BertJanssen-RelatividadGeneral-92

Vista previa del material en texto

vadores acelerados y por lo tanto no-inerciales (o por lo menos tenemos que tratar con observa-
dores que no pertenecen a la misma clase inercial), los cuales la relatividad especial simplemente
no considera. La solución al problema consiste básicamente en un viejo truco de la mecánica
clásica: la introducción de fuerzas ficticias.
En la mecánica newtoniana un sistema inercial está definido como un sistema en el cual la
Segunda Ley de Newton, ~F = m~a, es válida, es decir un sistema en el que cada aceleración ~a de
una partı́cula está debida a una fuerza ~F que actúa sobre la partı́cula. En sistemas no-inerciales
por otro lado, las partı́culas libres no seguirán trayectorias rectas con respecto a este sistema,
debido a la aceleración de este mismo. Sin embargo, por razones prácticas un observador no-
inercial puede auto-engañarse y creerse inercial, siempre y cuando asuma la existencia de fuerzas
ficticias ~f que se crean responsables de las aceleraciones no-inerciales ~an.i. observadas, de modo
que la Segunda Ley de Newton vuelva a ser válida otra vez:
~F + ~f = m(~a + ~an.i.). (5.60)
Ejemplos conocidos de la mecánica newtoniana son la fuerza de Coriolis y la fuerza centrı́fuga.
Lo que hizo Einstein en realidad fue darse cuenta de que partı́culas en caı́da libre son (local-
mente) equivalentes a partı́culas libres en un sistema inercial, sobre las cuales no actúa ninguna
fuerza y que por lo tanto podı́a considerar la gravedad como una fuerza ficticia. Esto es un paso
altamente no-trivial y sólo es posible gracias a que todos los objetos caen con la misma velocidad,
independientemente de su masa. No es ninguna coincidencia que en (5.60) la masa (gravitatoria)
delante de la aceleración gravitatoria ~a sea la misma masa que la masa (inercial) delante de la
aceleración no-inercial ~an.i.. Esto se llama el Principio de Equivalencia y lo discutiremos en más
detalle en el Capı́tulo 9.
Una de las peculiaridades del Principio de Equivalencia es que es solamente válido local-
mente, es decir a escalas pequeñas, debido a las inhomogeneidades de un campo gravitatorio
genérico. Dos observadores en caı́da libre, uno encima del polo norte y otro encima del ecuador,
se verán mutuamente acelerados, ya que siguen trayectorias ortogonales hacia el centro del la
Tierra. Aunque cada uno se puede considerar a sı́ mismo como un observador inercial, no existe
ningún sistema que contenga a los dos observadores a la vez como inerciales. El sistema inercial
que asume cada observador tiene una extensión finita y pequeña.
Esta observación tiene una consecuencia profunda: implica que se puede considerar un espa-
ciotiempo con gravedad como un conjunto de pequeños trozos de espaciotiempo plano (Min-
kowski), pero no hay un sistema inercial global. La unión de todos los trocitos de espacios planos
“pegados y cosidos” forma un espacio que globalmente no es plano, sino que tiene curvatura. En
realidad, lo que consiguió Einstein con la relatividad general fue interpretar la gravedad como
una fuerza ficticia, en realidad debida a la geometrı́a curva del espaciotiempo. Las trayectorias
de partı́culas aceleradas por la gravedad no son más que el análogo de lı́neas rectas (trayectorias
de partı́culas libres) en un espacio curvo.
Matemáticamente, una cosa que globalmente es un espacio con curvatura, pero localmente
tiene el aspecto de un espacio plano, se llama una variedad y la herramienta matemática que
permite hacer álgebra y análisis en un espacio curvo es la geometrı́a diferencial, una generalización
de la geometrı́a plana de Euclides. De la discusión arriba está claro que la geometrı́a diferencial
es una herramienta indispensable para estudiar la Relatividad General, de modo que en la Parte
II la estudiaremos en más detalle.
92