vigas reforzadas con barras GFRP normativa internacional aplicable al contexto colombiano

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Universidad de La Salle Universidad de La Salle 
Ciencia Unisalle Ciencia Unisalle 
Ingeniería Civil Facultad de Ingeniería 
2021 
Diseño de vigas reforzadas con barras GFRP empleando Diseño de vigas reforzadas con barras GFRP empleando 
normativa internacional aplicable al contexto colombiano normativa internacional aplicable al contexto colombiano 
Leonardo Alejandro Chávez Díaz 
Universidad de La Salle, Bogotá 
Julio Alejandro Santa Prada 
Universidad de La Salle, Bogotá 
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DISEÑO DE VIGAS REFORZADAS CON BARRAS GFRP EMPLEANDO NORMATIVA 
INTERNACIONAL APLICABLE AL CONTEXTO COLOMBIANO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JULIO ALEJANDRO SANTA PRADA 
LEONARDO ALEJANDRO CHÁVEZ DÍAZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE LA SALLE 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL 
BOGOTÁ D.C. 
2021 
 
 
 
 
 
 
Diseño de Vigas Reforzadas con Barras GFRP Empleando Normativa Internacional aplicable al 
Contexto Colombiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Julio Alejandro Santa Prada 
Leonardo Alejandro Chávez Díaz 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabajo de grado presentado como requisito para optar al título de: Ingeniería Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Director Temático 
Ing. Carlos Mario Piscal Arévalo Mag. PhD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidad de La Salle 
Facultad de Ingeniería 
Programa de Ingeniería Civil 
Bogotá D.C. 
2021 
2 
 
 
 
 
 
Agradecimientos 
Agradecemos a nuestros profesores del programa de ingeniería civil de la universidad 
de la Salle, por su compromiso y entrega al compartir sus conocimientos; a nuestro tutor en 
este proyecto de investigación, el ingeniero Carlos Mario Piscal Arévalo, por su constante 
apoyo, guía, consejos y enseñanzas a lo largo del desarrollo del presente trabajo y en las 
asignaturas que nos dictó; a la profesora Marlene Cubillos Romero, por su asesoría en la 
organización y disposición metodológica del trabajo de investigación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
 
 
 
Tabla de contenido 
Introducción ............................................................................................................................... 8 
Problemática .............................................................................................................................. 9 
Descripción del problema ............................................................................................ 9 
Formulación del problema ........................................................................................... 9 
Justificación ..............................................................................................................................10 
Alcance ......................................................................................................................11 
Objetivos ...................................................................................................................................12 
General ......................................................................................................................12 
Específicos ................................................................................................................12 
Antecedentes ............................................................................................................................13 
Metodología ..............................................................................................................................16 
Generalidades del Diseño por Medio de las Herramientas Computacionales ...........................18 
Diseño por Medio de la Herramienta Mathcad ...........................................................18 
Diseño por Medio de la Herramienta Excel ................................................................24 
Programación de Software Diseño ............................................................................................28 
Resultados de Metodología de Diseño y Validación de Software ..............................................32 
Generalidades del Manual del Software DIVGFRP: Diseño de Vigas en Concreto Reforzado 
con GFRP .................................................................................................................................35 
Análisis de Resultados ..............................................................................................................36 
4 
 
 
 
Conclusiones ............................................................................................................................38 
Recomendaciones ....................................................................................................................40 
Referencias ...............................................................................................................................41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
Lista de tablas 
Tabla 1. Descripción de las vigas diseñadas para las validaciones. ..............................32 
Tabla 2. Resultados de la primera validación. ...............................................................33 
Tabla 3. Resultados de la segunda validación. .............................................................33 
Tabla 4. Resultados de la tercera validación. ................................................................34 
Tabla 5. Resultados de la cuarta validación. .................................................................34 
Tabla 6. Resultados de la quinta validación. .................................................................34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
Lista de figuras 
Figura 1. Parámetros iniciales para el diseño a flexión y cortante en Mathcad .............19 
Figura 2. Cálculo de área de diseño a flexión en Mathcad ............................................20 
Figura 3. Configuración manual del área de refuerzo a flexión en Mathcad ..................21 
Figura 4. Cálculo de la resistencia del concreto a cortante en Mathcad ........................22 
Figura 5. Separación de diseño para los estribos en Mathcad ......................................23 
Figura 6. Vista general de la hoja de cálculo. ................................................................24 
Figura 7. Parámetros iniciales para el diseño a flexión y cortante. ................................25 
Figura 8. Cuantía balanceada y esfuerzo en el GFRP ..................................................26Figura 9. Cálculo del área de refuerzo a flexión y separación de refuerzo a cortante. ..27 
Figura 10. Ventana principal del programa DIVGFRP ...................................................29 
Figura 11. Ventana de “Mas Resultados” ......................................................................30 
Figura 12. Ventana de configuración área de refuerzo de construcción ........................31 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
 
 
Apéndices 
Apéndice A. DIVGFRP: Diseño de Vigas en Concreto Reforzado con GFRP 
Apéndice B. Primera Validación de Software de Diseño 
Apéndice C. Segunda Validación de Software de Diseño 
Apéndice D. Tercera Validación de Software de Diseño 
Apéndice E. Cuarta Validación de Software de Diseño 
Apéndice F. Quinta Validación de Software de Diseño
 8 
 
 
 
Introducción 
El polímero reforzado con fibra de vidrio (por sus siglas en inglés GFRP), es un material 
que ha tenido un campo de estudio muy amplio, en ingeniería especialmente como refuerzo de 
concreto armado; gracias a que brinda una importante eficiencia en términos técnicos y 
ambientales. De tal manera, se reportan estudios en Italia, Japón, Noruega, Reino Unido, 
Canadá y Estados Unidos. 
Sin embargo, en Colombia no se ha implementado el uso de este refuerzo en proyectos 
de construcción de edificaciones y en el reglamento NSR-10 se hace solo mención de la 
existencia de este material y se remite al documento ACI 440.1R-15. El impulsar todo estudio 
alrededor del uso del GFRP como refuerzo de concreto abre la posibilidad de incentivar su 
inclusión en futuras normativas del país y que su aplicación tenga mayor relevancia en el sector 
de la construcción. 
Expuestas las anteriores premisas, la presente investigación aborda la teoría y 
procedimientos necesarios para diseñar vigas sometidas a cortante y a flexión (uno de los 
elementos estructurales principales en cualquier proyecto) en concreto reforzado con barras 
GFRP, asimismo, producto de esto, se desarrolla un software y un manual que aplica estos 
conceptos y facilita el cálculo de este diseño. 
 
