PROBLEMARIO-GEOMETRIA-Y-TRIGONOMETRIA-2023-2024_c

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1er semestre 2023-2024 
Problemario de Geometría y Trigonometría 
Academia de Geometría 
 
 
 
 
Autores: 
Prof. Maurilio Ángel Vega 
Prof. Luis Antonio Caso Alfaro 
Prof. Raul Bernal Ramos 
Prof. Guillermo Pablo García 
Prof. Noé Ramírez Negrete 
Prof. Roberto Ramírez 
Prof. Franco Ariel Ulloa González 
 
 
 
 
 
Compilación y Revisión: 
Profa. Alma Rosa Herrera Flores 
Prof. Franco Ariel Ulloa González 
 
Universidad Autónoma Chapingo 
Preparatoria Agrícola
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 2 de 65 
Contenido 
UNIDAD II. ÁNGULOS ............................................................................................................................. 4 
Conceptos ............................................................................................................................................. 4 
Problemario ........................................................................................................................................... 4 
UNIDAD III. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD .................................................................. 8 
Conceptos ............................................................................................................................................... 8 
Problemario ......................................................................................................................................... 10 
UNIDAD IV. TRIÁNGULOS ................................................................................................................... 12 
Conceptos ........................................................................................................................................... 12 
Problemario ......................................................................................................................................... 13 
UNIDAD V. CONGRUENCIA ................................................................................................................. 16 
Conceptos ........................................................................................................................................... 16 
Problemario ......................................................................................................................................... 17 
UNIDAD VI. SEMEJANZA ..................................................................................................................... 22 
Conceptos ........................................................................................................................................... 22 
Problemario ......................................................................................................................................... 24 
UNIDAD VII. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................. 32 
Conceptos ........................................................................................................................................... 32 
Problemario ......................................................................................................................................... 34 
UNIDAD VIII. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA ................ 37 
Conceptos ........................................................................................................................................... 37 
Problemario ......................................................................................................................................... 41 
UNIDAD IX. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO, GRAFICACIÓN DE LAS FUNCIONES 
TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................................................. 44 
Conceptos ........................................................................................................................................... 44 
Problemario ......................................................................................................................................... 48 
UNIDAD X TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ................................................................................. 50 
Conceptos ........................................................................................................................................... 50 
Problemario ......................................................................................................................................... 52 
UNIDAD XI. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS .......................................................................... 55 
Conceptos ........................................................................................................................................... 55 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 3 de 65 
Problemario ......................................................................................................................................... 57 
UNIDAD XII ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................... 60 
Conceptos ........................................................................................................................................... 60 
Problemario ......................................................................................................................................... 64 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 4 de 65 
UNIDAD II. ÁNGULOS 
II.1) Definición y clasificación de los ángulos. 
II.2) Teorema de los ángulos opuestos por el vértice. 
II.3) Ángulos que se forman entre parejas de rectas cortadas por una transversal. 
II.4) Problemas relativos a ángulos. 
 
Se definirá el concepto de ángulo y sus diversas clasificaciones. Se establecerán las relaciones 
entre parejas de ángulos: complementarios, suplementarios, opuestos por el vértice. 
Se enunciará y demostrará el teorema. "Los ángulos opuestos por el vértice son iguales". 
Se definirán las parejas de ángulos que se forman entre dos rectas cortadas por una transversal 
y se resolverán problemas relacionados con el tema. 
Conceptos 
Dos segmentos forman un ángulo, si al menos tienen un extremo común. El extremo común se 
llama vértice del ángulo y los segmentos se llaman lados del ángulo. Si los segmentos tienen, 
además del vértice, otro punto en común, entonces los segmentos se sobreponen y forman el 
ángulo de medida 0°. 
Ángulos. 
Agudo, menor de 90°; Recto, igual a 90°; Obtuso, mayor que 90°, pero menor a 180°; Llano, 
igual a 180°; Entrante, mayor que 180° pero menor que 360°; Perígono, igual a 360°. 
Ángulos Adyacentes, tienen de común un vértice y un lado. 
Ángulos Complementarios, dos ángulos cuya suma es 90° 
Ángulos Suplementarios, dos ángulos cuya suma es 180° 
Ángulos Opuestos por el Vértice, dos ángulos no 
adyacentes formados por dos rectas que se cruzan. En la 
figura ∠1, ∠3 son ángulos opuestos por el vértice, así como el 
par de ángulos ∠2, ∠4 . 
Bisectriz. Es una recta, rayo o segemento que divide al ángulo 
en dos ángulos de igual medida. 
Mediatriz. Es una recta, rayo o segmento que biseca a un 
segmento y, además, es perpendicular a él. 
 
Complementos de ángulos iguales son iguales. 
Suplementos de ángulos iguales son iguales. 
 
Problemario 
1) Dada la siguiente figura localizar los 
siguientes ángulos, utilizando la notación 
de tres puntos: 
a) Tres ángulos agudos. 
b) Un ángulo recto. 
c) Dos ángulos obtusos. 
d) Un ángulo llano. 
 
 
A
B
C
D
1
2
3
4
ángulos opuestos 
por el vértice
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 5 de 65 
2) En la figura siguiente, hallar: 
a) ∡𝐵𝐴𝐶 + ∡𝐶𝐴𝐷 
b) ∡𝐷𝐴𝐸 + ∡𝐶𝐴𝐷 
c) ∡𝐷𝐴𝐸 + ∡𝐵𝐴𝐷 
d) ∡𝐶𝐴𝐸 − ∡𝐶𝐴𝐷 
 
 
 
 
3) Indique la relación entre los siguientespares de ángulos: 
a) 𝛼		,			𝜃 ; b) 𝜃			,			𝜂 
c) 𝛼			,			𝛽 ; d) 𝜃			,			𝜆 
e) 𝛼			,			𝜂 ; f) ∠𝐴𝑂𝐷			,			𝜆 
 
4) En la figura, tres rectas se cortan en un 
mismo punto, si 𝛼 = 85°,	
𝜆 = 30°. Calcular 𝛽, 𝜂, 𝜃, 𝜇. 
Argumente su respuesta. 
 
 
5) Hallar el complemento de los siguientes 
ángulos: 
a) 68°	26´	58´´ 
b) 32°	85´	70´´ 
c) 15°	138´	195´´ 
6) Hallar el suplemento de los siguientes 
ángulos: 
a) 41°	20´	45´´ 
b) 99°	89´	100´´ 
c) 15°	138´	195´´ 
7) Encontrar el valor de cada ángulo de la 
siguiente figura: 
 
8) En la siguiente figura, encontrar la 
medida del ángulo 𝜆: 
 
9) En la siguiente figura, hallar la medida del 
ángulo 𝛽: 
 
α
μ
η θ
λ
β
3α
α+20°
α
3α
20°
λ
40°
82°
80°
β
α
180-α
70
O 
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1er semestre 2023-2024 6 de 65 
10) En 𝑃 se cruzan tres rectas ¿Cuánto 
suman los ángulos 𝛼, 𝛽, 𝜂? 
 
11) Si 𝛼 = 𝛼! , demuestre que 
𝜂 + 𝜃 = 180°. Véase la figura. 
 
12) En la figura 𝛼 = 𝛼! demuestra que 
𝛽 = 𝜂 . 
 
13) En la figura siguiente, si 𝛼 = 𝛼! , ∠𝐷𝐵𝐹 
es ángulo recto, demuestre que 𝛽 = 𝜂. 
 
14) Si 𝛼 = 130°		, 𝛽 = 40°		, ∡𝐶 = 90°. 
Hallar la medida de los ángulos 
𝜇	, 𝜆	, 𝜃	, 𝜂. Ver la figura 
 
15) En referencia a la figura del ejercicio 
anterior, indique la relación que hay en 
las siguientes parejas de ángulos: 
𝛼	, 𝜇 ; 𝛽		, 𝜇 ; 𝛽	, 𝜆 . 
Nota: La suma de las medidas de los 
ángulos interiores de un triángulo es 
180º. 
16) Si cada pareja de ángulos 𝛼, 𝛽	;	
	𝛽, 𝜃 , son complementarios. 
Demuestre que 𝛼 = 𝜃. Véase la 
figura: 
 
17) Si 𝐴𝐵D⃖DDD⃗ es una recta, ∡𝐶𝐷𝐵 = 50° , 𝐷𝐹FFFF 
bisectriz del ∠𝐶𝐷𝐵 , 𝐷𝐸FFFF bisectriz del 
∠𝐴𝐷𝐶 , hallar la medida del ∠𝐸𝐷𝐹. 
 
 
 
 
P
α β
η
θ
C
B
BA
E
F
D
α
η
α1
η
A
B
CB
D E
β
α1α
BA F
η
β
α1α
E
D
C
D
C
A B
Eα
μ β η
λθ
A
θ
βα
C
D
E
B
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1er semestre 2023-2024 7 de 65 
18) Si 𝛼, 𝛽, son dos ángulos adyacentes. 
Demuestre que las bisectrices 𝐴𝐶	FFFFF, 𝐴𝐵FFFF 
de los ángulos 𝛼, 𝛽, forman un ángulo 
recto, es decir, 		∡𝐵𝐴𝐶 = 90° . 
 
 
 
 
 
19) Hallar una pareja de ángulos que son: 
a) Complementarios y uno de ellos mide 
10° menos que el triple del otro. 
b) Suplementarios y uno es el cuádruple 
del otro. 
c) Adyacentes formando un ángulo de 
75° y su diferencia es de 21°. 
d) Adyacentes y uno de ellos es el doble 
del otro más 90°. 
e) Opuestos por el vértice y 
complementarios. 
f) Adyacentes, si su diferencia es de 
27°. 
g) Adyacentes que forman un ángulo de 
140° y el menor tiene 28° menos que 
el mayor. 
 
 
En los siguientes ejercicios, selecciona la respuesta correcta y argumenta. 
20) Si dos ángulos son complementarios, 
entonces ambos ángulos son... 
a) rectos 
b) de la misma medida 
c) agudos 
d) obtusos 
e) suplementarios 
 
21) El suplemento del ángulo de 45° es 
a) 90° 
b) 180° 
c) 45° 
d) 135° 
e) otro 
 
22) El complemento de 28° es: 
a) 180° 
b) 62° 
c) 90° 
d) 152 
e) otro 
 
23) El suplemento de 35° es : 
a) 90° 
b) 180° 
c) 55° 
d) 155° 
e) otro 
 
24) El suplemento de b es 5b. El valor de b 
en grados es: 
a) 150° 
b) 60° 
c) 30° 
d) 180° 
e) otro 
 
 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 8 de 65 
UNIDAD III. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD 
 
III.1) Definición: característica del paralelismo y la perpendicularidad. 
III.2) Postulado del paralelismo. 
III.3) Teorema fundamental del paralelismo. 
III.4) Problemas de demostración. 
 
• Se definen los conceptos de paralelismo y perpendicularidad. 
• Se enunciará el postulado del paralelismo: "si dos rectas paralelas son cortadas por una 
transversal, entonces los ángulos internos son iguales o congruentes". 
• Se enunciará el teorema fundamental del paralelismo: "si los ángulos alternos internos son 
iguales o congruentes, entonces las rectas correspondientes son paralelas. 
• Se resolverán problemas relacionados con el concepto de paralelismo. 
 
Conceptos 
La distancia de un punto 𝑷 a una recta 𝑨𝑩D⃖DDD⃗ , es la medida del 
segmento perpendicular 𝑃𝑄FFFF, trazado desde el punto 𝑃 hasta el punto 
𝑄 de la recta 𝐴𝐵D⃖DDD⃗ . 
 
Dos rectas son paralelas, si las distancias de dos puntos diferentes de una recta a la otra recta 
son iguales. 
 
5º Postulado de Euclides: Por un punto fuera de una recta, pasa 
una y solamente una recta paralela a la recta dada. 
La distancia entre dos rayos paralelos, tales como 𝐴𝐵DDDDD⃗ y 𝐶𝐷DDDDD⃗ , es la 
medida del segmento 𝑃𝑄FFFF, perpendicular común a los dos rayos 
paralelos y comprendido entre éstos. 
 
Sean las rectas 𝑛, 𝑝, cortadas por una recta transversal 𝑞. Se 
tienen los nombres para los siguientes pares de ángulos que 
se forman: 
Ángulos Correspondientes: ∠1, ∠5 ; ∠2, ∠6 ; ∠4, ∠8 ; 
∠3, ∠7 
Ángulos Alternos Internos: ∠4, ∠6 ; ∠3, ∠5 
Ángulos Conjugados: ∠4, ∠5 ; ∠3, ∠6 
 
SI las rectas 𝑛, 𝑝 son paralelas, entonces son iguales los 
ángulos correspondientes y los alternos internos. Además, los 
ángulos conjugados son suplementarios. 
A BQ
P
A
B
C
DP
Q
1 2
34
5
6
78
n
p
q
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 9 de 65 
SI las rectas 𝑛, 𝑝 no son paralelas, entonces no son iguales los ángulos correspondientes, no 
son iguales los alternos internos y los conjugados no son suplementarios. 
SI son iguales los ángulos correspondientes, o los alternos internos, o los conjugados son 
suplementarios, entonces las rectas 𝑛, 𝑝 son paralelas. 
SI no son iguales los ángulos correspondientes, o no son iguales los alternos internos, o los 
conjugados no son suplementarios, entonces las rectas 𝑛, 𝑝 no son paralelas. 
 
