SegundoParcial2C2017

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1) Dada la serie 
 



1 5 !
4
n
n
n
n
x
 
a. El radio de convergencia es: ……………infinito………………………… 
b. El intervalo de convergencia es: ……………R…………………… 
 
Solución 
 
Usamos el criterio de D’Alembert para analizar cuando converge la serie: 
 
lim
→
𝑎 + 1
𝑎
= lim
→
(𝑥 + 4)
(𝑛 + 1)! 5
(𝑥 + 4)
𝑛! 5
= lim
→
(𝑥 + 4) 𝑛! 5
(𝑛 + 1)! 5 (𝑥 + 4)
= 
 
 
Acomodamos para poder simplificar y dejamos módulo solo en los factores que pueden ser 
negativos y tomamos límite: 
 
= lim
→
⌈𝑥 + 4⌉
5(𝑛 + 1)
= 0 < 1 
 
Este límite es cero para cualquier valor de x, por lo tanto, es menor a 1 por lo que la serie 
converge para cualquier valor de x.| 
 
2) Sea f una función con derivadas continuas hasta el orden 3 en R, y sea 
22)( 2  xxxp su polinomio de Taylor de orden 2, centrado en x = 1. 
Demostrar que f(x) tiene un mínimo relativo o local en el punto (1, 1). 
 
Solución: 
𝑃(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 2 
𝑓(1) = 𝑃(1) = 1 − 2.1 + 2 = 1 
𝑃 (𝑥) = 2𝑥 − 2 
𝑓 (1) = 𝑃 (1) = 2.1 − 2 = 0 ( x0 =1 es P.C.) 
𝑃 (𝑥) = 2 
𝑓 (1) = 𝑃′ (1) = 2 > 0 ( x0 =1 es mínimo local ) 
 
Punto mínimo local de f (x): (1; f (1)) = (1; 1) 
 
 
3) Calcular la siguiente integral indefinida: 
 
dxxe
x
x x 







  32
3
1
1ln
 
Solución: 
 
Separar la integral como suma de integrales 
dxxedx
x
x x 
 32
3
1
)1(ln
 
 
En la primera integral aplicamos método de sustitución 
 
 
dx
1x
1
dt
)1xln(t
+
=
+=
 
 
1
4
1
4
3
3
4
)1(ln
41
)1(ln
C
x
C
t
dxtdx
x
x





 
 
 
La segunda integral por método de integración por partes 
 
dx1duxu ==
 
dxedv
3x2 +
= llamando 3x2z += como dx2dz = 
 
DeDedzedxev xzzx 





   3232 2
1
2
1
2
1
 
tomando una primitiva de v con D = 0, queda 
 
 
2
3232323232
4
1
2
1
2
1
2
1
Cexedxexedxxe xxxxx   
 
 
 
Por lo tanto =+
+
+ +
∫∫ dxxedx1x
)1x(ln 3x23
 
 
Ce
4
1
xe
2
1
4
)1x(ln 3x23x24
+
+
=
++
 
4) Graficar la región que determinan las siguientes inecuaciones y calcular su área: 
23 ,2 ,2 xyxyxy  . 
 
Solución: 
 
- La primera inecuación está sombreada de azul. 
- La segunda de rojo. 
- La tercera de verde. 
- La zona más oscura es la intersección de las tres regiones, es el área que piden calcular. 
 
Vemos que tenemos que calcular dos áreas porque cambia “el techo”. 
Buscamos el cruce de las curvas: 
𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = −2𝑥 → 2𝑥 = −2𝑥 → 𝑥 = 0 
𝑦 = 2𝑥; 𝑦 = 3 − 𝑥 → 2𝑥 = 3 − 𝑥 → 𝑥 + 2𝑥 − 3 = 0 , x = 1 o x = - 3 pero este valor lo 
descartamos. 
𝑦 = −2𝑥; 𝑦 = 3 − 𝑥 → −2𝑥 = 3 − 𝑥 → 𝑥 − 2𝑥 − 3 = 0 , x = 3 o x = - 1 pero este 
valor lo descartamos. 
20224))2(2(1
1
0
1
0
2
1
0
  xxdxdxxxA 
3/223/16221.
3/16)13/13(999
3/3)23())2(3(2
3
1
3
1
232
3
1
2


 
AAtotalA
xxxdxxxdxxxA