 
 
 
 9 
 
 
 
Problemática 
Descripción del problema 
En Colombia, el material más usado como refuerzo en elementos de concreto es el 
acero, sin embargo a nivel mundial se ha comenzado a usar otros materiales, como es el caso 
de los polímeros reforzados con fibras (FRP), ya que estos pueden ofrecer mejores 
características para solventar los requerimientos específicos de cada proyecto (De la Cruz, 
2004, p.9). El poco uso de este material en el país se puede deber a la limitada información que 
se maneja en el medio profesional sobre este (en este caso, el GFRP), ya sea porque no se 
tiene una buena difusión de las investigaciones del diseño e implementación de este refuerzo o 
porque en el Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente (NSR-10, 2010) solo 
se hace referencia a documentos internacionales, como ACI 440.1R-15, y no se aborda 
directamente la teoría de diseño. Lo anterior se puede evidenciar dado que, actualmente en 
Colombia no se encuentra registro del uso de refuerzo GFRP en proyectos de construcción de 
edificaciones. 
Formulación del problema 
¿Es la metodología de diseño con barras GFRP incorporada en normas internacionales, 
aplicable al contexto colombiano para diseñar estructuras en concreto? 
 
 
 
 
 10 
 
 
 
Justificación 
Los materiales compuestos se muestran como una alternativa que, de manera eficiente, 
responden a los desafíos que presentan los nuevos proyectos de ingeniería; es el caso de las 
barras de FRP, las cuales tienen su denominación dependiendo del material base, siendo 
estos, fibra de vidrio (GFRP), fibra de carbono (CFRP), fibra de aramida (AFRP). 
El uso de estas barras ha tenido tan buena acogida, que se han utilizado en diferentes 
países en grandes proyectos de infraestructura vial, férrea y de edificaciones, con las más 
estrictas normas de producto y de diseño, como en Estados Unidos, Rusia, Canadá, Japón, 
Italia, entre otros, que lideran el desarrollo científico en este campo y la producción de normas, 
códigos, guías o especificaciones de cálculo y diseño de elementos estructurales reforzados 
con FRP (Armastek S.A.S., 2018). 
La implementación en Colombia de nuevas tecnologías de construcción como las barras 
de GFRP, permitirían un mejor desempeño de las estructuras bajo determinadas condiciones 
ambientales, en comparación con los materiales convencionales usados actualmente. El 
American Concrete Institute (ACI), en el documento ACI 440.1R-15 Guide for the Design and 
Construction of Structural Concrete Reinforced with Fiber-Reinforced Polymer (FRP) Bars 
(2015) menciona que las barras GFRP tienen un 1/4 o 1/5 del peso de acero de refuerzo 
común; lo que facilitaría su transporte y manejo en obra, alta resistencia a la corrosión y a 
algunos ataques químicos que a su vez extiende su ciclo de vida útil, transparencia a las ondas 
electromagnéticas, baja conductividad y menor espesor de la capa de recubrimiento de 
concreto, además, entre sus características mecánicas resalta su resistencia a tensión mayor a 
la del acero (p.8). Según la empresa Aritrec S.A. (2019), se pueden emplear en infraestructuras 
 11 
 
viales como puentes, viaductos, estacionamientos, vías de concreto, etc. Por otra parte, en la 
investigación de Benítez (2016), se demostró que, a partir de ensayos de vigas reforzadas, 
unas con acero y otras con GFRP, cuando el concreto se acerca a la edad en la cual alcanza la 
resistencia a la compresión de diseño, las vigas reforzadas con GFRP tienen mayor resistencia 
a la flexión en comparación con las reforzadas con acero (p.69). Además, la producción de 
GFRP deja una huella de carbono menor comparada con el acero (ACI 440.1R-15, 2015, p.9). 
Estas condiciones hacen del uso del GFRP una opción viable para muchos proyectos 
colombianos, sin embargo, la falta de normativa técnica de diseño nacional y en muchos casos 
el desconocimiento de estas tecnologías, podrían estar impidiendo que se apliquen en el 
territorio. 
Se justifica realizar la presente investigación por cuanto los estudios que se lleven a 
cabo con el fin de regionalizar y divulgar el conocimiento existente en la actualidad sobre el 
refuerzo GFRP en nuestro país; establecerían las bases para futuras implementaciones y la 
creación de normas colombianas que tengan en cuenta el uso de este material; además, 
promulgarían los beneficios: técnicos, económicos y ambientales que pueden brindar al sector 
de la construcción en Colombia. 
Alcance 
Esta investigación tiene como objetivo presentar la metodología de diseño de vigas en 
concreto reforzado con barras GFRP sometidas a cortante y a flexión, estudiando los 
procedimientos de diseño de estos elementos en la normativa internacional referenciada en 
NSR 10. Asimismo, se pretende elaborar un software que aplique estos conceptos y facilite el 
cálculo de este diseño. 
 
 
 12 
 
 
 
Objetivos 
General 
Diseñar vigas en concreto reforzado con barras GFRP a cortante y flexión empleando 
normativa internacional aplicable al contexto colombiano 
Específicos 
o Estudiar las metodologías de análisis y diseño para vigas sometidas a cortante y 
flexión con refuerzo GFRP de la normativa internacional referenciada en NSR-
10. 
o Implementar la metodología de diseño en las herramientas computacionales 
Excel y Mathcad. 
o Desarrollar un software para el cálculo del área de refuerzo GFRP de vigas 
sometidas a cortante y flexión. 
o Validar los resultados obtenidos en el software a través de Excel y Mathcad. 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
 
 
 