TEOREMA 
Si los lados de un ángulo son respectivamente paralelos a los 
lados de otro, los ángulos son iguales o son suplementarios. Si 
𝑙! ∥ 𝑙" , 𝑙# ∥ 𝑙$, entonces 𝑎 = 𝑏 o 𝑎 + 𝑐 = 180° 
Dos rectas son perpendiculares si al intersectarse forman un 
ángulo recto. 
 
La mediatriz de un segmento, es la recta perpendicular al segmento en 
su punto medio. 
Si un punto pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces, equidista 
de los extremos del segmento. 
Si el punto 𝑃 pertenece a 𝐶𝐷FFFF, mediatriz de 𝐴𝐵FFFF, entonces 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵. 
Si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces 
pertenece a la mediatriz del segmento. (Recíproco del anterior) 
Si 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵, entonces, 𝑃 pertenece a 𝐶𝐷FFFF, que es la mediatriz de 𝐴𝐵FFFF. 
 
La bisectriz de un ángulo es la recta que divide al ángulo en dos ángulos 
de la misma medida. 
Si un punto pertenece a la bisectriz de un ángulo, entonces equidista de los 
lados del ángulo. 
Si 𝑃 pertenece al 𝐴𝐵FFFF, bisectriz de ∠𝐴, entonces 𝑃𝑄 = 𝑃𝑅, siendo PQ, 𝑃𝑅 
las medidas de las distancias de 𝑃 a los lados del ∠𝐴. 
Si un punto equidista de los lados de un ángulo, entonces pertenece a la bisectriz del ángulo. 
Si 𝑃𝑄 = 𝑃𝑅, siendo 𝑃𝑄, 𝑃𝑅 las medidas de las distancias de 𝑃 a los lados del ∠𝐴, entonces 𝑃 
pertenece al 𝐴𝐵FFFF, que es la bisectriz del ∠𝐴. 
 
 
 
 
 
 
a
c b
l1
l2
l3
l4
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1er semestre 2023-2024 10 de 65 
Problemario 
 
1) En las siguientes figuras hallar la 
medida de los ángulos 𝑥, 𝑦, 𝑧: 
a) 𝐴𝐵D⃖DDD⃗ ∥ 𝐶𝐷D⃖DDD⃗ 		, 𝑟	 es transversal. 
 
 
b) 𝑙 ∥ 𝑚		, 𝑟 es transversal. 
 
 
c) 𝑙! ∥ 𝑙# ∥ 𝑙" 
 
 
 
 
 
 
d) 𝐴𝐷DDDDD⃗ ∥ 𝐵𝐹DDDDD⃗ y 𝐴𝐶DDDDD⃗ ∥ 𝐵𝐸DDDDD⃗ 
 
2) Si ∡𝐵𝐷𝐶 = 40° , 𝐸𝐵D⃖DDDD es bisectriz del 
∠𝐷𝐵𝐴 y 𝐶𝐷FFFF ∥ 𝐸𝐵D⃖DDDD . Cuál es la medida de 
los ángulos ∠𝐷𝐵𝐴, ∠𝐷𝐶𝐵 y ∠𝐷𝐵𝐶. 
 
3) Si 𝑙! ∥ 𝑙#, 𝑟!, 𝑟# son transversales. 
Determine el valor de los ángulos 𝛼, 𝛽, 
𝜂, 𝜃, 𝜆, 𝜇. 
 
 
 
 
A B
C D
z
y
x
130°
 
 92°
x+2y
4y
2zl
m
B
C
 
 
 
x
52°
102°
 
 
y
z
l1
l2
l3
A
B
C
 x
 102° 
 
F
E
D
y
z
40
B
D
C
 
 
E
A
 43°80°
 
 
 
 α
β η θ
λ μ
l1
l2
r 
r 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 11 de 65 
4) Suponga que 𝐴𝐵D⃖DDD⃗ ∥ 𝐶𝐷D⃖DDD⃗ . Determine la 
medida de los ángulos indicados en la 
figura. 
 
5) Si 𝐴𝐷D⃖DDD⃗ ∥ 𝐵𝐶D⃖DDD⃗ hallar la medida de los 
ángulos 𝜑, 𝜆, 𝜂, 𝛽, 𝜃. 
 
6) Se tiene que 𝑙! ∥ 𝑙# ∥ 𝑙" , hallar el valor 
de los ángulos a,b, c, d. 
 
 
7) Si 𝐴𝐺D⃖DDD⃗ ∥ 𝐷𝐸D⃖DDD⃗ , ∡𝐴𝐶𝐵 = 72° , ∡𝐵𝐶𝐸 = 70°, 
determine la medida de los ángulos 
𝛼, 𝛽, 𝜃, 𝜆. 
 
 
 
 
8) Si se tiene que 𝑙! ∥ 𝑙# ∥ 𝑙", determine la 
medida de los ángulos 𝛼, 𝛽. 
 
 
 
9) Considere las rectas 𝑙! ∥ 𝑙# y 𝑚! ∥ 𝑚# 
Demostrar que: a) 𝛼 = 𝛼′ 
b) 𝛼 + 𝛽 = 180° 
 
 
 
 
 
 
 
100°
44° 34°
A B
C D
a b
c d
θ λ
β
i k
fz
e m
B
A D
C
φ λ
η β 31°
θ 67° α
 
 
 
 
 
a
c
d b
 
l1
l2
110°
l3
120°
80°
C
A B G
D E
 
 
λθβ 
α
50°
20°
α
β
 
 
 
l1
l2
l3
l1 l2
m1
m2α
α'
β 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 12 de 65 
UNIDAD IV. TRIÁNGULOS 
 
IV.1) Definición y clasificación de los triángulos. 
IV.2) Teorema de los ángulos interiores de un triángulo. 
IV.3) Rectas y puntos notables de los triángulos. 
 
Se definen y clasifican los triángulos. A continuación se demostrará el teorema: " En todo 
triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos". 
También se definirán puntos y rectas notables del triángulo. 
Con las definiciones, los conceptos y el teorema demostrado, se resolverán una variedad de 
problemas relativos a triángulos. 
 
Conceptos 
 
Tres puntos no colineales están contenidos en tres rectas, la figura así formada se llama 
Triángulo. 
Los puntos de intersección de las rectas se llaman vértices del Triángulo. 
Los segmentos contenidos entre los vértices del Triángulo se llaman lados del Triángulo. 
Entonces el Triángulo está formado por tres vértices, tres lados, tres ángulos interiores. 
Si los tres puntos son colineales, se dice que se tiene un triángulo de área cero. 
 
Clasificación de los Triángulos de Acuerdo a las Medidas de sus Lados: 
• Escaleno, las medidas de sus tres lados son desiguales. 
• Isósceles, al menos las medidas de dos de sus lados son iguales. 
• Equilátero, las medidas de sus tres lados son iguales. 
 
Clasificación de los Triángulos de Acuerdo a sus Ángulos: 
• Acutángulo, tiene sus tres ángulos agudos. 
• Rectángulo, tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos. El lado opuesto al ángulo recto 
se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. 
• Obtusángulo, tiene un ángulo obtuso y dos ángulos agudos. 
 
Segmentos y Puntos Especiales de un Triángulo 
• Bisectrices de los ángulos de un triángulo, segmento de recta que biseca el ángulo y 
llega hasta el lado opuesto. El Incentro es el punto donde se intersectan las tres 
bisectrices del triángulo. 
• Medianas, son los segmentos de recta que van desde un vértice hasta el punto medio del 
lado lado opuesto. El Baricentro es el punto donde se intersectan las tres medianas del 
triángulo. 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 13 de 65 
• Mediatriz de un lado de un triángulo, es el segmento perpendicular al lado del triángulo 
en su punto medio. El Circuncentro es el punto donde se intersectan las tres mediatrices 
de los lados de un triángulo. 
• Alturas de un triángulo, son los segmentos perpendiculares a cada uno de los lados 
con uno de sus extremos en el vértice opuesto a cada lado. El Ortocentro es el punto 
donde se intersectan las tres alturas de un triángulo. 
En cualquier Triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es 180°. 
Ángulo exterior de un triángulo: Se forma con un lado del 
triángulo y la prolongación de otro lado del triángulo. El ángulo 
cuya medida es 𝑐′ es un ángulo exterior del ∆𝐴𝐵𝐶. 
En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es igual a la 
suma de las medidas de los dos ángulos interiores no adyacentes. 
En el ∆𝐴𝐵𝐶 , 𝒄% = ∡𝑨 + ∡𝑩 
 
 
Problemario 
 
1) En la siguiente figura, encontrar tres 
triángulos rectángulos indicando la 
hipotenusa y catetos de cada uno. 
 
 
2) Con los datos de la figura y 𝐴𝐵FFFF ∥ 𝐷𝐶FFFF, 
indicar: 
a. Dos triángulos obtusángulos. 
b. Dos triángulos isósceles, indicando 
los lados y ángulos iguales. 
 
 
3) En el triángulo ∆𝐴𝐷𝐺, se tienen los 
siguientes datos: 𝐴𝐶FFFF ≅ 𝐶𝐷FFFF, 𝐴𝐷FFFF ⊥ 𝐵𝐺FFFF, 
𝐺𝐷FFFF ⊥ 𝐴𝐹FFFF, 𝐺𝐸FFFF ≅ 𝐸𝐷FFFF. Escribir los nombres 
de los elementos que a continuación se 
proponen: 𝐴𝐸FFFF, 𝐺𝐵FFFF, punto 𝑂, punto 𝑃. 
 
4) Con los datos de la figura, en la que 𝑃𝐴D⃖DDDD 
es la bisectriz del ángulo exterior 𝛼	del 
∆𝐴𝐵𝐶. Calcular la medida de los ángulos 
α, ∠𝐶, ∠𝐵𝐴𝐶. 
 
A B
C
D
A B
E
D C
5 5
7 7
DEMO VERSION
A
B
C
xα
40°
P
x-10
A
B
C
 c'
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 14 de 65 
5) Indicar los segmentos y ángulos que se 
forman: 
a. Si 𝑃𝑅FFFF es mediatriz del 𝐴𝐵FFFF. 
b. Si 𝐵𝐹FFFF es bisectriz del ∠𝐴𝐵𝐶. 
c. Si 𝐶𝐺FFFF es una altura correspondiente 
al ∠𝐴𝐶𝐷 
d. Si 𝐸𝑀FFFFF es una mediana 
correspondiente al ∠𝐴𝐸𝐷 
 
6) En el ∆𝐴𝐵𝐶, de la figura, se tiene que 
𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 y ∡𝐵 = 64°. Las bisectrices de 
los ∠𝐴 y ∠𝐶 se cortan en el punto 𝑀. 
Determinar la medida del ∠𝐴𝑀𝐶. 
 
7) Teniendo en cuenta la figura, determinar 
las medidas de los ángulos ∠BAC, ∠ABC, 
∠C, sabiendo que α = 90° y β = 5	∡ABC. 
 
 
8) En la figura se tiene que 𝐶𝐷FFFF ∥ 𝐴𝐵FFFF, 
∡8 = 47°, ∡9 = 118°, ∡10 = 83°. Hallar 
el valor de los otros ángulos numerados. 
 
 
9) Encontrar los valores de 𝑥, 𝑦, 𝑧; 
sabiendo que 𝐴𝐵FFFF ≅ 𝐴𝐶FFFF y que 
𝑦 + 𝑧 = 90°. 
 
10) Si la bisectriz de un ángulo exterior de 
un triángulo es paralela a un lado, 
demostrar que el triángulo es isósceles. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A DG
C
M
E
B
FR P
DEMO VERSION
AC
B
β
α
DEMO VERSION
A
B
C
50°
x y
z
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 15 de 65 
11) En la figura se tiene que 𝑪𝑨FFFF ≅ 𝑪𝑩FFFF; 𝑴 es 
el punto medio de 𝑨𝑩FFFF y 𝑪𝑴FFFFF ⊥ 𝑫𝑬FFFF, 
Demostrar que 𝑫𝑬FFFF ∥ 𝑨𝑩FFFF. 
 
 
12) En un triángulo ∆𝐴𝐵𝐶 , ∡𝐵 = 41° y ∡𝐶 =
70° . ¿Cuánto mide el ángulo θ formado 
por la bisectriz y la altura 𝐴𝐻FFFF 
correspondiente al vértice 𝐴? 
 
 
13) Si 𝑨𝑪FFFF ≅ 𝑩𝑪FFFF, 𝑨𝑫FFFF ≅ 𝑩𝑫FFFFF. Demuéstrese 
que ∠𝐂𝐀𝐃 ≅ ∠𝐂𝐁𝐃. 
 
14) En la siguiente figura, 𝐴𝐵FFFF ≅ 𝐴𝐶FFFF y 
𝑟 ⊥ 𝐵𝐶FFFF. Demostrar que ∆𝑀𝐴𝑁 es 
isósceles. 
 
 
15) Si ⊡𝐷𝐸𝐹𝐺 es un cuadrado y ∆𝐸𝐹𝐻 es 
un triángulo equilátero. Calcular las 
medidas de los ángulos del triángulo 
rectángulo ∆𝐴𝐶𝐵 . 
 
 
16) Calcular la suma de los ángulos 
𝛼, 𝛽, 𝛿, 𝜃, 𝜆 en la siguiente figura, 
 
 
 
A BM
C
D E
DEMO VERSION
B C
A
H
41° 70°
θ
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 16 de 65 
UNIDAD V. CONGRUENCIA 
 
V.1) Concepto de congruencia. 
V.2) Postulados de congruencia. 
V.3) Teorema de triángulo isósceles. 
V.4) Problemas de aplicación. 
 
