BertJanssen-RelatividadGeneral-97

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contradicciones lógicas, y segundo si habı́a alguna razón para considerar la geometrı́a euclı́dea
como más fundamental que las demás posibilidades.
Una respuesta, aunque parcial, a la primera pregunta fue proporcionada por el matemático
alemán Felix Klein (1849 - 1925) en 1872. Klein demostró que se puede proyectar el plano de
Lobachevsky en una región finita del plano euclı́deo y que existe una relación una a una entre
las afirmaciones de la geometrı́a hiperbólica y las afirmaciones de la geometrı́a euclı́dea. Con es-
to no quedaba demostrada que la geometrı́a hiperbólica estuviera libre de contradicciones, pero
su consistencia interna ahora quedaba relacionada con la de la euclı́dea: encontrar una contra-
dicción en la geometrı́a hiperbólica, se traducirı́a a una contradicción en la geometrı́a euclı́dea,
lo que parecı́a mucho más improbable. Más tarde, el matemático alemán David Hilbert (1862 -
1943) relacionó la consistencia interna de la geometrı́a euclı́dea con la consistencia interna de la
aritmética.
La respuesta a la segunda pregunta era más sútil. Poco a poco los matemáticos empezaron a
darse cuenta de que la geometrı́a euclı́dea y la hiperbólica no eran mutuamente excluyentes, sino
que formaban dos construcciones matemáticas distintas, basadas en sistemas axiomáticos distin-
tos. Una vez aceptada la posibilidad de tener diferentes geometrı́as consistentes, dependiendo
de si se acepta o no el Quinto Postulado, se reconoció la geometrı́a esférica, conocida de la carto-
grafı́a desde la Antigüedad, como otra variante más, que se caracteriza por asumir que no existe
ninguna recta que pase por un punto y sea paralela a una recta dada.4
Por lo tanto, la pregunta sobre la veracidad del Quinto Postulado o de una de sus variantes
resulta irrelevante: los axiomas no son verdad o falso, son afirmaciones arbitrarias sobre las cuales
se construyen distintos sistemas lógicos. Por otro lado, la pregunta de cuál de las (por lo menos)
tres geometrı́as distintas es “más realista”, se ha convertido en una pregunta fı́sica, ya que hace
referencia al mundo en que vivimos. Lamatemática debe estudiar las propiedades de las distintas
geometrı́as y la fı́sica debe determinar cual de ellas corresponde con la Naturaleza.
En los años 1850, Gauss y su estudiante, el matemático alemán Bernhard Riemann (1826 -
1866), desarrollaron un enfoque distinto a la geometrı́a no-euclı́dea, que en vez de axiomático,
era analı́tico. Gauss ya se habı́a dado cuenta de que el concepto de métrica resulta muy útil para
describir las propiedades geométricas de superficies bidimensionales embebidas en R3. La idea
es que una hormiguita bidimensional puede llegar a descubrir que está en una superficie curva,
sin saber de la existencia de una dirección ortogonal a la superficie. En una esfera (un hiperbo-
loide) la suma de los ángulos de un triangulo es mayor (menor) que π y la proporción entre la
circunferencia y el radio de un cı́rculo es menor (mayor) que 2π, de modo que la hormiguita
puede distinguir estos casos a través de las mediciones apropiadas.
Gauss habı́a descubierto por lo tanto que la esfera y el hiperboloide, y en general cada superfi-
cie, tienen propiedades geométricas intrı́secas que las distingue del plano y entre ellos. Riemann
generalizó esta idea de geometrı́a intrı́nseca a espacios de dimensiones arbitrarias y definió el
concepto de curvatura del espacio, codificado en el tensor de Riemann, a través de la idea de
transporte paralelo. El enfoque de Riemann es una generalización de las ideas de Gauss, en el
sentido de que las propiedades geométricas intrénsicas de un espacio se pueden deducir sin
considerar que el espacio esté embebido en un espacio más grande, sino sólo por mediciones
internas. Tan influyente fue el trabajo de Riemann que hoy en dı́a la geometrı́a de los espacios
curvos se denomina geometrı́a riemanniana.
Alrededor de 1907, cuando Einstein estaba intentando incorporar la gravedad en su teorı́a
de la relatividad, la geometrı́a riemannniana no formaba parte de la formación estándar de un
fı́sico. Era por eso que el matemático suizo Marcel Grossmann (1878 - 1936), amigo y compañero
de clase de Einstein en Zurich, llegó a jugar un papel importante en el desarrollo de la relati-
vidad general, indicando a Einstein la importancia de la teorı́a de Riemann e instruyéndole en
4La única sutileza era ampliar la definición de una recta a una geodésica, la curva más corta entre dos puntos, en caso
de una esfera un cı́rculo máximo (véase la sección 8.8).
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