Antecedentes 
El estudio de diferentes materiales que puedan servir como alternativas a los 
convencionales en el sector de la construcción es un tema que ha abordado la ingeniería; 
buscando la mayor eficiencia en términos económicos, técnicos y ambientales. En este caso,uno de los materiales para refuerzo del concreto que ha mostrado buenos resultados a nivel de 
investigación y de aplicaciones constructivas ha sido el polímero reforzado con fibra de vidrio 
(GFRP), que es un material compuesto y, a su vez, un polímero reforzado con fibra (FRP). Su 
uso se ha investigado durante más de dos décadas en países precursores como Italia, Japón, 
Noruega, Reino Unido, Canadá y Estados Unidos, estos dos últimos con los reglamentos: 
CAN/CSA-S806-12 y ACI 440 1R-15, respectivamente. 
En el ámbito de la investigación en el diseño de vigas con este material, existen 
artículos publicados alrededor del mundo los cuales han aportado un amplio conocimiento, 
brindando las herramientas para la generación de normas en diferentes países, como los 
mencionados anteriormente. 
En 2019, Abdelkarim, Ahmed, Mohamed, y Benmokrane, en su estudio “Flexural 
strenght and serviceability evaluation of concrete beams reinforced with deformed GFRP bars” 
se enfocaron en fallar 8 vigas con una sección transversal de 200x300 mm, con luces de 2,7 
metros, las vigas se dividieron en 2 grupos, los cuales se diferenciaban por el concreto que se 
empleó para su construcción, teniendo como resistencias a la compresión f´c de 35 MPa y 65 
MPa, para el refuerzo de cada viga se emplearon 2 barras de GFRP en la parte inferior con 
diámetros nominales de 12 mm, 16 mm, 20 mm y 25 mm, teniendo como principios teóricos las 
normas ACI 440.1R-15 y la CAN/CSA S806-12. En este estudio concluyen que los métodos de 
 14 
 
cálculo teóricos propuestos por los reglamentos ACI 440.1R-15 y la CAN/CSA S806-12 tuvieron 
una aproximación a los resultados de laboratorio con una exactitud mayor al 80% y además 
encontraron que al fallar la viga el ancho de la grieta disminuye conforme se tenga un diámetro 
nominal del refuerzo GFRP mayor, y adicionalmente aumenta su rigidez. 
En 2016, la investigación de Benítez, “Correlación entre Vigas de Hormigón Armadas 
con Varillas de Acero y con Varillas de Fibra Reforzada con Polímero FRP sometidas a 
Esfuerzos de Flexión en los Tercios del Claro”, se analizó el uso de FRP como una alternativa 
al acero en el hormigón armado sometido a esfuerzos de flexión, por lo que fueron ensayados 
hasta la falla tres tipos de especímenes, con sección transversal de 15cm de base por 15cm de 
altura y una luz máxima de 60 cm, los cuales eran: uno de hormigón simple, uno de hormigón 
armado con varillas de acero y otro con barras GFRP de igual diámetro que las de acero. Se 
evaluó el aporte del material de refuerzo en la resistencia del hormigón armado, obteniendo 
como resultado que el GFRP aportó una resistencia mayor que el acero en los elementos 
ensayados cuando el concreto tenía la edad en la que alcanzaba su resistencia de diseño, 
siendo el módulo de rotura de la viga con GFRP de 14.43 MPa, y la reforzada con acero de 
12.81 MPa. Además, se evidenció que el GFRP tuvo una adherencia menor con el concreto 
que la presentada con el acero. 
En 2015, en la investigación llevada a cabo por Maranan et al., llamada “Flexural 
Response of GFRP-Reinforced Geopolymer Concrete Beams”, se analizó la respuesta a la 
flexión de vigas de concreto reforzado con GFRP, siendo estas ensayadas con dos cargas a lo 
largo de la luz. Se construyeron tres miembros, de sección 30 cm de base por 40 cm de altura, 
con similar cantidad de refuerzo GFRP a flexión en la parte inferior (el primero con 4 barras de 
diámetro de 12.7 mm, el segundo con 3 barras de 15.9 mm y el tercero con 2 barras de 19.0 
mm) y dos barras GFRP de 12.7 mm de diámetro en la parte superior de la sección transversal, 
y estribos de 9.5 mm espaciados a 100 mm en el centro. A partir de los análisis realizados de 
 15 
 
los ensayos, se pudo concluir que todas las vigas mostraron un patrón de grietas similar. 
Asimismo, la respuesta de deflexión de carga, capacidad de flexión y momento de flexión, y 
lecturas de deformación fueron parecidas, lo que sugiere que el diámetro de las barras GFRP 
no influyó significativamente en la respuesta de flexión de las vigas. 
En 2010, la tesis doctoral de Almerich, llevada a cabo en la Universidad Politécnica de 
Valencia, en España, llamada “Diseño, según Estados Límites, de estructuras de hormigón 
armado con redondos de fibra de vidrio GFRP”, analizó el comportamiento de este material a 
compresión, tracción y cortante, además de la resistencia al fuego de las barras de GFRP 
mediante ensayos de laboratorio, los resultados obtenidos los compara con los modelos 
teóricos establecidos en el documento ACI 440 1R-06. En este estudio se concluye que la 
capacidad de los elementos reforzados con GFRP pude ser estimada de manera correcta 
usando la teoría de los estados limites además que las barras de GFRP son más susceptibles 
al fuego en comparación con el acero, lo particular de este trabajo es la implementación de una 
aplicación informática que ayuda a establecer de una manera sencilla el diseño con este 
material. 
En 2004, De la Cruz desarrolló uno de los pocos estudios que se han realizado acerca 
de este tema en Colombia, “Resistencia a la flexión y adherencia en vigas de hormigón armado 
con barras de polímeros reforzados con fibra FRP”, que consistía en ensayar vigas a flexión a 
pequeña escala, específicamente tenían una sección transversal de 4x4 cm, con diferentes 
diámetros de FRP. Así se pudo evaluar la adherencia entre el concreto y las barras FRP, 
estableciendo la importancia del análisis cualitativo de la adherencia entre estos dos 
materiales, ya que garantiza un desempeño óptimo del miembro de concreto. Por otra parte, en 
cuanto a la resistencia a la flexión, se evidenció que las vigas reforzadas con FRP tienen un 
mayor módulo de rotura que las reforzadas con acero. Cabe señalar que este estudio no se 
llevó a cabo con el uso de alguna norma. 
 16 
 
 
 
Metodología 
Fase 1. Estudio de la metodología de diseño 
En primer lugar, se definió la bibliografía a emplear, en la cual se incluyó el reglamento 
colombiano NSR-10 y documentos internacionales, como ACI 440.1R-15. Se estudió la 
metodología de análisis y diseño de vigas de concreto reforzado con barras GFRP sometidas a 
flexión y cortante, y se adaptó dicha metodología para que fuera pertinente al contexto 
colombiano. El resultado de esta adaptación se encuentra a detalle en el Apéndice A. 
DIVGFRP: Diseño de vigas en concreto reforzado con barras GFRP, donde se trata a 
profundidad los temas de: características del material, predimensionamiento, recubrimiento, 
cuantía de diseño, refuerzo a flexión, refuerzo a cortante, entre otros. 
 