El concepto de congruencia y en particular, congruencia de triángulos, se deberá abordar a nivel 
de familiaridad, no se profundizará en el tema, el profesor se limitará a enunciar los postulados 
de congruencia de triángulos: LAL, ALA y LLL. 
Se enunciará el teorema: "En todo triángulo a ángulos iguales se oponen lados iguales", y su 
recíproco. 
Se resolverán en clase problemas sencillos que involucren el concepto de congruencia. 
 
Conceptos 
Triángulos congruentes son los que tienen la misma 
forma y el mismo tamaño, es decir, los lados y ángulos 
de un triángulo son congruentes con sus homólogos 
de otro triángulo. 
Ejemplo: ∆𝐵𝐴𝐶 ≅ ∆𝐵′𝐴′𝐶′ 
 
 
Si dos triángulosson congruentes , sus 
elementos homólogos son congruentes. 
Si ∆𝑃𝑄𝑅 ≅ ∆𝑃%𝑄%𝑅% entonces: 
𝑃𝑄FFFF ≅ 𝑃%𝑄%FFFFFF , 𝑄𝑅FFFF ≅ 𝑄%𝑅%FFFFFF , 𝑅𝑃FFFF ≅ 𝑅%𝑃%FFFFFF, ∠𝑃 ≅ ∠𝑃′ , 
∠𝑄 ≅ ∠𝑄′ , ∠𝑅 ≅ ∠𝑅′. 
Es decir, 𝑟 = 𝑟′ , 𝑝 = 𝑝′ , 𝑞 = 𝑞′ ; ∡𝑃 = ∡𝑃′ , 
∡𝑄 = ∡𝑄′ , ∡𝑅 = ∡𝑅′ . 
 
Principio LAL: Si un triángulo tiene dos lados y el ángulo 
comprendido entre ellos, congruentes a los elementos 
homólogos de otro, entonces los triángulos son 
congruentes 
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶′ 
 
53
C
53°
53°
37°
37°
3
E
A C
B
F
G
C'
B'
A'
5
4
5
4
3
Q
P
R
D
E
Q'
R'
P'
 
 
 
 
 
 
p
q
r
r'
p '
q'
b 
 
B
A
C
D
E
B'
C'
A'
c
c'
b'
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 17 de 65 
Principio ALA: Si un triángulo tiene un lado y dos ángulos, 
con vértices en sus extremos, congruentes a los elementos 
homólogos de otro, entonces los dos triángulos son 
congruentes 
∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶′. 
 
 
Principio LLL: Si los tres lados de un triángulo son 
congruentes a los elementos homólogos de otro, entonces 
los dos triángulos son congruentes ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶′. 
 
 
Triángulos Isósceles y Equiláteros. Los ángulos opuestos a lados congruentes son 
congruentes y recíprocamente, los lados opuestos a ángulos congruentes son congruentes. 
 
Problemario 
 
1) En la figura, 𝑀𝐾FFFFF ≅ 𝑀𝑄FFFFF, 
𝑀𝐿FFFF ≅ 𝑀𝑃FFFFF		y		𝐾𝐿FFFF ≅ 𝑄𝑃FFFF. Hallar el ángulo 
congruente al ∠𝐾𝑀𝐿. Justifique su 
respuesta. 
 
2) En la figura se tiene que 𝑀𝐾FFFFF ≅ 𝑀𝑄FFFFF, 
∠𝐾 ≅ ∠𝑄, 𝑃𝑀FFFFF ⊥ 𝑀𝐾FFFFF, 𝐿𝑀FFFF ⊥ 𝑀𝑄FFFFF. 
Demostrar que ∠𝐿 ≅ ∠𝑃 . 
 
3) En la figura se tiene que 𝐶𝐴FFFF ≅ 𝐶𝐵FFFF; 𝑀 es 
el punto medio de 𝐴𝐵FFFF y 𝐶𝑀FFFFF ⊥ 𝐷𝐸FFFF, 
Demostrar que 𝐷𝐸FFFF ∥ 𝐴𝐵FFFF. 
 
4) Si el ∆𝐴𝐵𝐶 es isósceles de base 𝐴𝐵FFFF ; 𝐷, 
𝐹 son los puntos medios de 𝐴𝐶FFFF y 𝐵𝐶FFFF, 
respectivamente. Demostrar que 
𝐴𝐹FFFF ≅ 𝐵𝐷FFFF y ∠1 ≅ ∠2 . 
 
A BM
C
D E
A B
C
D F
 1 2
O
b 
B
A
C
D
E
B'
C'
c'
b'
c
A'
 
 
 
b
B
A
C
D
E
B'
C'
c'
b'
c
A'
a
a'
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 18 de 65 
5) En la figura, se tiene que ∠𝐴 ≅ ∠𝐵, 
𝐴𝐷FFFF ≅ 𝐵𝐸FFFF , y ∠𝐴𝐷𝐺 ≅ ∠𝐵𝐸𝐹 . Demostrar 
que ∠𝐶𝐹𝐸 ≅ ∠𝐶𝐺𝐷. 
 
6) Si 𝐾𝑀FFFFF es bisectriz de los ∠𝐻𝐾𝐺	, ∠𝐻𝑆𝐺. 
Demuestre que 𝐾𝑀FFFFF ⊥ 𝐻𝐺FFFF. 
 
7) En la figura, si 𝐴𝐷FFFF ⊥ 𝐴𝐵FFFF, 𝐵𝐶FFFF ⊥ 𝐴𝐵FFFF, y 
𝐴𝐷FFFF ≅ 𝐵𝐶FFFF . demostrar que ∆𝐴𝑂𝐵 es 
isósceles. 
 
 
 
 
 
8) En la figura, 𝐴𝐵FFFF	, 𝐶𝐷FFFF se bisectan en el 
punto 𝐸. Demostrar que 𝐴𝐷FFFF ∥ 𝐶𝐵FFFF . 
 
9) En la figura se tiene lo siguiente: 
𝐴𝐸FFFF ≅ 𝐵𝐶FFFF		, 𝐴𝐷FFFF ≅ 𝐵𝐷FFFF		, 𝐷𝐸FFFF ≅ 𝐷𝐶FFFF. 
Demostrar que ∠𝐸 ≅ ∠𝐶 . 
 
 
10) En la figura: 𝑃𝑆FFFF ≅ 𝑄𝑆FFFF		, 𝑃𝑈FFFF ≅ 𝑄𝑈FFFF. 
Demostrar que 𝑆𝑈FFFF ⊥ 𝑃𝑄FFFF, ∠𝑥 ≅ ∠𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
A B
D C
O
P Q
S
U
 x y
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 19 de 65 
11) En la figura: 𝐴𝐵FFFF ≅ 𝐶𝐵FFFF, ∠𝑀𝐴𝐸 ≅ ∠𝑁𝐶𝐷, 
𝐴𝐸FFFF ≅ 𝐶𝐷FFFF. Demostrar que 
∆𝐴𝐵𝐸 ≅ ∆𝐶𝐵𝐷 . 
 
 
12) En la figura, ∠𝑄𝑃𝑇		, ∠𝑅𝑆𝑇 son rectos, 
𝑃𝑇FFFF ≅ 𝑆𝑇FFFF. Demostrar que 
∠𝑃𝑄𝑇 ≅ ∠𝑆𝑅𝑇 . 
 
13) En el ∆𝐴𝐵𝐶 isósceles, de base 𝐴𝐶FFFF. Se 
tiene que 𝐴𝐷FFFF,			𝐶𝐸FFFF son bisectrices de 
los ∠𝐴,			∠𝐶 respectivamente. 
Demostrar que 𝐴𝐷FFFF ≅ 𝐶𝐸FFFF . 
 
 
 
 
 
14) En el ∆𝐴𝐵𝐶 equilátero, se tiene que 
𝐴𝑃FFFF ≅ 𝐵𝑄FFFF ≅ 𝐶𝑅FFFF. Muestre que ∆𝑃𝑄𝑅 es 
equilátero. 
 
 
15) Si ∠𝐷 ≅ ∠𝑈		, 𝐷𝑇FFFF ≅ 𝑈𝑇FFFF. Demuestre 
que ∆𝐷𝑇𝑆 ≅ ∆𝑈𝑇𝐴. 
 
16) Si 𝐴𝐶FFFF ≅ 𝐵𝐶FFFF		, 𝐷𝐶FFFF ≅ 𝐸𝐶FFFF. Demuestre 
que 𝐷𝐹FFFF ≅ 𝐸𝐹FFFF . 
 
 
 
 
 
 
BM
E
A C
D
N
Q
P
T
R
S
C
B
A
P
R
Q
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 20 de 65 
17) Si 𝐴𝐵FFFF ≅ 𝐵𝐶FFFF, 𝐷 es punto medio de 𝐴𝐵FFFF 
y 𝐸 es punto medio de 𝐵𝐶FFFF. Demostrar 
que 𝐷𝐶FFFF ≅ 𝐸𝐴FFFF . 
 
 
18) Si 𝐵 es punto medio de 𝐴𝐶FFFF; 𝐵𝐷FFFF ≅ 𝐵𝐸FFFF; 
∠𝐴𝐵𝐷 ≅ ∠𝐶𝐵𝐸. Demuestre que 
∆𝐴𝐵𝐸 ≅ ∆𝐶𝐵𝐷 . 
 
 
19) Considérese que 𝐴𝐵FFFF ≅ 𝐴𝐶FFFF y 𝐷 es 
punto medio de 𝐵𝐶FFFF. Demostrar que 
𝐴𝐷FFFF ⊥ 𝐵𝐶FFFF. 
 
 
 
20) Tomando en cuenta que 𝑀𝑂FFFFF ≅ 𝑀𝑁FFFFF y 
∠AOM ≅ ∠PNM, Demostrar que 
∠A ≅ ∠P . 
 
 
21) En la siguiente figura, si 𝐴𝐵FFFF ≅ 𝐴𝐸FFFF, 
𝐴𝐶FFFF ≅ 𝐴𝐷FFFF, 𝐵𝐶FFFF ≅ 𝐸𝐷FFFF . Determine el 
valor del ángulo α. 
 
 
22) En el cuadrado ⊡𝐴𝐵𝐶𝐷, el punto 𝑃 es 
el punto medio de 𝐷𝐶FFFF. 𝑃𝑄FFFF y 𝑃𝑅FFFF se han 
trazado de modo que ∡QPC = 30°,
∡RPQ = 120°. Demuéstrese que 	
𝑃𝑄FFFF ≅ 𝑃𝑅FFFF . 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 21 de 65 
23) Si 𝐴𝐵FFFF ⊥ 𝑀𝐾FFFFF y 𝑀𝐵FFFFF ≅ 𝐵𝐾FFFF. Demostrar 
que ∠𝑥 ≅ ∠𝑦 . 
 
 
 
 
B
D
KM
A
 
 x y
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 22 de 65 
UNIDAD VI. SEMEJANZA 
 
VI.1) Razones y Proporciones. 
VI.2) Concepto de Semejanza. Triángulos Semejantes. 
VI.3) Postulado de Semejanza. 
VI.4) Teorema de Pitágoras. 
VI.5) Teorema Fundamental de Proporcionalidad. 
 
 
Conceptos 
Figuras Semejantes son las figuras que tienen la misma forma y diferente tamaño, como las 
ampliaciones de una foto. 
Por ejemplo, estas dos copas son semejantes, tienen 
la misma forma, pero el diámetro de la primera boca 
es de 6 y el de su homóloga mide 18. 
Dividir !&
'
= 3, o 18 = 3 ∙ 6, significa que 18 es tres 
veces más grande que 6, es decir el segundo diámetro 
es tres veces más grande que el primero. Todas las 
líneas homólogas, rectas o curvas, de la segunda 
copa son tres veces más grandes que la primera. Se 
dice que están en razón de 3 a 1: !&
'
= #$
&
= (
!&
= 3. 
Por ejemplo, una línea de la copa pequeña mide 8, su 
homóloga de la grande mide 24 
Se denominan Triángulos Semejantes los que tienen la misma forma y diferente tamaño, 
además sus ángulos homólogos son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales. 
La expresión ∆𝐀𝐁𝐂	~∆𝐀%𝐁′𝐂′ se lee: El triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’. 
Los ángulos homólogos son congruentes y están en el orden en que se escribe la semejanza, 
∠𝐴 ≅ ∠𝐴´ , ∠𝐵 ≅ ∠𝐵´ , ∠𝐶 ≅ ∠𝐶´. 
Los lados homólogos forman una proporción y ésta se forma en el orden en que se escribe la 
semejanza, )*
)´*´
= *,
*´,´
= ,)
,´)´
 
 
Criterios de Semejanza 
Criterio AA. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes 
a sus homólogos en el otro, entonces los dos triángulos son 
semejantes. 
Si ∠𝐴 ≅ ∠𝐴′ , ∠𝐵 ≅ ∠𝐵′, entonces ∆ABC~∆A′B′C′. 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 23 de 65 
Criterio LAL. Si dos lados de cada triángulo forman una 
proporción y los ángulos comprendidos entre esos lados son 
congruentes, entonces los dos triángulos son semejantes. 
Si -
-´
= .
.´
 , ∠𝐴 ≅ ∠𝐴′ , entonces ∆𝐴𝐵𝐶	~∆𝐴%𝐵′𝐶′. 
Criterio LLL Si los lados de dos triángulos son proporcionales 
entonces los dos triángulos son semejantes. 
Si -
-´
= .
.´
= /
/´
 entonces ∆𝐴𝐵𝐶	~∆𝐴%𝐵′𝐶′ 
 
Si dos triángulos son semejantes entonces son proporcionales sus alturas, medianas, perímetros, 
etc. 
 
