M A S A

Vista previa del material en texto

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)
I. Descripción
* Examinemos el siguiente evento físico:
· Observamos que el movimiento es:
- Rectilíneo: A causa de su trayectoria
- Oscilatorio: Ya que desarrolla un movimiento de vaivén 
respecto de la P.E.
- Periódico: Ya que el tiempo que emplea para cada 
oscilación es constante
- Armónico: Ya que la posición del cuerpo dependerá de 
una función senoidal o cosenoidal
· Pero; lo más importante es:
xkFR

Fuerza 
Recuperadora
Siempre 
apunta hacia 
la P.E.
Ya que los vectores 
son opuestos 
Posición
Donde:
D.P.RF

x

OBS.: Sabías que
* Todo movimiento armónico es oscilatorio. Pero; no todo 
movimiento oscilatorio es armónico
* Todo movimiento oscilatorio es periódico. Pero; no todo 
movimiento periódico es oscilatorio
* Para que un cuerpo desarrolle un 
M.A.S., basta con que cumpla: rcFR

.
* La fuerza elástica no es la única fuerza que puede 
provocar el M.A.S., por ejemplo:
Si el bloque recibe una 
pequeña perturbación. 
La fuerza de Empuje 
provocará que el 
bloque desarrolle un 
M.A.S.
* Veamos los siguientes casos:
Diapasón
Péndulo 
Simple
Péndulo de Foucault
Puente Tacoma 
Narrows
II. Elementos
1. Concepto
a. Posición de Equilibrio (P.E.): Es aquel punto donde la 
FR colineal a la velocidad, es nula
b. Amplitud (A): Es el máximo alejamiento del cuerpo 
que oscila respecto de la “P.E.”
* Para una oscilación completa, el recorrido será de 4A
c. Periodo (T): Es el Δt empleado para realizar una 
oscilación
* Si se analiza desde t=0, al transcurrir un periodo, el 
cuerpo retornará a sus condiciones iniciales
* El periodo de las oscilaciones no dependerá de la 
Amplitud de oscilación
d. Frecuencia (f):
Tt
esOscilaciondeN
f
1 




Unidad: hertz (Hz)
1Hz <> 1 s-1
e. Frecuencia Angular (ω): Nos indica el número de 
oscilaciones que realiza una partícula para 2π s
m
k
T
f 


2
.2 Unidad: 
rad/s
* Para el caso de un movimiento vertical:
En la P.E.: 0.ykmg 
0y
g
m
k

0y
g

Deformación 
en la P.E.
* Para el caso de un movimiento oblicuo:
En la P.E.:
Fesengm ..
sen
x
g
m
k
.
0






  sen
x
g
.
0







Deformación en la P.E.
0... xksengm 
2. Preguntas
43. Señale si las proposiciones son verdaderas (V) o falsas 
(F) según corresponda
I. Un sistema masa – resorte, para que desarrolle un M.A.S., 
necesariamente la fuerza recuperadora debe ser DP con la 
posición de la masa.
II. El sistema masa - resorte no es el único que puede 
desarrollar un M.A.S. 
III. La posición de equilibrio en un movimiento vertical se 
define como aquella donde el resorte está sin deformar.
Rpta. 
I. VERDADERA
II. VERDADERA
III. FALSA
Ya que en movimiento vertical, en su P.E. el resorte presenta 
una deformación
02. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) en las siguientes proposiciones y elija la secuencia correcta
I. Todo movimiento oscilatorio es periódico
II. Todo movimiento periódico es oscilatorio
III. La posición de equilibrio es aquel punto donde el cuerpo se encuentra en equilibrio inestable.
Rpta. 
I. VERDADERA
Ya que por ejemplo:
II. FALSA
Ya que por ejemplo:
III. FALSA
Ya que la P.E. es aquel punto donde la partícula se encuentra 
en Equilibrio Estable
Además:
Equilibrio Estable
Si la partícula recibe una 
pequeña perturbación 
(estímulo), siempre tratará 
de retornar a la P.E.; por 
ende, el cuerpo desarrollará 
un M.A.S.
Equilibrio Inestable
Si la partícula recibe una 
pequeña perturbación, el 
cuerpo ya no retornará a su P.E.
Equilibrio Indiferente
La P.E. no está definida
3. Problemas
04. Una masa m sujeta a unos de los extremos de un resorte vibra con una frecuencia de 0,88 Hz. Si se le añade 
una masa adicional de 680 g, la nueva frecuencia es de 0,6 Hz. Calcule aproximadamente, el valor de m en kg.
Solución: * Piden m
* 1er evento:
· Recordar:
m
k
f  11 .2
2
2
1
4
.

