, 1) es una transformación entre dos sistemas de referencia arbitrarios en
movimiento uniforme rectilı́neo con la misma orientación de base y la misma orientación de
la dirección temporal. Tres parámetros corresponden a los ángulos de Euler que relacionan la
6Y obviamente el grupo O(3) es un subgrupo de L entero.
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