Teorema de Tales. Dos transversales, cortadas por tres o más 
paralelas, quedan divididas en segmentos proporcionales. 
Sean 𝐴𝐶D⃖DDD⃗ 		, 𝐵𝐷D⃖DDD⃗ transversales y 𝐴𝐵D⃖DDD⃗ ∥ 𝐸𝐹D⃖DDD⃗ ∥ 𝐶𝐷D⃖DDD⃗ , entonces -
.
= /
0
. 
• Si un segmento es paralelo a uno de los lados de un triángulo, 
entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos 
proporcionales. 
Por ejemplo, en el ∆𝐴𝐵𝐶,si 𝐷𝐸FFFF ∥ 𝐵𝐶FFFF , entonces -
.
= /
0
. 
• Si un segmento divide dos lados de un triángulo en segmentos 
proporcionales, entonces es paralelo al tercer lado. (Recíproco 
del anterior enunciado) 
Por ejemplo, en el ∆𝐴𝐵𝐶 si-
.
= /
0
 entonces, 𝐷𝐸FFFF ∥ 𝐵𝐶FFFF . 
 
 
Teorema de la Bisectriz. La bisectriz de un ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos 
segmentos proporcionales a los otros dos lados del triángulo. 
En el ∆𝐴𝐵𝐶, si 𝐶𝐷FFFF es bisectriz del ∠𝐶, entonces -
.
= /
0
. 
 
Teorema del Cateto: El cateto es media proporcional 
entre su proyección sobre la hipotenusa y la 
hipotenusa. 
De la siguiente figura, /!
-
= -
/
 , /"
.
= .
/
 
 
Teorema de la Altura: La altura es media 
proporcional entre las proyecciones de los catetos 
sobre la hipotenusa. 
De la figura anterior, /"
1
= 1
/!
 
 
A B
C
D
𝑏 
𝑎 
𝑐! 𝑐" 
𝑐 = 𝑐! + 𝑐" 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 24 de 65 
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de 
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es 
decir, 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐. 
 
¿Cómo clasificar un triángulo? 
Si el mayor de los lados es 𝐜, entonces si: 
𝑐# < 𝑎# + 𝑏# el triángulo es acutángulo. 
𝑐# = 𝑎# + 𝑏# el triángulo es rectángulo. 
𝑐# > 𝑎# + 𝑏# el triángulo es obtusángulo. 
 
 
 
Problemario 
 
1 ¿Pueden ser semejantes dos triángulos 
tales que uno de ellos tenga un ángulo 
interior que mida 70º y el otro un ángulo 
interior de 115º? Explique. 
 
2 ¿Pueden ser semejantes dos triángulos 
tales que el primero tenga un ángulo 
interior de 60º y el otro un ángulo exterior 
que mida 75º? Justifique su respuesta. 
 
 
3 Si un ángulo de un triángulo isósceles 
tiene la misma medida que un ángulo de 
un segundo triángulo isósceles, ¿son los 
dos triángulos necesariamente 
semejantes? Explique. 
4 Calcule la medida de los segmentos 
determinados por la bisectriz sobre el 
lado mayor de los triángulos cuyos 
lados a , b y c miden: 
a) a = 15 ; b = 10 ; c = 20 
b) a = 7 ; b = 3 ; c = 5 
 
En las figuras siguientes demuestre que los triángulos indicados son semejantes: 
 
5 Si 𝐴𝐵 = 12		, 𝐴𝐶 = 18, y las medidas 
dadas en la figura, muestre que 
∆EAD~∆BAC. 
 
 
 
 
6 Con los datos de la figura, muestre que 
∆𝐶𝐸𝐵~∆𝐴𝐵𝐷. 
 
 
 
6 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 25 de 65 
7 Con los datos de la figura, muestre que 
∆𝐷𝐶𝐴~∆𝐶𝐴𝐵. 
 
 
8 Muestre que ∆𝐴𝐷𝐵~∆𝐴𝐵𝐶, utilice los 
datos de la figura. 
 
9 Utilizando los datos de la figura, muestre 
que ∆𝐵𝐸𝐴~∆𝐷𝐸𝐶. 
 
10 Con los datos de la figura, muestre que 
∆𝐸𝐹𝐷~∆𝐵𝐴𝐶. 
 
 
 
Considerando los datos dados en cada figura, determine el valor de 𝑥 sujeto a las hipótesis 
indicadas en cada uno de los casos que se dan a continuación: 
 
11 Hipótesis: 𝐴𝐷FFFF ∥ 𝐵𝐶FFFF . 
 
 
 
12 Hipótesis ∠𝑆𝑄𝑂 ≅ ∠𝑂𝑄𝑃 
 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 26 de 65 
13 Hipótesis 𝐸𝐷FFFF ∥ 𝐵𝐶FFFF , 𝐴𝐶 = 15. 
 
14 Hipótesis: 𝐴𝐵FFFF ∥ 𝐸𝐹FFFF ∥ 𝐶𝐷FFFF , 𝐴𝐶 = 10 
 
15 Hipótesis: 𝐹𝐺FFFF ∥ 𝐸𝐻FFFF y 𝐸𝐺FFFF ∥ 𝐷𝐻FFFF . 
 
 
16 Hipótesis: 𝐴𝐵FFFF ∥ 𝐸𝐹FFFF ∥ 𝐶𝐷FFFF . 
 
 
 
17 Hipótesis ∠𝐵𝐴𝐷 ≅ ∠𝐷𝐴𝐶 . 
 
 
18 Hipótesis: 𝐴𝐵FFFF ∥ 𝐶𝐷FFFF ∥ 𝐸𝐹FFFF ∥ 𝐺𝐻FFFF; 
	𝐺𝐼FFFF ≅ 𝐼𝐽� ≅ 𝐽𝐵FFF : 𝐸𝐴 = 𝑥 . 
 
 
19 Hipótesis: 𝐵𝐴FFFF ⊥ 𝐵𝐸FFFF, 𝐶𝐷FFFF ⊥ 𝐵𝐸FFFF, 
𝐸𝐹FFFF ⊥ 𝐵𝐸FFFF . 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 27 de 65 
20 Hipótesis: 𝐴𝐷FFFF ∥ 𝐹𝐺FFFF ∥ 𝐵𝐶FFFF	, 𝐵𝐹FFFF ≅ 𝐹𝐴FFFF ; 
𝐶𝐷 = 15 . 
 
21 Hipótesis: 𝐴𝐵FFFF ∥ 𝐸𝐹FFFF ∥ 𝐶𝐷FFFF 𝐴𝐶 = 15 
 
22 Hipótesis: 𝐴𝐵FFFF ∥ 𝐶𝐷FFFF ∥ 𝐸𝐹FFFF , 𝐸𝐴 = 𝑥 . 
 
 
 
 
23 En la figura que se muestra enseguida, 
se tiene que 𝑃𝑄FFFF ∥ 𝐴𝐵FFFF y 𝐴𝐶FFFF ∥ 𝑅𝑄FFFF. 
Demuestre que ∆𝑃𝐶𝑄~∆𝑅𝑄𝐵 y 
establezca la proporcionalidad entre los 
lados homólogos. 
. 
24 En el ∆𝑃𝑄𝑅 , de la figura que se 
muestra, 𝑄𝑇FFFF es bisectriz del ∠𝑄, 	
𝑆𝑇FFFF ∥ 𝑄𝑅FFFF . Demuestre que: 
a) ∆𝑄𝑃𝑅~∆𝑆𝑃𝑇 . 
b) Si 𝑄𝑃 = 4 y 𝑄𝑅 = 6 , encuentre la 
medida de 𝑄𝑆FFFF, 𝑆𝑃FFFF . 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 28 de 65 
25 En la figura se tiene que 
∠𝐷𝐶𝐵 ≅ ∠𝐶𝐴𝐵. 
a) Demuestre que ∆𝐷𝐶𝐵~∆𝐶𝐴𝐵 . 
b) Si 𝐴𝐵 = 16 , 𝐴𝐷 = 4, determine 𝐵𝐶. 
 
 
26 Si 𝐶𝐷FFFF ⊥ 𝐴𝐵FFFF, 𝐴𝐸FFFF ⊥ 𝐵𝐶FFFF. Demuestre que 
∆𝐵𝐷𝐶~∆𝐵𝐸𝐴 . 
 
27 Si 𝑀𝑁FFFFF ∥ 𝑅𝑃FFFF, demuestre que 
∆𝑂𝑁𝑀~∆𝑂𝑄𝑃 . 
 
 
28 Si ∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐷𝐸𝐹 y utilizando las medidas 
de las figuras. Calcule las medidas de 
los lados 𝐷𝐹FFFF, 𝐸𝐹FFFF . 
 
29 Javier mide 1.6 m de estatura y en un 
momento dado proyecta una sombra de 
0.5 m de largo. En ese mismo instante 
el asta bandera del patio de su colegio 
proyecta una sombra de 1.4 m. Calcule 
la altura del asta bandera. 
30 Para medir el ancho de un río, una 
persona tomó las medidas que se 
muestran en el croquis siguiente, en el 
que se considera que 𝐴𝐶FFFF ⊥ 𝐴𝐷FFFF, 
𝐴𝐷FFFF ⊥ 𝐷𝐸FFFF. Calcule al ancho del río. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 29 de 65 
Calcule el valor de las incógnitas 𝑟, 𝑤, 𝑥	, 𝑦 , 𝑧 según se pida, con los datos que se dan en 
cada uno de los siguientes ejercicios del 31 al 36. 
31 Los triángulos son rectángulos. 
. 
 
32 Datos: 𝐴𝐸 = 20 . 
 
33 
 
34 El ∠𝐶 es recto. 
 
35 
 
 
36 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 30 de 65 
37 Calcule la longitud de la altura trazada 
desde el vértice C, con los datos dados 
en la figura siguiente, correspondiente al 
∆𝐴𝐵𝐶 . 
 
38 El ∆𝐴𝐶𝐵 es rectángulo, 𝐶𝐷FFFF es la altura, 
𝐴𝐶 = 20		, 𝐶𝐵 = 15 . Determina la 
medida de 𝐴𝐵FFFF		, 𝐶𝐷FFFF . 
 
39 Si el ∆ACB es rectángulo, en el que 
𝐷𝐹FFFF ∥ 𝐴𝐵FFFF , CF = 5, FB = 3, AB = 10. 
Calcule la medida de los 𝐷𝐹FFFF, 𝐴𝐶FFFF, 𝐷𝐶FFFF. 
 
 
 
 
40 Si el ∆𝑀𝐸𝑇 es rectángulo, 𝐸𝐴FFFF es la 
altura, 𝑀𝐴 = 3	, 𝐸𝐴 = 5 , determine las 
medidas de 𝑀𝑇FFFFF	, 𝐸𝑇FFFF. 
 
 
41 Si el ∆𝐵AC es rectángulo, 𝐵𝐶FFFF ⊥ 𝐷𝐸FFFF , 
AB = 15		, BD = 10		, AC = 20. Calcule 
el valor de 𝑧. 
 
42 En la figura, si ∠1 ≅ ∠2 , 𝑅𝑆FFFF ∥ 𝐵𝐶FFFF . 
Demostrar que 34
45
= 36
64
 
 
 
 
B C
A
SR
1
2
3
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 31 de 65 
43 Un rayo partió un poste en dos partes. Si 
la distancia desde la base del poste 
hasta donde llegó éste es de 4 m y la 
altura del poste era de 
10 m, encuentre la distancia medida 
desde el piso hasta donde el rayo partió 
el poste. 
 
44 Dos postes de alturas respectivas 
5 m y 20 m, están separados 25 m. 
Determine la altura de la intersección de 
las líneas que unen la parte superior de 
cada poste con la base del poste 
opuesto. 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 32 de 65 
UNIDAD VII. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
VII.1) Introducción a la trigonometría. 
VII.2) Funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. 
VII.3) Manejo de calculadora. 
VII.4) Triángulos especiales. 
VII.5) Solución de triángulos rectángulos, cálculo de áreas. 
VII.6) Ángulos de elevación y depresión. 
Conceptos 
Los nombres que se les han dado a las razones de los lados en un triángulo rectángulo ∆𝐴𝐶𝐵 
son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. 
El lado que se opone al ángulo recto es la hipotenusa, 𝒄 en la figura; y los lados que se oponen 
a los ángulos agudos se llaman catetos, 𝒂 es el cateto opuesto al ángulo 𝜃 , 𝒃 es el cateto 
adyacente al ángulo 𝜃. 
sen	𝜃 = 	
𝑎
𝑐
																	csc 𝜃 =
𝑐
𝑎
 
cos 𝜃 = 	
𝑏
𝑐
																sec 𝜃 =
𝑐
𝑏
 
tan 𝜃 = 	
𝑎
𝑏
																cot 𝜃 =
𝑏
𝑎
 
 
Si dos o más triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo de igual medida, por ejemplo 53.13°, 
los triángulosson semejantes ∆𝐴𝐶𝐵~∆𝐴′𝐶′𝐵′~∆𝐴′′𝐶′′𝐵′′ y las razones son iguales en cada una 
de las funciones trigonométricas. 
sen 53.13° = $
7
= 7.'
9
= '.&
&.7
= 0.8 
cos 53.13° = "
7
= $.#
9
= 7.!
'.&
= 0.6 
tan 53.13° = $
"
= 7.'
$.#
= '.&
7.!
= 1.33 
cot 53.13° = "
$
= $.#
7.'
= 7.!
'.:
= 0.75 
sec 53.13° = 7
"
= 9
$.#
= &.7
7.!
= 1.66 
csc 53.13° = 7
$
= 9
7.'
= &.7
'.&
= 1.25 
 
 
En la antigüedad Hiparco, 140 AC, hizo tablas con intervalos de medio grado, para que sabiendo 
un ángulo se supiera su razón de lados; y sabiendo la razón de lados se supiera su ángulo. Ahora 
las tablas están contenidas en las calculadoras científicas. 
 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 33 de 65 
Uso de la calculadora 
Si se conoce un ángulo en un triángulo rectángulo se puede conocer la razón de sus lados. 
 