Fase 2. Programación en Excel y Mathcad 
Una vez definida la metodología de diseño de vigas de concreto reforzado con barras 
GFRP sometidas a flexión y cortante, presentada a detalle en el Apéndice A., esta se 
implementó en las herramientas computacionales Excel y Mathcad, y sus resultados se 
validaron con los ejercicios propuestos en el documento ACI 440.1R-15 y a partir de la 
colaboración de los ingenieros de la empresa Aritrec S.A. (2019), la cual es distribuidora de 
barras GFRP en Colombia, realiza investigaciones, brinda consultoría y logística sobre el uso 
de este material en estructuras de concreto. 
 
 
 17 
 
Fase 3. Sistematización de la herramienta computacional DIVGFRP 
Se desarrolló el software DIVGFRP, para que la metodología de diseño presentada en 
el Apéndice A. pueda aplicarse de una forma rápida y eficiente. Para esto, se utilizó el entorno 
Neatbeans, con el cual se realizó la programación en la plataforma JAVA. 
Fase 4. Validación del software 
En esta fase se trabajó con 5 ejemplos de secciones transversales de vigas sometidas a 
solicitaciones, condiciones ambientales y resistencias de concreto diferentes. DIVGFRP se 
validó comparando los resultados obtenidos por el software con respecto a los alcanzados con 
las programaciones en Excel y Mathcad.Fase 5. Productos, análisis, conclusiones y recomendaciones 
Se obtuvo como productos de esta investigación el software DIVGFRP, así como el 
Apéndice A., el cual es un manual que presenta la metodología y teoría del diseño de vigas de 
concreto reforzadas con barras GFRP sometidas a flexión y cortante haciendo uso del software 
DIVGFRP. 
Finalmente, se verificó el cumplimiento de los objetivos planteados, así como su 
respectivo análisis, y se brindaron una serie de recomendaciones para el uso de este material 
en Colombia. 
 
 
 
 
 
 18 
 
 
Generalidades del Diseño por Medio de las Herramientas Computacionales 
El diseño a flexión de vigas de concreto reforzado con barras GFRP está gobernado por 
la falla del concreto, es decir, que su falla es controlada por compresión; esto determina la 
teoría y formulación de diseño. Por otra parte, el diseño a cortante es semejante al que se 
realiza a miembros reforzados con acero con algunas variaciones pertinentes al uso del GFRP. 
Todo lo anterior, se explica a profundidad en el Apéndice A. DIVGFRP: Diseño de vigas en 
concreto reforzado con barras GFRP. 
A continuación, se hace una descripción general del funcionamiento de las 
programaciones hechas en Excel y Mathcad. Por esto, se sugiere que la lectura del Apéndice 
A. se realice previamente para la comprensión de los conceptos y procesos teóricos abordados 
en esta sección. 
Diseño por Medio de la Herramienta Mathcad 
Dentro de las ventajas del uso de Mathcad se encuentra la posibilidad de la 
visualización detallada de la formulación empleada, el manejo de condicionales y ciclos para 
procesos iterativos, entre otras. Por esto, se programó el diseño tanto a cortante como a flexión 
en esta herramienta. 
En la Figura 1., se muestran los parámetros iniciales, entre los cuales se encuentran los 
datos de entrada, que deben ser ingresados por el usuario, y estos son: las dimensiones de la 
viga (base “b”, altura “h” y el recubrimiento “r”), las solicitaciones (momento último “Mu” y 
cortante último “Vu”), el factor ambiental de reducción “CE”, la resistencia a la tensión de las 
barras longitudinales y de la sección doblada “ffu°” y “ffb”, respectivamente, el módulo de 
elasticidad del GFRP “Ef”, la resistencia a la compresión del concreto “f´c”, el número de la 
barra del estribo “N°Estribo” y la cantidad de ramales “Ramales”. Hay parámetros iniciales, que 
 19 
 
derivan de la información de entrada, tales como la deformación del GFRP, el módulo de 
elasticidad del concreto, entre otros, y estos valores se calculan de forma automática por el 
programa. 
Figura 1. 
Parámetros iniciales para el diseño a flexión y cortante en Mathcad 
 
Nota. Elaboración propia. 
 
 
 
 20 
 
Diseño a Flexión por Medio de la Herramienta Mathcad 
El diseño a flexión consiste en determinar el área de refuerzo a flexión de diseño (el 
diámetro y cantidad de barras GFRP longitudinales) requerida para resistir la tracción generada 
en elemento estructural (vigas) debido a las solicitaciones. 
En la Figura 2. se muestra un ejemplo de cálculo de la cuantía de diseño “ρfdiseño” y su 
respectiva área “Af”. 
Figura 2. 
Cálculo de área de diseño a flexión en Mathcad 
 
Nota. Elaboración propia. 
Cabe aclarar que el cálculo de la distancia entre la última fibra a compresión al centro 
de la barra de refuerzo a tensión “d”, es hecho mediante el supuesto de que la mitad del 
diámetro de la barra es de 12.7 mm, dado que este es el respectivo a la barra N°8, para un 
resultado conservador. Para el proceso iterativo, se incluyó la determinación de la cuantía de 
diseño, y esto es determinado por medio de la función “ρfdis”. 
 21 
 
También, como se muestra en la Figura 3., se dispuso de una programación, llamada 
“configuración manual de barras longitudinales”, para facilitar el cálculo del área de refuerzo a 
flexión a partir de diferentes tamaños y cantidades de barras, y así, poder seleccionar la 
configuración de barras más pertinente. Cabe aclarar que, en este apartado es permitido hasta 
una combinación de cuatro tamaños diferentes de barra de refuerzo. 
Figura 3. 
Configuración manual del área de refuerzo a flexión en Mathcad 
 
Nota. Elaboración propia. 
 