k
fm 
* 2do evento:
· Donde:
0
22 .2
mm
k
f

 
2
2
20
4
.)(

k
fmm 
2
1
2
20 ..)( fmfmm 
22 )88,0.()6,0.()68,0( mm 
kgm 59,0
m
k
f 21
2.4
06. Un objeto unido a un resorte 
oscila con un periodo de 2 s. Si se 
cuelga el objeto de un extremo del 
resorte, el alargamiento x de éste, 
en cm, cuando el objeto está en 
equilibrio estático, será: (g = 9,81 
m/s2) (PARCIAL 2009-II)
Solución: * Piden x
* A partir del enunciado:
En la P.E.: kxmg 
x
g
m
k

x
g
2
x
g
T






2
2
x
81,9
2
2
2





 
cmmx 4,99 994,0 
08. En la figura, se muestra una rampa 
lisa donde un resorte sujeta un bloque 
de masa m. Determine la deformación 
(en cm) del resorte cuando ha 
alcanzado la posición del equilibrio, si 
el periodo de oscilación del sistema 
masa - resorte en posición horizontal 
es 0,5 s . (g = 10 m/s2; π2 = 10) 
(CEPRE 2018-II)
Solución: * Piden ΔL
* A partir del enunciado:
En la P.E.:







 30.sen
L
g
m
k
L
g


.2
2
Lksengm  .30.. L
g
T 






.2
2
2

L

.2
10
5,0
4
2
2

cmmL 125,3 03125,0 
III. Proyección de un MCU en un plano
1. Concepto
* Veamos:
· Se concluye: ......
planoun 
en Proyectado
SAMUCM  
· Además:
.)..(.)..( SAMUCM
AmplitudRadio 
.)..(.)..( SAMUCM
PeriodoPeriodo
.)..(.)..(
 
SAMUCM
AngularFrecuenciaAngularRapidez 
Coinciden
* Con ello:
· 1er Caso: · 2do Caso:
2. Problema
10. En la figura se muestra un bloque 
que posee MAS con un periodo de 24 s 
y una amplitud de 25 cm. Halle el 
tiempo transcurrido, en s, desde A 
hasta B.
Solución: * Piden ΔtA→B
* Examinemos:
∙ Del MCU:
BAt  .
BAt
T












.
2
180
.111

BAt 





 .
24
2
60
37
st BA 4,7 
IV. Ecuaciones en el M.A.S.
1. Conceptos
a. Ecuación de la Posición: También es conocido como ecuación del movimiento
· Del gráfico:
)( 0  tAsenx

FASE INICIAL
Indica las condiciones 
iniciales del movimiento
· Otra forma de representar la ecuación es:
)2/cos( 0   tAx

)2( 0   tAsenx

b. Ecuación de la Velocidad
* Veamos:
· Del gráfico: )cos( 0  tAV

· Otra forma de representar la ecuación es:
)2/( 0   tAsenV

)2cos( 0   tAV

· En función de “x”:
22 xAV 
- Si: x=0 ⇒ AVmáx  En la P.E.
- Si: x=±A ⇒ 0mínV En los extremos
c. Ecuación de la Aceleración
* Veamos:
· Del gráfico: )( 0
2   tAsena