Si se conoce un ángulo; p. ej. 50°, se puede conocer la razón de dos 
lados, por ejemplo el lado opuesto y el lado adyacente, ingresando 
en la calculadora tan 50°, se obtiene, 
tan 50° = 1.19 =
1.19
1
 
 
Por tanto, el lado opuesto es igual a 1.19 ; y el lado adyacente es 
igual a 1. Ver la figura anterior. 
Usando su calculadora, ¿podría calcular el valor de la hipotenusa, 
de la figura anterior, de dos formas diferentes? 
 
 
 
 
Si se conoce la razón de los lados opuesto y adyacente 
0.67
1
= 0.67 
 
 
 
Se puede conocer el ángulo ingresando en la calculadora 
𝜃 = tan;!(0.67) = 33.8° 
 
 
Convertir decimales de grado a minutos y segundos. 
Ejemplo: 
Convertir 19.6581° a minutos y segundos 
 0.6581 ∙ 60 = 39.486′ 
 0.486 ∙ 60 = 29.16′′ 
 Por tanto, 19.6581° = 19°	39%	29.16′′ 
 
 
Convertir minutos y segundos a decimales de grado. 
Ejemplo: 37°45%55%% = 37 + $7
'<
+ 77
"'<<
= 37.76527F 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 34 de 65 
Triángulos Especiales. 
 
Si se tiene un ∆𝐴𝐵𝐶 equilátero, de lados igual a 2. Se puede 
construir un ∆𝐴𝐷𝐵 rectángulo, donde se conocen sus ángulos 
30°, 60°, 90° y lados 1, √3, 2. Y establecer las funciones 
trigonométricas exactamente sin calculadora. Por ejemplo: 
tan 60° = √"
!
= √3 
 
 
 
Si se tiene un ∆𝐴𝐶𝐵 rectángulo isoscéles, se conocen todos 
sus lados 1, 1, √2 y ángulos 45°,45°, 90° y se pueden 
establecer exactamente los valores de las funciones 
trigonométricas; por ejemplo, 
cos 45° = !
√#
= !
√#
√#
√#
= √#
#
. 
 
 
 
Ángulos de Elevación y Depresión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemario 
 
Uso de la calculadora 
1. Calcula las siguientes razones 
trigonométricas, redondea a centésimas: 
a) sen 40° 
b) cos 70.3° 
c) tan 30° 
d) sen 75.6° 
e) cos 49°50´ 
f) tan 13°25´ 
g) sen 80°47´ 
h) cos 6°8´ 
2. Encuentra el valor del ángulo en grados, 
redondea a centésimas, para cada valor 
dado de la función trigonométrica: 
a) sen𝐶 = 0.1478 
b) tan𝐵 = 0.4522 
c) cos𝑋 = 0.7880 
d) cos 𝐴 = 0.1478 
e) sen𝐵 = 0.9775 
f) tan 𝜃 = 1.349 
g) sen𝑌 = 0.7788 
h) cos 𝛼 = 0.3247 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 35 de 65 
Triángulos Especiales 
3. Sin utilizar tablas ni calculadora, calcula 
y simplifica: 
a) 3 sen 30° + 6 cos 45° 
b) sen# 45° + cos# 45° 
c) tan# 60° − sec# 60° 
d) #$% &'°)#$% *'°
#%#! *'°)%+,! -.°
 
 
Solución de Triángulos Rectángulos. 
Ángulos de Elevación y Depresión. 
4. Considere el ∆𝐴𝐶𝐵 rectángulo, con los 
datos dados en cada inciso, resuelve el 
triángulo, redondea hasta la décima más 
cercana. 
a) ∡𝐴 = 55°, a=4 
b) 𝑐 = 10, 𝑎 = 5 
c) 𝑎 = 5, 𝑏 = 12, 𝑐 = 13 
d) ∡𝐵 = 25°, b=7 
e) ∡𝐴 = 77°, 𝑐 = 10 
f) ∡𝐵 = 52°, 𝑎 = 9 
 
Encuentra los valores que se piden en 
cada ejercicio de acuerdo con los datos 
dados en la figura correspondiente: 
5. Hallar 𝑥 hasta dos decimales. 
 
 
 
6. Hallar el valor de 𝑥 hasta dos decimales. 
 
 
7. Hallar 𝑥 hasta dos decimales. 
 
 
8. Hallar 𝑥 hasta dos decimales. 
 
 
Resuelve cada uno de los siguientes 
problemas sobre triángulos rectángulos: 
9. La longitud de un hilo que sostiene un 
papalote es de 250 m y su ángulo de 
elevación es de 40°. Hallar la altura a que 
se encuentra el papalote suponiendo que 
el hilo que la sostiene se mantiene recto. 
10. Un poste de 10 m de longitud proyecta 
una sombra de 8.39 m. Hallar el ángulo 
de elevación del sol. 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 36 de 65 
11. Desde la parte superior de una torre de 
120 m de altura, se observa que el 
ángulo de depresión de un objeto que 
está a nivel con la base de la torre es de 
27° 43’. ¿Cuáles son las distancias del 
objeto a la punta y a la base de la torre? 
12. De un faro que está a 200 m sobre el 
nivel del mar, un observador ve dos 
botes, P y Q, en línea recta. Si los 
ángulos de depresión medidos por el 
observador son de 16° y 11° 
respectivamente, hallar la distancia entre 
los dos botes. 
13. Con los datos que se dan en la figura, 
calcular la altura, ℎ , del edificio. 
 
 
 
 
14. Calcular la altura del edificio 𝑎 con los 
datos de la figura: 
 
 
15. Una cabaña con forma de triángulo 
isósceles, tiene 7 m de altura en el centro 
y 12 m de ancho en la base. Calcule el 
ángulo 𝜃 que forma el techo con el piso. 
 
16. Desde la cumbre de una montaña se 
observa que los ángulos de depresión de 
la parte superior e inferior de una torre de 
97 m de altura son 23° y 25°, 
respectivamente. ¿Qué altura sobrepasa 
la montaña a la torre? 
 
 
 
 
 
 
 
36°
10
1.6
h
48°
20 m
50°
a
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 37 de 65 
UNIDAD VIII. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO 
CUALQUIERA 
VIII.1) Sistema de Coordenadas Rectangulares. 
VIII.2) Definir grados y radianes, conversiones de un sistema al otro. 
VIII.3) Angulo en posición normal, 
VIII.4) Definición de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera en posición normal. 
VIII.5) Signo de las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes; concepto de ángulo 
reducido o de referencia. 
VIII.6) Ángulos positivos, ángulos negativos. 
VIII.7) Funciones trigonométricas inversas 
Conceptos 
VIII.2 Definir grados y radianes, conversiones de un sistema al otro. 
Para medir la abertura de un ángulo, se piensa que un lado del ángulo es fijo y el otro móvil, rota 
en sentido contrario a las manecillas del reloj. Se usa como instrumento de medición el círculo, 
se divide su circunferencia en 360 partes, a cada parte se llama grado, que es 1/360 de rotación. 
Otra manera de medir es dividir la circunferencia, en longitudes del radio de la circunferencia, a 
cada parte se le llama radián. La medición de un ángulo en grados o radianes es la misma si se 
mide con un transportador grande o chico. 
Un radián equivale a 57.3 grados. 
radianes ∙
180
𝜋
= grados 
grados ∙
𝜋
180
= radianes 
 
 
En el transportador de la figura, su circunferencia está 
dividida en 360 partes (grados) y en unidades de radio 
del transportador sobre la circunferencia (radianes), 
los radianes se pueden dividir en diez partes. 
El ángulo que se mide tiene por abertura 74.48° y en 
radianes tiene 1.3	𝑟𝑎𝑑, o sea que es la misma abertura 
medida en diferente sistema de unidades. 74.48° ≈
1.3	𝑟𝑎𝑑 . 
Usando conversiones 
 74.48° × >
!&<
≈ 1.3	rad 
 1.3	rad × !&<
>
≈ 74.48° 
Nota: Para convertir minutos y segundos a grados decimales en la calculadora 48°	28%	39%% 
48 + #&
'<
+ ":
"'<<
= 48.4775° 
Para convertir 𝟒𝟖. 𝟒𝟕𝟕𝟓° a minutos y segundos 0.4775 × 60 = 28.65, 28%, 0.65 × 60 = 39%% 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 38 de 65 
VIII.3 Ángulo en posición normal. 
Vértice en el origen, lado inicial en el eje X positivo, el lado 
terminal pasa por el punto P(x, y) del cuadrante II. El ángulos 
θ es positivo y el ϕ es negativo. 
El punto P(x, y) es un punto cualquiera en el lado terminal 
de θ (o de ϕ), a r se lellama radio vector y va del origen a 
P. Con las coordenadas de P(x, y) y r se definen las 
funciones trigonométricas. 
 
 
VIII.4 Definiciones de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera en posición 
normal. 
Las funciones trigonométricas primero se definieron para triángulos rectángulos, el ángulo 𝜃 debe 
ser menor de 90° para los triángulos. Ahora se extiende el concepto de función trigonométrica 
para ángulos de cualquier medida. Se definen las funciones trigonométrica de la siguiente 
manera: 
sen(𝜃) =
𝑦
𝑟
 tan(𝜃) =
𝑦
𝑥
 sec(𝜃) =
𝑟
𝑥
 
cos(𝜃) =
𝑥
𝑟
 cot(𝜃) =
𝑥
𝑦
 csc(𝜃) =
𝑟
𝑦
 
 
VIII.5 Signos de las funciones trigonométricas, concepto de ángulo reducido o de 
referencia. 
Los signos de las funciones están de acuerdo a los valores + o − de las coordenadas (𝑥, 𝑦) 
Cuadrante Funciones Positivas Funciones Negativas 
I Todas Ninguna 
II 𝑠𝑒𝑛	𝜃, csc 𝜃 cos 𝜃, sec 𝜃, tan 𝜃, cot 𝜃 
III tan 𝜃, cot 𝜃 𝑠𝑒𝑛	𝜃, csc 𝜃, cos 𝜃, sec 𝜃 
IV cos 𝜃, sec 𝜃 𝑠𝑒𝑛	𝜃, csc 𝜃, tan 𝜃, cot 𝜃 
Ángulos reducidos. 
Sea 𝜃 un ángulo es posición estándar. El ángulo reducido 𝜽𝒓, asociado con 𝜽, es el ángulo 
agudo formado por el lado terminal de 𝜃 y el eje 𝑥. 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 39 de 65 
Para encontrar el ángulo de referencia es útil conocer el cuadrante en el que queda el lado 
terminal. 
 
La evaluación de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera. 
Para hallar los valores de funciones trigonométricas de un ángulo 𝜃 cualquiera, se efectúan los 
siguientes pasos. 
1. Se halla el ángulo reducido 𝜃@ asociado con el ángulo 𝜃. 
2. Se determina el signo de la función trigonométrica de 𝜃 observando el cuadrante en el que se 
encuentra. 
3. El valor de la función trigonométrica de 𝜃 es el mismo que el valor de la función trigonométrica 
de 𝜃@, excepto posiblemente por el signo. 
 
 
VIII.6 Ángulos positivos, negativos. 
Los ángulos positivos se mueven 
en sentido contrario a las 
manecillas del reloj, los negativos 
de acuerdo al sentido de las 
manecillas. Pueden ser mayores 
a 360° o menores de −360°. 
A cada función trigonométrica con ángulo negativo, le corresponde una función con ángulo 
positivo 
 sen(−𝜃) = −sen𝜃 csc(−𝜃) = −csc 𝜃 
 cos(−𝜃) = cos 𝜃 sec(−𝜃) = sec 𝜃 
 tan(−𝜃) = − tan 𝜃 cot(−𝜃) = −cot 𝜃 
 
Ejemplo: sen(−30°) = −sen 30° = − !
#
. 
 