 
 
 22 
 
Diseño a Cortante por Medio de la Herramienta Mathcad 
El diseño a cortante consiste en determinar, a partir de un determinado diámetro de la 
barra GFRP de los estribos, la separación necesaria de estos para que el elemento estructural 
resista los esfuerzos al corte generados debido a las solicitaciones. 
A continuación, en el diseño a cortante, en la Figura 4. se calcula la resistencia del 
concreto a cortante teniendo en cuenta parámetros como la cuantía de diseño, la relación de 
módulos, entre otros. 
Figura 4. 
Cálculo de la resistencia del concreto a cortante en Mathcad 
 
Nota. Elaboración propia. 
 
 23 
 
Por último, en la Figura 5. se muestra la resistencia solicitada del GFRP como refuerzo 
a cortante y la separación de diseño de estribos “separacióndefinitiva”, teniendo en cuenta los 
parámetros calculados en la misma figura. 
Figura 5. 
Separación de diseño para los estribos en Mathcad 
 
Nota. Elaboración propia. 
 24 
 
Cabe destacar que en este programa todos los resultados y datos de entrada tienen 
unidades especificadas. Esto explica el uso de algunos factores de conversión en las 
ecuaciones mostradas. 
 
Diseño por Medio de la Herramienta Excel 
Excel posee una interfaz simplificada (comparada con Mathcad), al no dejar a simple 
vista la formulación empleada, permitiendo realizar una aproximación a la interfaz del software, 
además de la posibilidad del uso de cálculos iterativos de manera sencilla, por esto se hizo uso 
de esta herramienta. 
Para la programación se establecieron los apartados de parámetros iniciales, diseño a 
flexión y diseño a cortante. La vista general de la hoja de cálculo se puede apreciar en la Figura 
6., manejando los mismos criterios expresados en la programación de MathCad. 
Figura 6. 
Vista general de la hoja de cálculo. 
 
Nota. Programación desarrollada en Microsoft Excel. Elaboración propia. 
 25 
 
Entre los parámetros iniciales, que se puede apreciar en la Figura 7., se encuentran los 
datos de entrada, que deben ser ingresados por el usuario, los cuales son: las propiedades de 
las barras de GFRP, las propiedades del concreto, factores de reducción de resistencia y las 
características de la sección transversal, tales como altura y base. Hay parámetros iniciales, 
que se derivan de información de entrada, tales como la deformación del GFRP, el módulo de 
elasticidad del concreto, d, entre otros, y estos valores se calculan de forma automática en la 
hoja de cálculo. 
Figura 7. 
Parámetros iniciales para el diseño a flexión y cortante. 
 
Nota. Elaboración propia. 
Ef (MPa) 60000
CE 0.8
F*fu(Mpa) 1100
Ffu (Mpa) 880
εfu 0.015
Ec (kPa) 24870
f´c (MPa) 28
εcu 0.003
β1 0.85
φflexión 0.65
φCorte 0.75
h (cm) 30
b (cm) 30
Recubrimiento (cm) 3.0
d (cm) 24.8
Dimensiones de la viga
Propiedades GFRP
Propiedades concreto
Factores de reducción
P
A
R
A
M
ET
R
O
S 
IN
IC
IA
LE
S
 26 
 
En la Figura 8. Se muestra un ejemplo de los parámetros de cuantía balanceada y el 
esfuerzo en el refuerzo GFRP (ff) calculado para una sección y una solicitación dada. El valor 
de la cuantía balanceada es calculado con los parámetros iniciales, y el esfuerzo en el GFRP 
(ff) se realiza mediante el proceso iterativo. 
Figura 8. 
Cuantía balanceada y esfuerzo en el GFRP 
 
Nota. Elaboración propia. 
 
 
 En la Figura 9., se muestra el diseño a flexión y cortante junto con la opción de realizar 
la configuración de barras para el diseño a flexión y la selección del tipo de estribo para el 
diseño a cortante. Cabe aclarar que, “Af requerida” es el área necesaria para resistir la 
solicitación (Mu), “Af de diseño” corresponde ala mayor entre la “Af requerida” y “Af mínima”, 
mientras lo que respecta a cortante, “Sdef” es la menor separación de estribos entre “Smax” y 
“Sdiseño”. 
rfb 0.00390
Ff (Mpa) 607
Esfuerzo en el GFRP
O
TR
O
S Cuantía balanceada
 27 
 
Figura 9. 
Cálculo del área de refuerzo a flexión y separación de refuerzo a cortante. 
 
Nota. Elaboración propia. 
Cabe destacar que esta programación en Excel es análoga a la realizada en Mathcad, 
es por esto por lo que cuenta con los mismos chequeos, procesos de cálculo y variables 
principales de entrada y salida. 
 
 
 
 
Mu (kN/m) 50 Vu (kN) 40
rf requerida 0.00763 nf 2.41
Af requerido (mm
2) 567 k 0.17431
rf min(1,4rf) 0.00547 φVc (kN) 20.57
Af min(mm
2) 406 CHECK Requiere ref
rf diseño 0.00763 Vu-φVc (kN) 19.43
Af diseño (mm
2) 567 CHECK falla del alma Ok
Ff 607 ffb (MPa) 450
ffv (MPa) 240
N° Varilla 5 CHECK ffv<ffb Ok
Cantidad de Varillas 3.0 Afv/s (mm2/mm) 0.44
Afvmín/s (m2/cm) 0.36
N° Varilla 4 Afv/s diseño (m2/cm) 0.44
Cantidad de Varillas 0.0 Estribos No 3
Ramales 2
N° Varilla 4 Av (mm2) 142.51
Cantidad de Varillas 0.0 Sdiseño (m) 0.33
Smax (m) 0.124
Af construcción (mm2) 594 S def. (m) 0.124
S (cm) 6.41 Afv/S (mm2/mm) 1.150
rf construcción 0.007988
Mn (KN*m) 78.318
fMn(KN*m) 50.90654
Check Mu <φMn Ok
FL
EX
IÓ
N
C
O
R
TA
N
TE
Configuración de varillas N°1
Configuración de varillas N°2
Configuración de varillas N°3
Verificación
 28 
 