· En función de “x”: xa
 2
- Si: x=0 ⇒ 0mína En la P.E.
- Si: x=±A ⇒ Aamáx
2 En los extremos
NOTA.: Obtención de la Fase Inicial
1ER Caso: Movimiento Horizontal
2DO Caso: Movimiento Vertical
2. Problemas
12. Una partícula describe un M.A.S. cuya velocidad está determinada por la expresión: V=8cos(4t+0,5π) m/s
Señale la verdad (V) o falsedad (F) de cada una de las siguientes proposiciones: (CEPRE 2010-I)
I. En t = 0 la partícula está en la posición de equilibrio.
II. La amplitud del M.A.S. es de 2 m.
III. El mínimo tiempo entre los instantes en que la magnitud de la aceleración es máxima y luego mínima es π/4 
segundos.
Solución: * Piden V o F
* A partir del enunciado:
* Como:
)5,04cos(8  tV

)5,04cos(8)cos( 0   ttA
Se deduce: rad 5,00  
srad / 4
mA 2
* Ahora:
I. FALSA
Ya que:
).( 0  tAsenx

)5,04(2  tsenx

Para t =0:
)5,00(2  senx

mx 2

La partícula se encuentra 
en el extremo derecho de 
su M.A.S.
II. VERDADERA
III. FALSA
Ya que según la proposición se 
deduce que el Δt solicitado es T/4
Donde:








2
.
4
1
4
T
t
st 
84
2/ 

14. Una partícula de 2 kg desarrolla un MAS unida a un resorte de k = 18 N/m. Si su rapidez máxima es 24 m/s y es 
lanzado desde la posición +4î m hacia la derecha, ¿qué expresión corresponde a la posición de la partícula respecto 
al tiempo?
Solución: * Piden x
* A partir del enunciado:
∙ Dado que:
AVmáx 
A.324 
2
18

mA 8
∙ Con ello:
)( 0  tAsenx

)6/3(8  tsenx

∙ Recordar:
m
k

srad / 3
∙ Por último:
)2/6/3cos(8  tx

)3/3cos(8  tx

16. En la figura, se muestra la 
posición de una partícula que 
realiza un M.A.S. en función de 
tiempo. Determine la ecuación de 
la velocidad (en m/s) de la 
partícula si en t = t3 la magnitud 
de la velocidad es 0,25π m/s. 
(CEPRE 2018-II) 
Solución: * Piden V
* A partir del enunciado:
* Del gráfico:
13
2
tt
T

15
2

T
sT 8
* En t = t3 : AVmáx .
A
T
.
2
25,0 








A.
8
2
25,0 








mA 1
* Con ello: ).cos(. 0  tAV

)75,0.25,0cos(25,0   tV

* Además:
)5,075,0.25,0(.25,0   tsenV

)25,0.25,0(.25,0   tsenV

)275,0.25,0cos(25,0   tV

)25,1.25,0cos(25,0   tV

18. La figura muestra un sistema masa –
resorte vertical (m = 1 kg y k = 81 N/m) 
en situación de reposo; a partir de esta 
posición, el bloque es desplazado –5ĵ cm y 
soltado (t = 0), oscilando en un M.A.S. 
Señale la secuencia correcta después de 
determinar si cada proposición es 
verdadera (V) o falsa (F) para el sistema 
mostrado. (g = 10 m/s2) (CEPRE 2010-II)
I. Cuando el bloque pasa por la posición 
de equilibrio el resorte no está 
deformado.
II. En todo instante del M.A.S. el resorte se 
encuentra estirado.
III. La velocidad del bloque en función del 
tiempo es: V = 0,45cos(9t + 1,5π)ĵ m/s
Solución: * Piden V o F
* A partir del enunciado:
* Donde:
81
10.
0 
k
gm
y
1
81

m
k

cmmy 3,12 123,00 
srad / 9
* Ahora:
I. FALSA
Ya que en la P.E., el resorte se 
encuentra estirado 12,3 cm 
II. VERDADERA
Ya que en su posición más alta, 
el resorte estará estirado 7,3cm
III. VERDADERA
Ya que:
).cos(. 0  tAV

