Gráficas Funciones

Vista previa del material en texto

GRÁFICAS - FUNCIONES
I. Función Afín
* Su gráfica es una recta
1. Concepto
* Su representación es: bmxy 
Pendiente Intercepto
Donde:
01
01
xx
yy
x
y
m






La pendiente de una 
recta puede tener 
unidad de medida
* Veamos:
0m
0m
· Si Δx representa tiempo ⇒ La “m” se llamará rapidez de Δy
* Tener en cuenta:
· Si Δx representa posición ⇒ La “m” se llamará gradiente de Δy
* Si b =0 ⇒ la función se denominara función lineal
· En consecuencia: mxy 
· Donde: y DP x
· La pendiente se comportará 
como la constante de 
proporcionalidad entre y e x
* Toda función lineal también es una función afín; pero no toda 
función afín es una función lineal
2. Pregunta
35. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) en las 
siguientes proposiciones y marque la secuencia 
correcta:
I. Una función lineal también es llamada función afín 
y su gráfica es una línea recta inclinada. 
II. La pendiente de una recta se define: Δy/Δx, donde 
Δx y Δy son la variaciones de x e y respectivamente.
III. En la expresión Δy/Δx, si Δx representa posición; 
la pendiente se llamará gradiente de Δy.
Rpta. 
I. VERDADERA
Ya que la función lineal es un caso particular de la 
función afín
II. VERDADERA
II. VERDADERA
3. Problemas
37. La velocidad de dos 
móviles están descritas en 
el gráfico. Determine el 
instante aproximado, en s, 
en que ambos móviles 
poseen igual velocidad
Solución: * Piden t0
* A partir del gráfico:
∙ Para la 1era partícula:
111 . btmV 
120.
5
120
1 




 
 tV
120241  tV
∙ Para la 2da partícula:
222 . btmV 
0.
12
120
2 





 tV tV 102 
* Por condición:
21 VV 
00 1012024 tt 
st 529,30 
NOTA: Sabías que
* Para una recta desplazada 
lateralmente
∙ Para la recta: mxy 
∙ Para la recta desplazada:
)a.(  xmy
39. La gráfica muestra la posición (x) 
versus el tiempo (t) de dos móviles "A" 
y "B". Si la pendiente de "B" es 2 m/s, 
¿en qué instante, en s, se encuentran?
Solución: * Piden t0
* A partir del gráfico:
∙ Para la partícula A:
)a.(  tmX BB
)10.(2  tX B
202  tX B
∙ Para la partícula B:
AAA btmX  .
120.
024
1200








 tX A
1205  tX A
* Por condición:
BA XX 
2021205 00  tt
st 200 
II. Función Cuadrática
1. Concepto
* Su gráfica es una parábola
* Su representación es:
 2. hxcky 
Ordenada del 
vértice 
Abscisa del 
vértice 
Parámetro
Indica el tipo de concavidad 
* Veamos:
0c
0c
El vértice nos 
representa el mínimo 
valor de la función
El vértice nos 
representa el máximo
valor de la función
2. Pregunta
40. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) en las 
siguientes proposiciones:
I. La gráfica de una función cuadrática es una parábola.
II. El vértice de una parábola siempre nos indica el máximo 
valor que puede adquirir la función cuadrática.
III. Si la concavidad de la parábola es hacia abajo, la función 
cuadrática presenta un mínimo valor
Rpta. 
I. VERDADERA
II. FALSA
Ya que el vértice puede indicar el máximo o mínimo 
valor de la función
III. FALSA
Ya que al ser cóncava hacia abajo, la función presentará 
un máximo valor 
3. Problemas
42. Se muestra la gráfica 
posición versus tiempo para un 
móvil que se desplaza en el eje 
x. Determine en qué instante, 
en s, se encontrará en 303î m
Solución: * Piden t0
* A partir del gráfico:
 2. htckx 
 25.3  tcx
∙ Para t = 8 s:
 258.330  c
3 c
∙ Para t = t0 :
 20 5.33303  t
st 150 
∙ Con ello:
2)5.(33  tx
 20 5100  t
46. Una cantidad física Y varía cuadráticamente con 
X; si la gráfica corta al eje de ordenadas en el punto 
Y = 5 y además el máximo valor de Y es igual a 8, lo 
cual corresponde a un valor de X igual a 1. Halle el 
valor de Y cuando x es igual a 3.
Solución: * Piden y(x=3)
* A partir del enunciado:
∙ Donde: X = 0 ⇒ Y = 5
X = 1 ⇒ Ymáx = 8
∙ Ahora:  2. hxcky 
 21.8  xcy
vértice:
Para X = 0:  210.85  c 3 c
En consecuencia:  21.38  xy
∙ Para X = 3:  213.38 y
4)3(  xy
NOTA: Sabías que
* Cuando la concavidad es hacia 
la derecha
∙ Se define:
2cyhx 
44. Se muestra la gráfica de la velocidad 
vs la posición de una partícula, donde su 
vértice coincide con el origen de 
coordenadas; determine la rapidez, en 
m/s, de la partícula para x = 18î m 
Solución: * Piden V(x = 18)
* A partir del gráfico:
2cVhx 
20 cVx  2cVx 
∙ Para x = 2 m:
2)4.(2 c
8
1
 c
∙ En consecuencia:
8
2V
x 
∙ Para x = 18 m:
8
18
2V
 smV / 12
III. Función Derivada
1. Concepto
* Es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de 
una función
* Se define:










 0
0
00
0
0
)´()(
xx
yy
Lim
dx
dy
xyxm
xx
xx
* Por ejemplo:










0
0
0
0
)(
xx
yy
Limxm
xx
∙ Donde:










0
2
0
2
0
0
)(
xx
xx
Limxm
xx










0
00
0
)).((
)(
0 xx
xxxx
Limxm
xx
)()( 00
0
xxLimxm
xx


00 2)( xxm 
∙ En general: 2)( xyxf  x
dx
dy
y 2' 
* En forma práctica:
nxay .
1..´  nxna
dx
dy
y
xay . a
dx
dy
y  ´
ay  0´ 
dx
dy
y
).(. xbsenay  )cos(..´ bxba
dx
dy
y 
).cos(. xbay  )(..´ bxsenba
dx
dy
y 
2. Problemas
48. Se muestra la gráfica x − t para un 
móvil que desarrolla un movimiento 
rectilíneo a lo largo del eje x. 
Determine la pendiente, en m/s, en el 
instante t = 2 s, si la pendiente de la 
recta en t = 0 es cero.
Solución: * Piden
stdt
dx
2
* A partir del gráfico:
∙ Determinemos la ecuación de 
la curva:
 2. htckx 
 20.)30(  tcx
2.30 tcx 
Para t = 5 s: 2)5.(3020 c
2 c
∙ Con ello: 302 2  tx
∙ Derivando respecto del 
tiempo:
dt
td
dt
dx )302( 2 

dt
d
dt
td
dt
dx )30()2( 2

tt
dt
dx
404 
Para t = 2 s:
sm
dt
dx
st
/ 8)2.(4
2


50. La velocidad de una partícula en MAS está 
definida por la ecuación: V = 8.cos(πt + 0,5π) 
en el SI; determine la derivada de la velocidad 
respecto al tiempo.
Solución: * Piden
dt
dV
* A partir del enunciado:
∙ Dado que: )5,0cos(8   tV
∙ Derivando respecto de t:
dt
td
dt
dV )]5,0cos(8[  

)5,0().(8   tsen
dt
dV
)5,0(.8   tsen
dt
dV