 
 
Programación de Software Diseño 
Se hizo uso del lenguaje de programación JAVA mediante el entorno Netbeans para 
realizar la sistematización del proceso de diseño, ya que este lenguaje permite diseñar 
programas con una interfaz simplificada para el usuario. La instalación, interfaz y uso del 
programa DIVGFRP, así como toda su extensión teórica y metodológica, se encuentran 
detallados en el Apéndice A. DIVGFRP: Diseño de vigas en concreto reforzado con barras 
GFRP. 
A continuación, se presentan esquemas generales del programa DIVGFRP mostrando 
las ventanas concernientes al diseño a flexión y cortante con barras GFRP. 
En la Figura 10. se muestra la ventana principal en la que el usuario tiene que ingresar 
datos de entrada, los cuales son iguales a los mostrados anteriormente en las herramientas de 
Excel y Mathcad. 
 29 
 
Figura 10. 
Ventana principal del programa DIVGFRP 
 
Nota. Elaboración propia. 
 
En la Figura 11.se muestra la ventana llamada “Más Resultados”, la cual presenta 
parámetros de diseño que pueden resultar del interés para el usuario, dado el caso que 
requiera o guste revisar y analizar a profundidad los resultados. 
 30 
 
Figura 11. 
Ventana de “Mas Resultados” 
 
Nota. Elaboración propia. 
La Figura 12. muestra la ventana del software “Configuración área de refuerzo de 
construcción”, la cual permite que el usuario realice una configuración de barras longitudinales 
y pueda compararla con el área de refuerzo de diseño a flexión. 
 31 
 
Figura 12. 
Ventana de configuración área de refuerzo de construcción 
 
Nota. Elaboración propia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
 
 
 
Resultados de Metodología de Diseño y Validación de Software 
Para la validación del software DIVGFRP se trabajó con 5 ejemplos de secciones 
transversales de vigas sometidas a diferentes solicitaciones y condiciones (expuestas o no, al 
suelo), y con distintas resistencias de concreto, como se muestra en la Tabla 1., siendo el 
refuerzo utilizado GFRP de grado 60, que tiene una resistencia a la tensión garantizada de 
1100 MPa y un módulo de elasticidad de 60000 MPa. Para la resistencia a la tensión de la 
sección doblada del refuerzo se tomó un valor de 450 MPa, la cual corresponde a un valor 
medio para los diferentes tipos de barras. Cabe aclarar que los estribos utilizados para el 
diseño a cortante son de barras #3 con 2 ramales, siendo este tipo de estribos los más usuales. 
Tabla 1. 
Descripción de las vigas diseñadas para las validaciones. 
Validación 
Altura 
(mm) 
Base 
(mm) 
Resistencia 
del concreto 
(MPa) 
Solicitación Condición de 
exposición ambiental Mu (kN*m) Vu (kN) 
1° 300 300 28 50 40 No expuesta 
2° 350 300 28 30 22.5 No expuesta 
3° 400 300 21 65 54 No expuesta 
4° 400 350 21 74 63 No expuesta 
5° 300 250 35 50 40 Expuesta al suelo 
 
Nota. Elaboración propia. 
Los resultados comparados desde la Tabla 2. a la Tabla 6 son los más significativos de 
cada diseño; tales son la cuantía de diseño a flexión (ρdiseño), el área de refuerzo a flexión de 
diseño (Afdiseño), la separación de diseño de estribos (S) y su relación con el área de refuerzo a 
cortante (Afv/S). Del Apéndice B. al F. (respectivamente para cada tabla) se soportan con 
captura de pantalla los resultados de cada validación, según los programas utilizados (Excel, 
 33 
 
Mathcad y DIVGFRP). Es importante mencionar que los resultados de algunos ejemplos 
fueron validados por los ingenieros de la empresa Aritrec S.A. y sus socios en Canadá, 
expertos en el diseño de estos elementos estructurales. 
Tabla 2. 
Resultados de la primera validación. 
Parámetros 
Programa 
Excel Mathcad DIVGFRP 
ρdiseño 0.00763 0.00763 0.00763 
Afdiseño (mm2) 567 567 567 
Separación (mm) 124 124 124 
Afv/S (mm2/mm) 1.15 1.15 1.15 
 
Nota. Elaboración propia. 
Tabla 3. 
Resultados de la segunda validación. 
Parámetros 
Programa 
Excel Mathcad DIVGFRP 
ρdiseño 0.00547 0.00547 0.00547 
Afdiseño (mm2) 488 488 488 
Separación (mm) 149 149 149 
Afv/S (mm2/mm) 0.96 0.96 0.96 
 
Nota. Elaboración propia. 
 
 
 34 
 
Tabla 4. 
Resultados de la tercera validación. 
Parámetros 
Programa 
Excel Mathcad DIVGFRP 
ρdiseño 0.00414 0.00414 0.00414 
Afdiseño (mm2) 432 432 432 
Separación (mm) 174 174 124 
Afv/S (mm2/mm) 0.82 0.82 0.82 
 
Nota. Elaboración propia. 
Tabla 5. 
Resultados de la cuarta validación. 
Parámetros 
Programa 
Excel Mathcad DIVGFRP 
ρdiseño 0.0041 0.0041 0.0041 
Afdiseño (mm2) 499 499 499 
Separación (mm) 174 174 174 
Afv/S (mm2/mm) 0.82 0.82 0.82 
 
Nota. Elaboración propia. 
Tabla 6. 
Resultados de la quinta validación. 
Parámetros 
Programa 
Excel Mathcad DIVGFRP 
ρdiseño 0.00929 0.00929 0.00929 
Afdiseño (mm2) 575 575 575 
Separación (mm) 124 124 124 
Afv/S (mm2/mm) 1.15 1.15 1.15 
 
Nota. Elaboración propia. 
 35 
 
 
 
Generalidades del Manual del Software DIVGFRP: Diseño de Vigas en Concreto 
Reforzado con GFRP 
A continuación, se presenta un resumen del contenido principal desarrollado en el 
manual de diseño y uso del programa: DIVGFRP: Diseño de vigas en concreto reforzado 
GFRP, Apéndice A. 
o Teoría y metodología de diseño: En este apartado se tratan las características 
del material, recubrimiento, predimensionamiento, el diseño a flexión y cortante, 
así como los requerimientos para que el elemento estructural trabaje de manera 
óptima. 
o Software de diseño: Explicación del funcionamiento e importancia del 
programa, los parámetros de entrada y salida, siendo estos últimos sustentados 
con la teoría y metodología abordada. 
o Ejemplos de diseño: Demostración práctica del uso de la metodología 
aplicando el programa DIVGFRP para el diseño de los miembros en estudio. 
o Instalación del software: Requisitos y procedimiento de instalación. 
 