smjtV / ˆ)5,19cos(45,0 

20. Un objeto oscila con una frecuencia angular de 4 
rad/s. En t = 0, se encuentra a 4 cm de su posición de 
equilibrio con una rapidez de 12 cm/s. Calcule en cm, 
la amplitud de la oscilación. (UNI 2020-I)
Solución: * Piden A
∙ Recordar: 22 xAV 
22 4412  A
cmA 5
22. Un objeto realiza un movimiento armónico simple con un 
periodo de 0,5 s. Su aceleración máxima es de 6,4 m/s2. 
Determine aproximadamente la rapidez máxima del objeto en 
m/s. (PARCIAL 2011-I) 
Solución: * Piden Vmáx.
* Examinemos:
* Recordar:
AVmáx .

 A
Vmáx
.2


máx
máxV
a

T
V máxmáx
/2
a


5,0/2
4,6

máxV
smVmáx / 51,0
* Del enunciado:
24. El bloque A realiza un M.A.S. horizontal con x(t) = 
0,3sen(10t + π/7) m. Luego cuando su aceleración es 
mínima choca plásticamente con B (mB = 3mA), como 
se indica en el gráfico. Determine la nueva amplitud 
(en m) de las oscilaciones después del impacto.
Solución: * Piden A´
* A partir de enunciado:
* Por tratarse de una colisión:
sist
ChD
sist
ChA pp ....


sistsistBBAA VmVmVm

... 
)´.(4)9.(3)..( máxVmmAm 
máxV´427)3,0).(10(  smV máx / 6´ 
* Recordar: m
k
 mk .2
∙ Con ello: sistA mmk .´.
22  
)4.(´.10 22 mm 
srad / 5´
* Por último: ´´.´ AV máx 
´.56 A mA 2,1´
26. En la figura, el bloque sujeto 
al resorte que se encuentra fijo 
al techo, realiza un MAS. En el 
instante t = 0 su aceleración es 
máxima e igual a –π2 ĵ m/s2. 
Determine su velocidad (en 
m/s) en el instante t = 10 s, si 
en el instante t = 6 s el bloque 
alcanza su máxima rapidez por 
segunda vez. (CEPRE 2019-II)
Solución: * Piden V
* A partir del enunciado:
* Se deduce que en t=0, la partícula 
se encuentra en el extremo superior 
de su movimiento
* Donde:
s
T
 2
4
 sT 8
* Por último: AVV máx .
T
A
V máx
/2
a.2



smV / 4
8/2
2




smjV /ˆ π4

V. Energía en el M.A.S. horizontal
1. Concepto
* Dado que la única fuerza que desarrolla trabajo 
mecánico es la fuerza elástica, la energía mecánica 
del sistema se conserva.
* Veamos:
· La energía total vendrá dada por:
EpEcEM 
22 .
2
1
.
2
1
xkVmEM 
   20
2
0 ).(
2
1
).cos(.
2
1
  tAsenktAmEM
).(.
2
1
).(cos..
2
1
0
22
0
222   tsenAktAmEM
).(.
2
1
).(cos.
2
1
0
22
0
22   tsenAktAkEM
 ).().(cos.
2
1
0
2
0
22   tsentAkEM
2.
2
1
AkEM 
* En general:
2.
2
1
AkEpEcEpEcE máxmáxM  
Para 
cualquier 
posición
En la P.E. En los 
extremos
· Se deduce:
- EM es independiente de la masa oscilante
- EM depende de la constante de rigidez y de la 
amplitud
* Además: 2
2
1
kAEM 
⇒ EP D.P. x
2
⇒ EM D.P. A
2
2
2
1
kxEp 
2
2
1
kxEEc M 
* Gráfica de E vs x:
* Gráfica de E vs t:
· Sea:
)( tAsenx 