Los ángulos mayores a 360° o menores a −360°, tienen un ángulo único coterminal, dentro del 
intervalo 0 ≤ 𝜃 < 360°. Excepto que coincidan con los ejes tienen un ángulo reducido, 
 
 
 sen(𝜃 + 𝑛360°) = sen 𝜃 csc(𝜃 + 𝑛360°) = csc 𝜃 
 cos(𝜃 + 𝑛360°) = cos 𝜃 sec(𝜃 + 𝑛360°) = sec 𝜃 
 tan(𝜃 + 𝑛360°) = tan 𝜃 cot(𝜃 + 𝑛360°) = cot 𝜃 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 40 de 65 
Expresar las funciones como un ángulo reducido, ejemplos: 
• sen 400°, el ángulo 400° es coterminal con 40°, entoces sen 400° = sen 40° 
• 520° es coterminal a 160°, el ángulo reducido de 160° es 20°, entonces: 
cos 520° = cos 160° = −cos 20° 
• tan(−1200), −1200° es coterminal con −120° y con 240°, 
tan(−1200°) = tan(−120°) = tan 240° = tan 60° = √3 
 
 
Sabiendo el valor de una función trigonométrica y el cuadrante, se pueden saber las 
cinco funciones restantes. 
Ejemplo: 
Si tan 𝜃 = #
"
 y se sabe que 𝜃 está en el cuadrante III, hallar las otras 
funciones trigonométricas. 
Por definición de tangente tan 𝜃 = A
(
, se halla que 
𝑥 = 3, 𝑦 = 2, pero como 𝜃 está en el cuadrante III, las 
coordenadas de 𝑃 son 𝑃(−3,−2). 
Se localiza el ángulo reducido 𝜃@ y el triángulo rectángulo que se forma, conocidos los catetos se 
calcula la hipotenusa √13. Ver figura. 
Sabiendo las coordenadas de 𝑃, 𝑥 = −3, 𝑦 = −2 y el radio = √13, se hallan las cinco funciones, 
de acuerdo a sus definiciones. 
sen 𝜃 = A
@
= − #
√!"
 csc 𝜃 = @
A
= − √!"
#
 
cos 𝜃 = (
@
= − "
√!"
 sec 𝜃 = @
(
= − √!"
"
 
tan 𝜃 = A
(
= ;#
;"
= #
"
 cot 𝜃 = (
A
= ;"
;#
= "
#
 
 
 
VIII.7 Funciones trigonométricas inversas. 
Cuando conocemos el valor de la función y deseamos conocer el valor del ángulo 𝜃, 
0 ≤ 𝜃 < 360, hay, generalmente, dos ángulos que dan el mismo valor para la función. Los 
cuadrantes del ángulo determinan el signo de la función, y emplea el ángulo reducido para 
determinar los dos valores de los ángulos. 
 
 
 
Ejemplo: Hallar todos los ángulos entre 0° y 360° cuando: 
(a) sen 𝜃 = 0.6293 (b) cos 𝜃 = −0.3256 (c) tan 𝜃 = −1.2799 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 41 de 65 
(a) El seno, 0.6293, es 
positivo en C I y II, 
 
Cuadrante I 
𝜃! = sin;! 0.6293 = 39° 
Cuadrante II 
𝜃# = 180° − 39° = 141° 
(b) El coseno, −0.3256, es 
negativo en C II y III 
 
𝜃@ = cos;! 0.3256 = 71° 
Cuadrante II 
𝜃! = 180° − 71° = 109° 
Cuadrante III 
𝜃# = 180° + 71° = 251 
(c) La tangente es negativa 
en C II y IV 
 
𝜃@ = tan;! 1.2799 = 52° 
Cuadrante II 
𝜃! = 180° − 52° = 128° 
Cuadrante IV 
𝜃# = 360° − 52° = 308° 
 
 
 
Problemario 
 
Definir grados y radianes, conversiones 
de un sistema a otro. 
1. Convierte el ángulo dado, de grados 
sexagesimales a radianes o de radianes 
a grados sexagesimales, según se 
indique: 
a) 45° 
b) 30° 
c) 425.3° 
d) 55° 48’ 
e) 270° 
f) 210° 44’ 
g) 1.315 rad 
h) 3.12 rad 
i) 	𝜋 rad 
j) >
'
 rad 
k) ">
$
 rad 
l) #>
"
 rad 
Ángulos en posición normal. 
2. Traza en posición normal los ángulos 
cuyos lados terminales pasan por el 
punto dado. Designe por 𝜃 el ángulo 
positivo y por 𝜙 el ángulo negativo. 
Indica el cuadrante de cada ángulo o el 
eje sobre el que está: 
a) (3, 4) 
b) (0, 2) 
c) (7, −2) 
d) (−2, 0) 
e) (0, −5) 
f) (−4, 1) 
g) (−7,−9) 
h) (−12, 0) 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 42 de 65 
3. Dibuja los siguientes ángulos en 
posición normal, indicando mediante 
una flecha la amplitud y el sentido de 
rotación: 
a) 390° 
b) −215° 
c) 630° 
d) – 480° 
e) –1817° 
f) 180° 
g) – 60° 
h) 1000° 
 
4. Expresar cada función como una función 
de un ángulo reducido y calcula el valor 
a) sen 232° 
b) cos 312° 
c) sen 130° 
d) sen 200° 
e) cos 370° 
f) tan 165° 
g) csc 865° 
h) sen(−100°) 
i) cos(−680°) 
j) csc 190° 
k) sen(−200°) 
l) cos(−760°) 
m) tan(−1385°) 
n) cot 610° 
o) sec 455° 
 
5. Hallar el valor exacto de las siguientes 
funciones 
a) sen 150° 
b) sen 225° 
c) cos 135° 
d) csc(−630°) 
e) cot 210° 
f) cos 570° 
g) sen #>
"
 
h) sen 7>
"
 
i) sen ">
#
	 
j) sec !9>
"
 
k) csc 7>
$
 
l) cot ®− >
$
¯ 
 
6. Hallar el ángulo reducido y el valor 
exacto del seno, coseno y tangente de 
a) 120° 
b) 210° 
c) −90° 
d) −135° 
e) 9>
#
 
f) − !!>
'
 
 
7. Hallar el cuadrante donde queda 𝜃 dada 
la siguiente información 
a) sen 𝜃 < 0 , cos 𝜃 < 0 
b) tan 𝜃 < 0 , sen 𝜃 < 0 
c) sec 𝜃 < 0 , csc 𝜃 > 0 
d) tan 𝜃 < 0 , sec 𝜃 < 0 
 
8. Hallar los valores de las funciones 
trigonométricas de 𝜃 dada la siguiente 
información: 
a) Hallar sen 𝜃 , si cos 𝜃 = − $
7
 y tan 𝜃 es 
positiva. 
b) Hallar sec 𝜃, si tan 𝜃 = − "
$
, cos 𝜃 > 0 
c) Hallar tan 𝜃, si csc 𝜃 = −7, cuadrante 
III 
d) Hallar sec 𝜃, si tan 𝜃 = −4, sen 𝜃 > 0 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 43 de 65 
9. Hallar los valores de las 5 funciones 
trigonométricas restantes dada la 
siguiente información. 
a) sen 𝜃 = "
7
 , 𝜃 en cuadrante II 
b) cos 𝜃 = − #
9
 , tan 𝜃 < 0 
 
10. Si 𝜃 = >
"
, hallar el valor de las siguientes 
expresiones: 
a) sen 2𝜃 , 2 sen 𝜃 
b) sen !
#
𝜃 , !
#
sen 𝜃 
c) 𝜋 + sen𝜃 , sen(𝜃 + 𝜋) 
 
11. Hallar todos los valores positivos de 𝜃, 
en grados y radianes, menores de 360° 
(o 2𝜋), para los cuales… 
a) sen 𝜃 = 0.3279 
b) cos 𝜃 = 0.9063 
c) tan 𝜃 = −0.35 
d) cos 𝜃 = −1 
e) tan 𝜃 = 2.4 
f) sen 𝜃= 1 
g) csc 𝜃 = 1.459 
h) sec 𝜃 = −2.522 
i) csc 𝜃 = −3.19 
j) cot 𝜃 = −2.722 
k) cos 𝜃 = 0 
l) sen 𝜃 = −0.6180 
m) cos 𝜃 = 0.5125 
n) tan 𝜃 = −1.5301 
o) sen 𝜃 = 0 
 
12. Hallar todos los valores positivos 
exactos de 𝜃, en grados y radianes, 
menores de 360° (o 2𝜋), para los cuales 
a) sen 𝜃 = !
√#
 
b) tan 𝜃 = √3 
c) cos 𝜃 = − !
√#
 
d) sen 𝜃 = − !
#
 
e) sec 𝜃 = 1 
f) tan 𝜃 = − !
√"
 
g) cot 𝜃 = √3 
h) sec 𝜃 = 1 
i) csc 𝜃 = −1 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 44 de 65 
UNIDAD IX. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO, GRAFICACIÓN DE LAS 
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
IX.1) El círculo trigonométrico. 
IX.2) Funciones trigonométricas definidas como segmentos rectilíneos. 
IX.3) Variaciones de las funciones trigonométricas con respecto a la variación del argumento en 
los cuatro cuadrantes. 
IX.4) Graficación de las funciones trigonométricas. 
Conceptos 
IX.1) El círculo trigonométrico. 
Círculo trigonométrico unitario r=1 
IX.2) Funciones trigonométricas definidas como segmentos rectilíneos. 
En cada parte del círculo unitario (𝑟 = 1), los triángulos 
rectángulos ∆𝑂𝑀𝑃	, ∆	𝑂𝐴𝑄	, y ∆𝑅𝐵𝑂 son semejantes y 
 
sen 𝜃 =
𝑀𝑃
𝑂𝑃
= 𝑀𝑃			,			 csc 𝜃 =
𝑂𝑃
𝑀𝑃
=
𝑂𝑅
𝑂𝐵
= 𝑂𝑅 
cos 𝜃 =
𝑂𝑀
𝑂𝑃
= 𝑂𝑀			,			 sec 𝜃 =
𝑂𝑃
𝑂𝑀
=
𝑂𝑄
𝑂𝐴
= 𝑂𝑄 
tan 𝜃 =
𝑀𝑃
𝑂𝑀
=
𝐴𝑄
𝑂𝐴
= 𝐴𝑄			,			 cot 𝜃 =
𝑂𝑀
𝑀𝑃
=
𝐵𝑅
𝑂𝐵
= 𝐵𝑅 
 
 
Se tiene que todas las funciones se representan con segmentos: sen 𝜃 = 𝑀𝑃, cos 𝜃 = 𝑂𝑀, tan 𝜃 =
𝐴𝑄, cot 𝜃 = 𝐵𝑅, sec 𝜃 = 𝑂𝑄, csc 𝜃 = 𝑂𝑅. 
IX.3) Variaciones de las funciones trigonométricas con respecto a la variación del 
argumento en los cuatro cuadrantes. 
 
De acuerdo a la posición del ángulo 𝜃 del radio en el círculo trigonométrico las funciones tienen 
un valor positivo o negativo. 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 45 de 65 
IX.4) Graficación de las funciones trigonométricas. 
Los valores de 𝑥 empleados para la gráfica del seno muestran donde cruza los ejes, alcanza los 
valores máximo y mínimo (0, 1, −1), también incluye valores exactos de 𝑥 que dan una idea de la 
curva. (Usar DESMOS) 
𝑥 0 
𝜋
6
 
𝜋
3
 
𝜋
2
 2𝜋
3
 
5𝜋
6
 𝜋 
7𝜋
6
 
4𝜋
3
 
3𝜋
2
 
5𝜋
3
 
11𝜋
6
 2𝜋 
sen 𝑥 0 1
2
 √3
2
 1 
√3
2
 
1
2
 0 −
1
2
 −
√3
2
 −1 −
√3
2
 −
1
2
 0 
 
 
Período y Amplitud de las gráficas del seno y coseno. 
Cualquier función 𝑓(𝑥) de una variable 𝑥, que repita sus valores en ciclos definidos se llama 
periódica. El intervalo de valores más pequeño de 𝑥, que corresponda a un ciclo completo, se 
llama periodo de la función. Las gráficas del seno y coseno tienen periodo 2𝜋. 
 
Para la función 𝑦 = sen 𝑥 , la amplitud es el máximo de la coordenada 𝑦, es decir, 1. La amplitud 
del coseno también es 1. 
 
 
Período 2𝜋 
𝑦 = sen𝑥 
𝑥 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 46 de 65 
El seno y el coseno pueden tener períodos diferentes a 2𝜋 y amplitudes diferentes de 1. Para 
esto se emplean coeficientes, la amplitud se representa con 𝒂 y el período con 𝒌 en las 
fórmulas 
𝒚 = 𝒂𝐬𝐞𝐧𝒌𝒙 , 𝒚 = 𝒂𝐜𝐨𝐬𝒌𝒙			(𝑘 > 0). la amplitud es |𝒂| y el período es 𝟐𝝅/𝒌. 
Por ejemplo, en la ecuación 	𝑦 = cos 2𝑥, el período es #>
#
= 𝜋 ; en la ecuación 𝑦 = cos !
#
𝑥 el 
período de es #>"
!
= 4𝜋. 
Usar el GeoGebra o el DESMOS, para ilustrar los períodos de varios valores de 𝑘 para 
𝑦 = 𝑎 sen 𝑘𝑥 , 𝑦 = 𝑎 cos 𝑘𝑥			(𝑘 > 0) 
Ejemplos de fórmulas y sus gráficas del seno con diferentes períodos y la misma amplitud 𝑎. 
• La función 𝑦 = 𝑎 sen 2𝑥 tiene período 𝜋 • La función 𝑦 = 𝑎 sen 𝑥, tiene período	2𝜋. 
• La función 𝑦 = 𝑎 sen !
#
𝑥 tiene período 4𝜋 • La función 𝑦 = 𝑎 sen !
"
𝑥 tiene período 6𝜋 
 
 
Amplitudes y reflexiones. (Las amplitudes y reflexiones están asociadas al coeficiente 𝒂) 
𝑦 = 2 sin 𝑥, tiene amplitud 2 
𝑦 = !
#
sin 𝑥, tiene amplitud !
#
 
𝑦 = −cos 𝑥 es la reflexión de 𝑦 = cos 𝑥 en el eje X 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 47 de 65 
𝑦 = −3 cos 𝑥, es la reflexión de 𝑦 = 3 cos 𝑥, 
en el eje 𝑋 
 
 
 
 
Desplazamiento vertical. 
𝑓(𝑥) = 2 + cos 𝑥 es el desplazamiento de 
𝑦 = cos 𝑥 dos unidades para arriba. 
𝑓(𝑥) = 1 + 3 sen 𝑥 es el desplazamiento de 
𝑦 = 3 sen 𝑥 una unidad para arriba 
 
 
𝑓(𝑥) = sen 𝑥 − 2 es el desplazamiento de 
𝑦 = sen 𝑥 dos unidades para abajo. 
𝑓(𝑥) = !
#
cos 𝑥 − 1 es el desplazamiento de 
𝑦 = !
#
cos 𝑥 una unidad para abajo. 
 