 
 
 
 
 
 36 
 
 
 
Análisis de Resultados 
El siguiente análisis se llevó a cabo teniendo en cuenta el desarrollo del manual 
DIVGFRP: Diseño de vigas en concreto reforzado con GFRP, presentado en el Apéndice A., y 
la validación del software de diseño DIVGFRP, la cual se logra realizar con la ayuda de las 
programaciones en Excel y Mathcad. 
o En el diseño a flexión de vigas reforzadas con GFRP se aplican conceptos y teorías que 
parten del equilibrio de fuerzas en la sección y la compatibilidad de deformaciones. Esto 
hace que sea homólogo a lo que se realiza en el diseño de miembros reforzados con 
acero, sin embargo, debido al comportamientolineal-elástico de las barras GFRP, el 
criterio de falla más apropiado es el controlado por compresión para las vigas 
reforzadas con este material. 
o Para asegurar que una sección falle controlada a compresión, se debe contar con una 
cuantía igual o mayor a 1.4 veces la cuantía balanceada, ya que en este punto el 
esfuerzo de tracción al que se ve sometido el GFRP es siempre menor a su resistencia 
última cuando falla el concreto. 
o El ACI 440.1R-15 propone un procedimiento de diseño a flexión que consiste en asumir 
configuraciones de barras (cantidad y diámetro de barras) hasta lograr aquella que 
satisfaga los requerimientos de diseño. Sin embargo, este proceso no es práctico para 
realizar una sistematización, por lo cual, dadas las condiciones de cálculo, en donde se 
tienen dos ecuaciones y dos variables dependientes entre sí, se hace indispensable 
involucrar un proceso iterativo para llevar a cabo tal fin. 
o Cuando se tienen solicitaciones excesivas en determinadas secciones, existen valores 
de área de refuerzo calculados por medio de la metodología presentada en DIVGFRP: 
 37 
 
Diseño de Vigas en Concreto Reforzado con GFRP que pueden no ser viables para su 
construcción, ya que ocuparían gran parte del área transversal de la viga, además que 
la configuración de barras puede impedir el buen vertimiento del concreto. 
o El diseño a cortante para este tipo de vigas es similar al de aquellas reforzadas con 
acero, sin embargo, difieren en cuanto a que se involucra el factor “k” que afecta 
directamente a la determinación del aporte de resistencia al corte del concreto, y este 
factor está en función de los módulos de elasticidad de los materiales (GFRP y 
concreto) y la cuantía de diseño, que es resultado del diseño por flexión. 
o Los resultados de las validaciones realizadas en los tres programas con los ejemplos 
propuestos coincidieron entre sí. Esto implica que el software DIVGFRP está validado y 
se obtendrán resultados que correspondan con la metodología empleada en el manual 
DIVGFRP: Diseño de vigas en concreto reforzado con GFRP. 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 38 
 
 
 
Conclusiones 
o Se evidencia que la metodología para el diseño a flexión y cortante empleada en el 
documento ACI 440.1R-15 es aplicable al contexto colombiano, ya que esta parte de 
principios teóricos similares a los utilizados en el diseño de concreto reforzado con 
acero. Sin embargo, ya que la metodología que se desarrolla en el manual DIVGFRP: 
Diseño de vigas en concreto reforzado con GFRP, el cual se encuentra en el Apéndice 
A, se prioriza la falla controlada por compresión, hace de esta, una propuesta 
innovadora en el país. 
o En el apartado Resultados de Metodología de Diseño y Validación de Software, estos 
implican que el software DIVGFRP se ha validado de manera exitosa, lo cual hace que 
este sea apropiado para aplicar la metodología de diseño establecida en el documento 
DIVGFRP: Diseño de vigas en concreto reforzado con GFRP. Sin embargo, los 
resultados arrojados por el software deben ser verificados y analizados por ingenieros 
cualificados y con experiencia para el diseño con este material, los autores no se hacen 
responsables por el uso de la información determinada por el programa, es 
responsabilidad del ingeniero/profesional revisar y verificar la información que pretende 
usar para su diseño. 
o La formulación y procesos que se muestran en DIVGFRP: Diseño de vigas en concreto 
reforzado con GFRP se plantean de manera que se pueda sistematizar en herramientas 
computacionales. Dada la teoría con la que se trabaja, se establece un procedimiento 
iterativo que permite el diseño a flexión óptimo de vigas reforzadas con GFRP, por lo 
cual se hace indispensable el uso del software DIVGFRP. 
 39 
 
o Dado que la falla por tracción en las vigas reforzadas con GFRP resulta más crítica que 
la presentada por compresión (lo cual es debido al comportamiento lineal-elástico del 
material), como se muestra en el documento en DIVGFRP: Diseño de vigas en concreto 
reforzado con GFRP, se decide trabajar con esta última condición siendo que esta es la 
más propicia, evitando daños excesivos por cargas verticales. Asimismo, se presentan 
los conceptos de cuantía mínima y máxima, siendo la mínima aquella desde la cual se 
asegura la falla controlada por compresión, mientras que la cuantía máxima debe estar 
a criterio del diseñador, teniendo en cuenta que el área de refuerzo de diseño sea viable 
para su construcción. 
o Respecto al comportamiento que tendría la viga, dado el tipo de falla que se presentaría 
(controlada por compresión), se produciría deflexiones mínimas en el miembro ya que el 
concreto sufre pocas deformaciones antes de fallar. 
o El diseño a cortante se ve influenciado con el diseño a flexión, ya que la cuantía de 
diseño se emplea en el cálculo del factor “k”, el cual afecta la resistencia al corte del 
concreto, por lo cual, un buen desarrollo del diseño a flexión debe cumplirse para que la 
configuración del refuerzo transversal pueda ejercer su tarea apropiadamente. 
o En algunas circunstancias se tienen secciones sometidas a solicitaciones bajas, en las 
cuales esta metodología establece un área de refuerzo mínima, por lo tanto, algunas 
secciones tendrían una resistencia nominal considerablemente mayor a su solicitación, 
disminuyendo su eficiencia. 
 