· Para la Ep:
2
2
1
kxEp 
)(
2
1 22 tsenkAEp 
)(2 tsenEEp M 
· Para la Ec:
· Se deduce:
EnergíaSAM TT 2... 
2. Pregunta
Rpta. 
I. FALSA
Ya que los puntos D y B al ser extremos de oscilación, 
las energías cinéticas serán nulas 
II. FALSA
Ya que la energía mecánica en todos los puntos será 
la misma
III. VERDADERA
Ya que el punto D al ser extremo de oscilación, la 
energía potencial elástica será máxima
27. Un resorte horizontal y una partícula de masa 1 kg se mueven con MAS (figura a). La figura (b) muestra la posición 
de la partícula en función del tiempo. Determine las proposiciones verdaderas (V) o falsas (F) y marque la alternativa 
correspondiente.(CEPRE 2017-II) 
I. La energía cinética en “D” es mayor que la energía cinética en “B”
II. La energía mecánica en “A”, “C” y “E” es cero.
III. La energía potencial en “D” es máxima.
3. Problemas
29. Una partícula de masa 0,5 kg describe un M.A.S. con 0,8 
m de amplitud y 16 s de periodo. Si en t = 0 la partícula se 
encuentra en uno de los extremos de oscilación, determine 
la energía mecánica del oscilador (en mJ) al llegar a la 
posición de equilibrio. Considere π2 = 10 (CEPRE 2020-I)
Solución: * Piden EM
* Examinemos:
· Donde: 2.
2
1
máxmáxM VmEcE 
2)..(
2
1
AmEM 
2
2
)8,0.(
2
).5,0(
2
1







T
EM

2
16
2
.16,0 







ME
mJJEM 25 025,0 
31. En un sistema masa – resorte en M.A.S. horizontal con 
20 cm de amplitud máxima, calcule la longitud (en cm) del 
resorte estirado con respecto a su posición de equilibrio, 
en el instante en que la energía cinética del oscilador es el 
triple de su energía potencial elástica (CEPRE 2018-I)
Solución: * Piden ΔL
* Examinemos:
· Donde:
EM EpEcE 
EEM EpEpE  3






 22 .
2
1
.4.
2
1
LkAk
LA  .2 cmL 10
33. Un bloque unido a un resorte 
realiza un MAS. Si su energía cinética 
y la energía potencial elástica en el 
resorte varía con la posición, como 
indica la gráfica, determine la energía 
cinética del bloque en x = 1,5A
Solución: * Piden Ec
* Del enunciado: ∙ Donde:
JAkEM 48.
2
1 2 
∙ Ahora: EpEcEM 
2.
2
1
LkEcEM 
2
2
.
2
1







A
kEcEM






 2.
2
1
4
1
48 AkEc
 48
4
1
48  Ec
JEc 36∙ Del gráfico:
AL 5,0
VI. Péndulo Simple
1. Concepto
* Está constituido por una masa de pequeñas dimensiones, suspendida de un hilo inextensible y de peso despreciable. 
* Examinemos: 
∙ En el eje tangencial:
sengmFR ..
· Para θ < 10°:
..gmFR 







L
x
gmFR ..
x
L
gm
FR



Constante
.







∙ Del gráfico: Lx .
· Se concluye que la masa 
pendular desarrolla un M.A.S.
* Determinemos el periodo de oscilación 
de dicho péndulo:
∙ Recordar: k
m
T 2
∙ Reemplazando:
Lmg
m
T
/
2
g
L
T 2
LEYES DEL PÉNDULO SIMPLE
1°: El período no depende de la masa 
oscilante.
2°: El período es D.P. a la raíz cuadrada 
de la longitud del péndulo.
3°: El período es I.P. a la raíz cuadrada 
de la aceleración de la gravedad
* Si el péndulo simple bate segundos, 
implica que su T = 2s
* Además, tener 
en cuenta:
* La ecuación de la posición angular (θ):
).( 00   tsen
Amplitud 
Angular
Fase Inicial
Indica las condiciones 
iniciales del movimiento
· Derivando respecto del tiempo:
).cos(.)( 00   tt
Velocidad Angular
 
