BertJanssen-RelatividadGeneral-89

Vista previa del material en texto

Dejamos como ejercicio averiguar que la transformación de Fµν bajo las transformaciones de
Lorentz F ′µν = ΛµρΛνλF ρλ recupera las transformaciones (3.38) bajo el boost (5.21).
Con los vectores jµ y Aµ y el tensor Fµν tenemos todos los ingredientes para formular la
teorı́a de Maxwell en su versión covariante. Las leyes homogéneas de Maxwell (3.33b) y (3.34a)
se pueden escribir en función del tensor Fµν como
(~∇)iBi =
1
2
ǫijk∂iFjk = 0,
ǫijk(~∇)jEk + ∂tBi = −
1
2
ǫijk
(
∂jF k0 + ∂kF 0j + ∂0F jk
)
= 0. (5.47)
Aunque a primera vista estas dos ecuaciones parecen muy diferentes, se trata en realidad de la
componente temporal y las componentes espaciales de la misma ecuación cuadrimensional. Esto
se ve al darse cuenta de que la relación entre el tensor de Levi-Civita tri- y cuadrimensional viene
dada por ǫ0ijk = ǫijk . Las dos ecuaciones (5.47) se pueden por lo tanto resumir en
ǫµνρλ∂νFρλ = 0, (5.48)
o equivalentemente
∂νFρλ + ∂λFνρ + ∂ρFλν = 0. (5.49)
La ecuación (5.48) ó (5.49) se llama la identidad de Bianchi y la solución de esta ecuación viene dada
por (5.45) (ejerc.). En otras palabras, la identidad de Bianchi (o equivalentemente las ecuaciones
homogéneas de Maxwell) nos dice que se puede escribir Fµν como la derivada antisimetrizada
de un potencial Aµ, tal como dice (5.45).
En realidad hay muchos potenciales que dan el mismo Fµν : dado un potencial Aµ que genera
una Fµν a través de (5.45), el potencial A
′
µ relacionado con Aµ a través de
A′µ = Aµ + ∂µΛ, (5.50)
con Λ una función arbitraria, también genera la misma expresión para Fµν . Esta ambigüedad de
los potenciales Aµ es obviamente la traducción a lenguaje cuadrimensional de las transforma-
ciones gauge (1.50), y nos está diciendo es que los Aµ no son más que unos campos auxiliares,
mientras que la fı́sica real está en el tensor electromagnético Fµν . Hasta cierto punto el rol de la
invariancia gauge en la fı́sica de particulas es comparable con el rol de la invariancia bajo trans-
formaciones de coordenadas en la teorı́a de la relatividad. En las matemáticas se han encontrado
profundas relaciones entre estos dos principios en la teorı́a de fibrados.
Las ecuaciones de Maxwell que nos quedan, las inhomogéneas (3.33a) y (3.34b) también se
pueden escribir en función de objetos covariantes. Un pequeño cálculo muestra que estas dos
ecuaciones dan respectivamente (ejerc.)
∂jF
j0 = j0
∂jF
ji + ∂0F
0i = ji. (5.51)
tambien aquı́ resulta que las dos ecuaciones corresponden a la componente temporal y las com-
ponentes espaciales de la misma ecuación cuadrimensional. Para ver esto, no hace falta mas que
añadir a la primera ecuación el término ∂0F
00, que es identicamente cero por la antisimetrı́a de
Fµν . Por lo tanto las ecuaciones inhomogéneas se combinan en
∂µF
µν = jν . (5.52)
Vemos por lo tanto que hemos resumido las cuatro ecuaciones de Maxwell (3.33a) y (3.34b) en
dos, siendo (5.48) y (5.52). Por su estructura de ı́ndices está claro que las dos son ecuaciones
vectoriales10 y transforman como un cuadrivector bajo las transformaciones de Lorentz (ejerc.),
como ya habı́amos visto en el Capı́tulo 3.
10La identidad de Bianchi es un tensor de rango (0,3) en su formulación (5.49).
89