 
 
 
 40 
 
 
 
Recomendaciones 
o Entre los tres programas que se emplean, DIVGFRP posee la interfaz más práctica y 
especializada para que el usuario la pueda utilizar sin mayores inconvenientes. Por 
esto, es recomendado su uso tal y como se muestra en el manual DIVGFRP: Diseño de 
vigas en concreto reforzado con GFRP, que se encuentra en el Apéndice A. 
o Si no es posible cumplir con la solicitación con una configuración de barras apropiada o 
se tiene una eficiencia considerablemente baja con la cuantía de diseño, se recomienda 
redimensionar la sección, siempre y cuando se cumplan con las alturas mínimas 
expresadas en DIVGFRP: Diseño de vigas en concreto reforzado con GFRP. 
o Las características del GFRP varían según el fabricante, por lo tanto, se recomienda 
que los parámetros del refuerzo empleados en el diseño sean suministrados por el 
fabricante y/o proveedor. 
o Se recomienda realizar investigaciones teórico-prácticas para desarrollar más el tema 
del diseño de miembros en concreto reforzados con barras GFRP, dada la importancia 
que podría tener este material en el contexto colombiano. 
 
 
 
 
 
 
 41 
 
 
 
Referencias 
Abdelkarim, O., Ahmed, E., Mohamed, H., & Benmokrane, B. (2019). Flexural strength and 
serviceability evaluation of concrete beams reinforced with deformed GFRP. Engineering 
Structures, 186, 282–296. 
ACI 440.1R-15, 88 (2015). 
Almerich, A. I. (2010). Diseño, según estados límites, de estructuras de hormigón armado con 
redondos de fibra de vidrio GFRP. Universidad Politécnica de Valencia. 
Aritrec. (2019). Aritrec S.A. http://www.aritrec.com/ 
Armastek S.A.S. (2018). Innovación sostenible que genera desarrollo para Colombia. Revista 
Normas y Calidad, 30–32. 
Benítez, G. (2016). Correlación entre Vigas de Hormigón Armadas con Varillas de Acero y con 
Varillas de Fibra Reforzada con Polímero FRP Sometidas a Esfuerzos de Flexión en los 
Tercios del Claro. Universidad Central del Ecuador. 
NSR-10, (2010). 
CAN/CSA S806-12, Pub. L. No. United States, 187 (2012). 
De la Cruz, C. J. (2004). Resistencia a la flexión y adherencia en vigas de hormigón armado 
con barras de polímeros reforzados con fibra FRP. Universidad Nacional de Colombia. 
Maranan, Ginghis; Manalo, Allan; Karunasena, Warna; Benmokrane, B. (2015). Flexural 
Response of GFRP-Reinforced Geopolymer Concrete Beams. Concrete Melbourne. 
 
 42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apéndice A. DIVGFRP: Diseño de Vigas en Concreto Reforzado con GFRP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43Apéndice B. Primera Validación de Software de Diseño 
 
 
 
 
 0 
Excel 
 
 
 
Ef (MPa) 60000
CE 0.8
F*fu(Mpa) 1100
Ffu (Mpa) 880
εfu 0.015
Ec (kPa) 24870
f´c (MPa) 28
εcu 0.003
β1 0.85
φflexión 0.65
φCorte 0.75
h (cm) 30
b (cm) 30
Recubrimiento (cm) 3.0
d (cm) 24.8
Dimensiones de la viga
Propiedades GFRP
Propiedades concreto
Factores de reducción
P
A
R
A
M
ET
R
O
S 
IN
IC
IA
LE
S
rfb 0.00390
Ff (Mpa) 607
Esfuerzo en el GFRP
O
TR
O
S Cuantía balanceada
Vu (kN) 40
nf 2.41
k 0.17431
φVc (kN) 20.57
CHECK Requiere ref
Vu-φVc (kN) 19.43
CHECK falla del alma Ok
ffb (MPa) 450
ffv (MPa) 240
CHECK ffv<ffb Ok
Av/s (mm2/mm) 0.44
Avmín/s (m2/cm) 0.36
Av/s diseño (m2/cm) 0.44
Estribos No 3
Ramales 2
Av (mm2) 142.51
Sdiseño (m) 0.33
Smax (m) 0.124
S def. (m) 0.124
C
O
R
TA
N
TE
Mu (kN/m) 50
rf requerida 0.00763
Af requerido (mm
2) 567
rf min(1,4rf) 0.00547
Af min(mm
2) 406
rf diseño 0.00763
Af diseño (mm
2) 567
Ff 607
N° Varilla 5
Cantidad de Varillas 3.0
N° Varilla 4
Cantidad de Varillas 0.0
N° Varilla 4
Cantidad de Varillas 0.0
Af construcción (mm2) 594
db 1.5875
S (cm) 6.41
rf construcción 0.007988
B 591.1284
Mn (KN*m) 78.318
fMn(KN*m) 50.90654
Check Mu <φMn Ok
FL
E
X
IÓ
N
Configuración de varillas N°1
Configuración de varillas N°2
Configuración de varillas N°3
Verificación
 0 
Mathcad 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
DIVGFRP 
 
 
 
 0 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apéndice C. Segunda Validación de Software de Diseño
 0 
Excel 
 0 
Mathcad 
 
 
 
1 
 
 
 
 0 
 
DIVGFRP 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apéndice D. Tercera Validación de Software de Diseño
 0 
Excel 
 
 
 0 
Mathcad 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
DIVGFRP 
 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apéndice E. Cuarta Validación de Software de Diseño
 0 
Excel 
 
 
 
 0 
Mathcad 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
DIVGFRP 
 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apéndice F. Quinta Validación de Software de Diseño 
 0 
Excel 
 
 
 
 
 
 0 
Mathcad 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 0 
DIVGFRP 
 
 
 
 0 
 0 
 
	Diseño de vigas reforzadas con barras GFRP empleando normativa internacional aplicable al contexto colombiano
	Citación recomendada
	tmp.1615834282.pdf.xsb44