 
 
𝑦 = 3 sen 𝑥 
𝑓(𝑥) = 1 + 3 sen 𝑥 
𝑦 = sen𝑥 
𝑓(𝑥) = sen 𝑥 − 2 
𝑦 = !
#
cos 𝑥 
𝑓(𝑥) = !
#
cos 𝑥 − 1 
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1er semestre 2023-2024 48 de 65 
Desplazamiento horizontal. 
Las gráficas de las funciones de la forma 𝒚 = 𝒂𝐬𝐢𝐧𝒌(𝒙 − 𝒃) , 𝒚 = 𝒂𝐜𝐨𝐬𝒌(𝒙 − 𝒃) son las curvas 
del seno y de coseno desplazadas horizontalmente a la izquierda o derecha por una cantidad 
|𝑏|. Están desplazadas a la derecha si 𝒃 > 𝟎 o desplazadas a la izquierda si 𝒃 < 𝟎. Un 
intervalo apropiado para que estas funciones tengan un período completo es ¿𝒃, 𝒃 + 𝟐𝝅
𝒌
À. 
𝑦 = sin ®𝑥 − >
"
¯ es el desplazamiento de >
"
 
unidades a la derecha de 𝑦 = sin 𝑥. 
𝑦 = sin ®𝑥 + >
'
¯ es el desplazamiento de >
'
 
unidades a la izquierda de 𝑦 = sin 𝑥. 
 
Nota (1).- Se tiene la función 𝑦 = cos ®2𝑥 − >
"
¯, donde la 𝑥 tiene por coeficientes 2, entonces para 
hallar el período y el desplazamiento se factoriza, quedando la 𝑥 sin el coeficiente, 
𝑦 = cos 2 ®𝑥 − >
'
¯. El período es #>
#
= 𝜋, y el desplazamiento es >
'
 a la derecha. 
Nota (2).- Si se quiere desplazar una unidad a la derecha 𝑦 = cos 𝑥, se antepone 𝜋 al paréntesis 
y se resta 1: 𝑦 = cos 𝜋(𝑥 − 1); el período es #>
>
= 2. 
 
 
Problemario 
Esboza la gráfica de la función en [0,2𝜋], 
considerando máximos, mínimos, 
intersecciones con los ejes. 
1. 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥	
2. 𝑓(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 𝑥	
3. 𝑓(𝑥) = −2 + sen 𝑥 
4. 𝑔(𝑥) = 3 cos 𝑥 
5. 𝑔(𝑥) = − !
#
sen 𝑥 
6. 𝑔(𝑥) = 3 + 3 cos 𝑥 
Hallar la amplitud y el período de la función, 
y bosquejar su gráfica con máximos, 
mínimos, intersecciones con los ejes. 
7. 𝑦 = cos 2𝑥 
8. 𝑦 = −3 sen 3𝑥 
9. 𝑦 = 10 sen !
#
𝑥 
10. 𝑦 = − !
"
cos !
"
𝑥 
11. 𝑦 = −2 sen 2𝜋𝑥 
12. 𝑦 = 1 + !
#
cos 𝜋𝑥 
Hallar la amplitud, período, el 
desplazamiento de la función, y bosquejar la 
gráfica con máximos, mínimos, 
intersecciones con los ejes de un período 
completo. 
13. 𝑦 = cos ®𝑥 − >
#
¯ 
14. 𝑦 = −2 sen ®𝑥 − >
'
¯ 
15. 𝑦 = −4 sen 2 ®𝑥 + >
#
¯ 
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1er semestre 2023-2024 49 de 65 
16. 𝑦 = 5 cos ®3𝑥 − >
$
¯ 
17. 𝑦 = !
#
− !
#
cos ®2𝑥 − >
"
¯ 
18. 𝑦 = 3 cos 𝜋 ®𝑥 + !
#
¯ 
19. 𝑦 = sen(𝜋 + 3𝑥) 
 
Se da la gráfica del seno o el coseno de un 
período completo. 
a) Hallar la amplitud, el período y el 
desplazamiento 
b) Escribir la ecuación que representa la 
curva en la forma 
𝑦 = 𝑎 sen 𝑘(𝑥 − 𝑏) o 𝑦 = 𝑎 cos 𝑘(𝑥 − 𝑏) 
 
20. 
 
 
 
 
 
21. 
 
 
22. 
 
 
23. 
 
 
 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 50 de 65 
UNIDAD X TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS 
X.1) Ley de Senos y Cosenos. 
X.2) Solución de Triángulos Oblicuángulos. 
X.3) Áreas de Triángulos Oblicuángulos. 
 
Conceptos 
Un triángulo tiene 3 lados y 3 ángulos, 6 elementos, sabiendo 3 elementos (excepto si se saben 
3 ángulos) se pueden saber los otros 3, aunque no sea rectángulo. Se usan las leyes de senos y 
cosenos. 
 
Ley de Senos 
𝒂
𝐬𝐞𝐧𝑨
=
𝒃
𝐬𝐞𝐧𝑩
=
𝒄
𝐬𝐞𝐧𝑪
 
 
 
La Ley de Senos se aplica cuando se conocen dos ángulos 𝑨,𝑩 
y un lado 𝒄 (al conocer 2 ángulos se puede conocer el tercero 𝐶). El 
criterio ALA de Geometría asegura que solo puedehaber un triángulo 
con estos 3 elementos, el triángulo es único. 
 
Cuando se conocen un ángulo 𝑨 y dos lados 𝒃 , 𝒂, el criterio ALL, no asegura que se tenga un 
solo triángulo, se dice que es un caso ambiguo. Se pueden dar los siguientes casos. 
 
(a) Que no haya triángulo 
(b) Que haya un triángulo rectángulo 
(c) Que tenga dos soluciones 
(d) Que sea solución única 
Caso (a): No hay triángulo. Sabiendo que ∡𝐴 = 42°, 𝑎 = 70, 𝑏 = 122. Hallar el valor del ∠𝐵. Se 
plantea 9<
DEF $#°
= !##
DEF*
 , al hacer los cálculos: sen𝐵 = 1.1662, excede el valor de 1, que es el 
máximo del seno, la calculadora da error si escribimos sin;!(1.1662), no hay solución. 
Caso (c): Dos soluciones. Solución única. Sabiendo que ∡𝐴 = 43.1°, 𝑎 = 186.2, 
𝑏 = 248.6. Hallar el valor del ∠𝐵. Se plantea !&'.#
DEF $".!°
= #$&.'
DEF*
 , al hacer los cálculos: sen𝐵 ≈
0.912255, entonces , ∡𝐵 = sin;!(0.912255) puede tener dos soluciones, 
∡𝐵 = 65.8° o 114.2°. Este último se obtiene ∡𝐵 = 180° − 65.8° = 114.2°. (Observe que son 
suplementarios) 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 51 de 65 
 
 
 
Las dos soluciones son: 
 
 
Caso (d): Solución única. Sabiendo que ∡𝐴 = 45°, 𝑎 = 7√2, 𝑏 = 7. Hallar el valor del ∠𝐵. 
Se plantea 9√#
DEF $7°
= 9
DEF*
 , al hacer los cálculos: sen𝐵 = !
#
 , entonces ∡𝐵 = sin;!(!
#
) puede 
tener dos soluciones ∡𝐵 = 30°, 150° , pero 150° + 45° = 195° , por tanto, 150° no es 
solución. La única solución es 30°. 
 
 
 
 
 
 
La Ley de Cosenos se usa cuando se conocen dos lados y un ángulo que no es opuesto (lal) 
o cuando se conocen tres lados (lll). Definen un solo triángulo. 
 
Ley de Cosenos 
 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 · 𝐜𝐨𝐬	 𝑨 
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝑩 
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 ∙ 𝐜𝐨𝐬𝑪 
 
 
Los cosenos de ángulos negativos; p. ej., cos 𝐴 = −0.5 se 
refieren a ángulos mayores de 90°, en este caso: 
 ∡𝐴 = cos;!(−0.5) = 120°. 
 
Para calcular estos ángulos se usan los triángulos 
rectángulos que conocemos, usando el ángulo reducido 𝜃@ 
 
Los cosenos de ángulos mayores que 90° son negativos. 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 52 de 65 
Área 𝑲 de Triángulos. 
 
𝐾 = /0
"
 , 𝐾 = 1/
"
sen(𝐶) , 𝐾 = 1
!%+,(3)·%+,(6)
"	%+,(8)
 
 
𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎	𝑑𝑒	𝐻𝑒𝑟ó𝑛. 
𝐾 = É𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) , 
 
𝑠 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
 
 
 
 
Problemario 
En cada uno de los ejercicios siguientes, de acuerdo a los datos, decide si determinan un triángulo 
único (𝑎𝑙𝑎, 𝑎𝑎𝑙, 𝑙𝑎𝑙, 𝑙𝑙𝑙) o si es el caso ambiguo (𝑙𝑙𝑎). Luego aplicando la ley que parezca más 
conveniente, senos o cosenos, resuelve el triángulo y después calcula su área. 
 
1. 𝑎 = 21, ∡𝐵 = 53°, ∡𝐴 = 86° 
2. 𝑏 = 3, 𝑐 = 2, ∡𝐴 = 67° 
3. 𝑎 = 5, 𝑏 = 7, 𝑐 = 9 
4. ∡𝐵 = 58°	35%, ∡𝐶 = 38°	42%,	
𝑎 = 5.374 
5. ∡𝐴 = 51°, 𝑎 = 2.8, 𝑏 = 3.9 
6. 𝑎 = 150, 𝑐 = 30, ∡𝐵 = 150° 
7. ∡𝐴 = 27°	40%, ∡𝐵 = 52°	10%,	
𝑎 = 32.4 
8. ∡𝐶 = 36°, 𝑐 = 7.1, 𝑎 = 5.1 
9. 𝑎 = 7, 𝑏 = 9, 𝑐 = 12 
10. 𝑎 = 16, 𝑐 = 10, ∡𝐵 = 126° 
11. ∡𝐴 = 39°, 𝑎 = 4.9, 𝑐 = 6.4 
12. 𝑎 = 17, ∡𝐵 = 58°, ∡𝐶 = 110° 
 
Resuelve cada uno de los siguientes problemas sobre triángulos: 
 
13. Desde los puntos 𝐴 y 𝐶, distanciados 300 m uno del otro, sobre una playa, se observa un 
barco 𝐵, en donde se tiene que ∡𝐶𝐴𝐵 = 70°y ∡𝐴𝐶𝐵 = 35°. ¿Cuál es la distancia del barco 𝐵 
al punto 𝐴?. ¿A qué distancia está el barco de la playa representada por 𝐴𝐶FFFF? 
 
14. Dos alambres sujetan un globo al suelo, como se muestra 
en la figura. ¿Qué tan alto está? Nota: ft, son pies 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 53 de 65 
15. Calcular la distancia entre dos puntos 𝐴 y 𝐵, separados por un obstáculo. Se ha elegido un 
punto de referencia 𝐶 y se han obtenido las medidas 𝐶𝐴 = 426 m, 
𝐶𝐵 = 322.4 m y ∡𝐶 = 68°	42′. ¿Cuál es la distancia 𝐴𝐵? 
16. Se va a construir un túnel atravesando una montaña, como se muestra en la figura. Si se 
tienen las medidas ∡𝐴𝐶𝐵 = 79.3°, 𝐴𝐶 = 385 m y 𝐵𝐶 = 458 m calcular la longitud del túnel 𝐴𝐵 
y la altura ℎ de la montaña. 
 
17. Para medir la altura de un acantilado inaccesible sobre 
el lado opuesto del río, un agrimensor toma las medidas 
que se muestran en la figura. Hallar la altura del 
acantilado. 
 
 
 
18. Hallar la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵 sobre 
los lados opuestos de un lago, dada la 
información de la figura. Nota, mi son millas. 
 
 
 
19. Dos observadores militares que están a una distancia de 5 km uno del otro sobre una llanura 
horizontal, determinan que los ángulos de elevación de un avión que está sobre la recta que 
los une miden, respectivamente, 40° y 60°. Hallar la distancia del avión a cada uno de los 
observadores y la altura a que se encuentra el avión sobre el nivel de la llanura. 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 54 de 65 
20. Un faro está situado a 10 km al noroeste de un muelle. Un barco parte del muelle a las 9:00 
a. m., y navega hacia el oeste a una velocidad constante de 12 km/h . ¿A qué hora se 
encontrará a 8 km del faro? 
 