Angular
Frecuencia
Angular
Velocidad

Donde:
0.máx .L. 0máxV
· Derivando Ω(t) respecto del tiempo:
Se deduce:
)(.)( 00
2   tsent
Aceleración AngularDonde:
0
2. máx .L. 0
2 
máxt
a
2. Pregunta
34. Señale verdadero (V) 0 falso (F) según 
corresponda a las siguientes proposiciones: 
(CEPRE 2014-II)
I. Si la longitud de un péndulo en M.A.S. 
aumenta, el período de oscilación aumenta.
II. Si la masa de un péndulo en M.A.S. aumenta, 
la frecuencia de oscilación aumenta.
III. La frecuencia angular de un péndulo en 
M.A.S. es la velocidad angular del péndulo.
Rpta. 
I. VERDADERA
Ya que el periodo es proporcional a la raíz 
cuadrática de la longitud de la cuerda
II. FALSA
Ya que la frecuencia es independiente de la 
masa pendular
III. FALSA
Ya que son distintos
3. Problemas
36. Un péndulo simple de 1 m de longitud se desplaza un pequeño 
ángulo +θo (θo<10°) de su posición vertical, luego se suelta el péndulo. 
Determine aproximadamente el tiempo (en s), que demora la masa en 
pasar por segunda vez por la posición +θo/2 (g = 9,81 m/s
2) (PARCIAL 
2008-I)
Solución: * Piden Δt
* A partir del 
enunciado:
· Se deduce:
1244126
TTTTT
t 









g
L
t 2
6
5









81,9
1
3
5
t
st 67,1
38. Un péndulo de longitud L oscila con una 
frecuencia f. Si la longitud de la cuerda se reduce 
en 7,2 cm, la frecuencia del péndulo cambia a 
1,25f. Calcule la longitud L (en cm) del péndulo. 
(CEPRE 2018-II)
Solución: * Piden L
* A partir del 
enunciado:
∙ Recordar:
g
L
f
T 2
1

Lf
g
.
4
2
2


∙ Con ello:
2
2
21
2
12
..
4
LfLf
g


)2,7.()25,1(. 22  LfLf
cmL 20
40. La rapidez angular (en rad/s) con la cual 
oscila una esferita de 0,5 kg en un péndulo 
simple está dada por Ω(t) = 0,6πcos(3πt). 
Calcule la máxima energía cinética (en mJ) de 
la esferita durante su oscilación. Considere 
π2 = 10 y g = 10 m/s2 (CEPRE 2017-I)
Solución: * Piden Ecmáx
* Examinemos: ).3cos(6,0 t
).3cos(6,0)cos( 0 ttmáx  
Se deduce: 00 
srad / 3 
sradmáx / 6,0 
* Además:
L
g

L
2
3

  mL 
9
1

* Con ello:
2.
2
1
máxmáx VmEc 
2).).(5,0(
2
1
LEc máxmáx 
22 )9/1.()6,0.(
4
1
máxEc
mJJEcmáx 11,11 
90
1

41. Un péndulo simple es constituido por una cuerda de 1 m de longitud y una partícula de 2 N de peso. Si la 
partícula oscila con amplitud de 3 cm, determine su energía potencial (en mJ) a 2 cm de su posición de equilibrio. 
(CEPRE 2019-II) 
Solución: * Piden Ep
* A partir de enunciado:
∙ En lo pedido:
2.
2
1
xkEp 
∙ Del gráfico, en el eje tangencial:
senFR .2
.2RF
 LxFR /.2
 xLFR



Constante
/2
∙ Con ello: 2.
2
1
xkEp 
22 )10.2).(/2(
2
1  LEp
22 )10.2).(1/2(
2
1 Ep
mJJEp 4,0 10.4 4  