21. Determinar el valor de 𝐶𝐷, a partir de los datos de la figura siguiente, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐷: 
 
 
 
 
D
C
AB
24° 10°
500 m
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1er semestre 2023-2024 55 de 65 
UNIDAD XI. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 
XI.1) Variable, Expresiones Algebraicas o trigonométricas, Expresiones Equivalentes 
XI.2) Identidades Algebraicas e Identidades Trigonométricas 
XI.3) Comprobación no rigurosa de identidad: tabular y gráfica 
XI.4) Identidades: Recíprocas, Pitagóricas, Por Cociente 
XI.5) Identidades: Co funciones, funciones con ángulo negativo 
XI.6) Identidades de ángulos doble y mitad 
 
Conceptos 
Una expresión algebraica o expresión trigonométrica contiene números y variables 
conectados por operaciones. 
La expresión representa un cálculo por realizar para los números que se sustituyan en sus 
variables. La ejecución de las operaciones indicadas resultará en un único valor numérico. 
Ejemplos, en las expresiones: 3𝑥 − 5 log 100 , 14 − 𝑥 , si se sustituye 𝑥 = 10 y se realizan las 
operaciones, darán un número para cada expresión, a saber, 
30 − 10 = 20 y 14 − 10 = 4 respectivamente. 
En la expresión 6 cos 𝜃 − tan 45° , si 𝜃 = 60° , la expresión es el número 3 − 1 = 2 . 
Equivalencia. Cualquier cantidad, fracción, expresión algebraica, expresión trigonométrica, o 
ecuación puede ser representado de manera equivalente de infinitas maneras. 
Expresiones equivalentes. Las expresiones equivalentes son superficialmente diferentes, es 
decir, describen diferentes procedimientos de cálculo, pero regresan los mismos resultados, para 
todos los valores de sustitución, por consiguiente, generan las mismas tablas y gráficas. 
Ejemplo, la expresión 𝐭𝐚𝐧𝜽 , equivale a la expresión 𝐬𝐞𝐧𝜽
𝐜𝐨𝐬 𝜽
 . 
𝜃 tan 𝜃 sen 𝜃
cos 𝜃
 
0 0.00 0.00 
10 0.18 0.18 
20 0.36 0.36 
30 0.58 0.58 
40 0.84 0.84 
50 1.19 1.19 
60 1.73 1.73 
70 2.75 2.75 
80 5.67 5.67 
 
 
Otros ejemplos de expresiones equivalentes: la expresión 3 + 1 equivale a la expresión 5 − 1; la 
expresión: 7
!<
 equivale a la expresión !
#
, la expresión 𝑎 + 1 equivale a la expresión 1 + 𝑎. 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 56 de 65 
Identidades. Cuando dos expresiones equivalentes están conectadas con el signo igual se tiene 
una identidad, 𝑥 + 1 = 1 + 𝑥 es una identidad algebraica; tan 𝜃 = DEFN
OPDN
 es una identidad 
trigonométrica. 
En álgebra, es una identidad log(𝑎𝑏) = log 𝑎 + log 𝑏 , para todos los números 𝑎, 𝑏 positivos. 
En trigonometría, es una identidad tan 𝜃 = DEFN
OPDN
 , excepto cuando cos 𝜃 = 0. 
Las identidades son útiles porque permiten reescribir expresiones difíciles de trabajaren 
expresiones que son más reconocibles y más fáciles de interpretar. 
Una parte del álgebra y de la trigonometría trata de probar que dos expresiones son equivalentes, 
una manera de hacerlo, que no es rigurosa, es haciendo las tablas o gráficas, como en el 
ejemplo anterior tan 𝜃 = DEFN
OPDN
 , si dan la misma tabla o gráfica son equivalentes, si no dan las 
mismas tablas o gráficas para todo valor de 𝑥, no son equivalentes. Pero las tablas y gráficas no 
se pueden hacer para todos los infinitos valores de 𝑥. 
La forma de probar si una igualdad es una identidad, es transformar una expresión en otra o hacer 
una cadena de transformaciones en base a definiciones, principios, identidades hasta que el par 
de expresiones queden idénticas. 
En álgebra, para transformar una expresión en otra equivalente, se usan las operaciones básicas, 
leyes de los exponentes y logaritmos, así como la jerarquía de operaciones; esto produce 
expresiones equivalentes. 
El siguiente es un ejemplo de cómo transformar una expresión algebraica en otras dos 
expresiones equivalentes, a través de una cadena de transformaciones: 
 3(𝑥 + 2) − 1 = 3𝑥 + 6 − 1 = 3𝑥 + 5 
𝑥 3(𝑥 + 2) − 1 3𝑥 + 6 − 1 3𝑥 + 5 
1 8 8 8 
2 11 11 11 
3 14 14 14 
4 17 17 17 
5 20 20 20 
6 23 23 23 
No hay problema para graficar una expresión de una variable como 2𝑥 − 𝑥 + 1, pero si tiene dos 
variables, por ejemplo,	𝑥, 𝑦 , como 2𝑥 + 𝑦 − 1, para graficarla, se debe sustituir con un número la 
𝑥 o 𝑦, por ejemplo, 𝑦 = 3, así resulta 2𝑥 + 3 − 1 , que tiene una variable y se puede graficar. Se 
puede graficar con el DESMOS o GeoGebra del celular. 
Para probar que una ecuación no es una identidad, basta mostrar un solo contraejemplo, es decir, 
que para un mismo valor de la variable 𝑥, los valores de los miembros no son iguales. Ejemplo, 
para la ecuación (𝑥 + 1)# = 𝑥# + 1#, en la tabla se ve que para 𝑥 = 1, la expresión (𝑥 + 1)# tiene 
valor 4 y la expresión 𝑥# + 1# tiene valor 2. Conclusión: Se demostró que (𝑥 + 1)# = 𝑥# + 1# no 
es una identidad. 
𝑥 (𝑥 + 1)# 𝑥# + 1# 
0 1 1 
1 4 2 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 57 de 65 
La diferencia entre resolver una ecuación y probar una identidad, es que en la ecuación damos 
por cierta la igualdad y aplicamos las propiedades de la igualdad para resolverla, en el caso de 
las identidades no sabemos si el signo de igual es cierto. Por tanto, para demostrar una identidad 
nunca se emplean los procedimientos para resolver una ecuación. 
Para probar las identidades trigonométricas, se requieren definiciones e identidades conocidas, 
como las mostradas en la tabla de abajo. 
Identidades Recíprocas Identidades Pitagóricas Identidades por Cociente 
csc 𝜃 =
1
sen 𝜃
 sen# 𝜃 + cos# 𝜃 = 1 
sen 𝜃
cos 𝜃
= tan 𝜃 
sec 𝜃 =
1
cos 𝜃
 1 + tan# 𝜃 = sec# 𝜃 
cos 𝜃
sen 𝜃
= cot 𝜃 
cot 𝜃 =
1
tan 𝜃
 1 + cot# 𝜃 = csc# 𝜃 
 
 
Problemario 
 
1. Describir la gráfica de 𝑓(𝑥) = sen# 𝑥 + cos# 𝑥 
2. A la ecuación sen# 𝑥 + cos# 𝑥 = 1 se le llama Identidad Pitagórica, usando el círculo 
trigonométrico, decir por qué el nombre es apropiado. 
3. ¿Es sec# 𝜃 − tan# 𝜃 = 1 una Identidad Pitagórica? Para probar que es una identidad usa la 
definición de secante y de tangente, si no lo es da un contraejemplo. 
4. Probar la identidad sec#𝜃− tan# 𝜃 = 1, da por cierta la identidad sen# 𝜃 + cos# 𝜃 = 1. 
5. ¿Es sec# 𝜃 + tan# 𝜃 = 1 una identidad? Si es así, probarlo, si no, explicar cómo lo sabes. 
6. ¿Es csc# 𝜃 − cot# 𝜃 = 1 una identidad? Si es así, probarlo, si no, explicar cómo lo sabes. 
 
Suponer que al resolver un problema se encuentran dos expresiones, por ejemplo, sen# 𝜃 y 
(1 − sen# 𝜃) ∙ tan# 𝜃, y se desea determinar si son o no equivalentes para todos los valores de 𝜃. 
(Problemas 7, 8, 9, 10) 
7. ¿Cómo usarías las tablas para respaldar o contradecir la afirmación de que la ecuación 
sen# 𝜃 = (1 − sen# 𝜃) ∙ tan# 𝜃 es una identidad? 
8. ¿Cómo usarías las gráficas para respaldar o contradecir la afirmación de que la ecuación 
sen# 𝜃 = (1 − sen# 𝜃) ∙ tan# 𝜃 es una identidad? 
9. Las definiciones y las identidades fundamentales pueden ser usadas para mostrar que una 
expresión puede ser transformada en otra equivalente. Justifica cada paso en la siguiente 
cadena de razonamiento. 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 58 de 65 
 
(1 − sen# 𝜃) ∙ tan# 𝜃 = (1 − sen# 𝜃) ∙ DEF
! N
OPD! N
= cos# 𝜃 ∙ DEF
! N
OPD! N
= sen# 𝜃
 
10. Explicar por qué el razonamiento usado arriba Prueba le equivalencia de sen# 𝜃 = (1 −
sen# 𝜃) ∙ tan# 𝜃, Mientras que las aproximaciones que involucran tablas y gráficas sólo hacen 
plausible qué la ecuación sea una identidad, Pero no lo prueba. 
11. Estudiar la siguiente prueba de la identidad (1 − sen𝜃)(1 + sen𝜃) = !
!QRSF! N
, en la cual la 
expresión de cada lado se transforma independientemente de la otra. 
(1 − sen𝜃)(1 + sen𝜃) 
1 − sen# 𝜃 
cos# 𝜃 
1
1 + tan# 𝜃
 
1
sec# 𝜃
 
1
sec 𝜃
∙
1
sec 𝜃
 
cos 𝜃 ∙ cos 𝜃 
cos# 𝜃 
Puesto que cada pasó puede ir de regreso, se sigue que 
(1 − sen𝜃)(1 + sen𝜃) =
1
1 + tan# 𝜃
 
 
a) Justificar cada paso en las manipulaciones de cada lado. 
b) ¿Cómo es el hecho de que cada paso del lado derecho puede ser regresado de abajo 
a arriba completa la prueba de la identidad? 
c) ¿Por qué sería inapropiado tratar la identidad propuesta como una ecuación y usar las 
propiedades asociadas de la igualdad para probarla? 
 
12. Considerar la identidad tan 𝜃 ∙ sen 𝜃 = sec 𝜃 − cos 𝜃. 
a) Probar esta identidad considerando que cada lado es equivalente a DEF
! N
OPDN
. 
b) Probar esta identidad transformando el lado derecho a la forma del lado izquierdo. 
c) Viendo las dos pruebas anteriores. ¿Qué estrategia de prueba preferirías y por qué? 
 
Decidir si cada una de las siguientes igualdades es o no una identidad. Si la igualdad es una 
identidad usar el razonamiento simbólico para probarla. Si no es una identidad, dar un 
contraejemplo. 
13. sec 𝜃 − tan 𝜃 sen 𝜃 = cos 𝜃 
14. tan# 𝜃 − 2 sec 𝜃 sen 𝜃 = tan 𝜃 (tan 𝜃 − 2) 
15. cot 𝜃 = cos 𝜃 csc 𝜃 
16. tan# 𝜃 = !;OPD
! N
OPD! N
 
17. csc# 𝜃 − sec# 𝜃 = 1 
18. sec# 𝜃 = DEF
! NQOPD! N
OPD! N
 
19. 1 − tan 𝜃 = OPD N;DEFN
OPDN
 
20. (1 − sen# 𝜃)(1 + tan# 𝜃) = 1 
21. cos(𝜃! + 𝜃#) = cos 𝜃! + cos 𝜃# 
22. 2 sen# 𝜃 − 1 = 1 − 2 cos# 𝜃 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 59 de 65 
23. sen 𝜃 (csc 𝜃 − sen𝜃) = cos# 𝜃 
24. sec# 𝜃 − csc# 𝜃 = RSFN;OPR N
DEFN OPDN
 
25. !
OPDN DEFN
− OPDN
DEFN
= tan𝜃 
26. sen 𝜃 = √1 − cos# 𝜃 
27. csc 𝜃 + cot 𝜃 = !QOPDN
DEFN
 
28. cos# 𝜃 − sen# 𝜃 = cos# 𝜃 − !
#
 
 
 
 
 
Problemario de Geometría y Trigonometría 2023-2024 
 
 
1er semestre 2023-2024 60 de 65 
UNIDAD XII ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 
XII.1) Qué son las ecuaciones trigonométricas. 
XII.2) Método de solución gráfico. 
XII.3) Solución de ecuaciones trigonométricas lineales 𝑎𝑓(𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑏, donde 𝑓(𝑥) es una 
función trigonométrica. 
XII.4) Empleo de identidades trigonométricas en la solución de ecuaciones. 
XII.5) Solución de ecuaciones trigonométricas de segundo grado. 
XII.6) Empleo de propiedades o características especiales de las funciones trigonométricas en 
la solución de ecuaciones. 
 
Conceptos 
Las ecuaciones son declaraciones matemáticas o proposiciones que igualan dos expresiones 
algebraicas. Estas declaraciones son un “llamado” para hallar los valores de las incógnitas que 
aparecen en la ecuación. En este sentido las ecuaciones son problemas en espera de ser 
resueltos o preguntas que esperan respuesta. El signo igual entre las dos expresiones es inválido 
si la ecuación no tiene solución; válido para algún valor o valores le la incógnita, o para todos los 
valores del dominio. (si la ecuación es una identidad). Las ecuaciones que contienen funciones 
trigonométricas se les llama ecuaciones