Tema14

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24/02/2004 Bases Físicas y Químicas del 
Medio Ambiente. Tema 14
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Tema 14
Mecánica Cuántica
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14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica
14.2 La ecuación de Schrödinger
14.3 Significado físico de la función de onda
14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger
para el átomo de hidrógeno
14.5 Números cuánticos
14.6 Orbitales atómicos
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14.1 Fundamentos de la mecánica cuántica
Nacimiento de la mecánica cuántica
Planck, Einstein, Bohr, De Broglie, Schrödinger,
Heisenberg ...
A finales del siglo XIX se habían acumulado una serie
de resultados experimentales que no era posible explicar
con la teoría existente (Mecánica clásica)
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Se sabe que los objetos calientes emiten luz de diferentes
colores, por ej. 
Rojo oscuro: Elemento calefactor de un horno eléctrico. 
Blanco: Filamento de una bombilla eléctrica.
La luz emitida por un objeto radiante caliente puede ser
dispersada por un prisma produciendo un ESPECTRO DE
COLOR CONTINUO.
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Longitud de onda
In
te
ns
id
ad
7000 K
5000 KComo puede verse en la Figura, 
la intensidad de la luz varía 
ligeramente con la longitud de
onda, con un máximo a una cierta
λ determinada por la temperatura
de la fuente.
Espectro de la radiación emitida 
por un cuerpo caliente
Cuanto mayor es T, menor
es λλλλmáxima.
Resultado experimental:
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La RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO es la que 
emite un cuerpo cuando se calienta. 
Como en el caso de los espectros atómicos, la física 
clásica no podía proporcionar una completa explicación
de la emisión de la luz por los sólidos calientes, conocida
como la radiación del cuerpo negro.
El Sol se comporta muy aproximadamente como un 
cuerpo negro
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Longitud de onda
In
te
ns
id
ad 7000 K
5000 K
Predicciones de la 
mecánica clásica
La teoría clásica predice que la intensidad de la radiación emitida
debería aumentar indefinidamente (ver líneas discontinuas en la figura). 
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En 1900, Planck, para explicar que la intensidad no aumenta 
indefinidamente al disminuir la frecuencia, hizo una propuesta revolucionaria:
la energía como la materia, es discontinua.
Esta es la diferencia esencial entre la FÍSICA CLÁSICA
y la nueva TEORÍA CUÁNTICA.
La física clásica no limita la cantidad de energía que un 
sistema puede tener, mientras que la teoría cuántica
limita esta energía a un conjunto discreto de valores 
específicos.
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El postulado de Planck puede resumirse por la ecuación:
E = h νννν
E =energía de un cuanto de radiación electromagnética
h= constante de Planck
νννν = frecuencia
La diferencia entre dos de las energías permitidas de un 
sistema también tiene un valor específico llamado CUANTO
de energía.
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•Los espectros de emisión de los elementos (H, He ...)
•El efecto fotoeléctrico
•La radiación de cuerpo negro 
Ni la materia ni la radiación son continuas, están
divididas en “partículas” de materia (partículas 
subatómicas) o de energía (fotones).
Esta hipótesis explica:
En resumen:
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Principio de Incertidumbre (Heisenberg, 1927)
La mecánica cuántica establece límites a la información
que podemos tener de un sistema.
∆∆∆∆x ∆∆∆∆p ≥≥≥≥ h/ 4ππππ
Error en la medida
de la posición
Error en la medida
del momento
Es una limitación
de la naturaleza
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14.2 La ecuación de Schrödinger
Sabemos que la radiación se puede comportar como
partículas o como ondas, y lo mismo ocurre con la
materia (difracción de electrones)
Las ondas de materia son ONDAS ESTACIONARIAS
La ecuación de propagación de las 
ondas de la materia es la
ecuación de Schrödinger
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Un e- o cualquier otra partícula que posea propiedades
de onda podría ser descrita mediante una función 
matemática denominada FUNCIÓN DE ONDAFUNCIÓN DE ONDA ψψψψψψψψ. . 
Las funciones de onda son las soluciones de la Las funciones de onda son las soluciones de la 
ecuaciecuacióón de n de SchrSchröödingerdinger
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)()()( xExxH Ψ=Ψ
Operador hamiltoniano (equivalente cuántico a la suma 
de las energías cinética y potencial clásicas). 
La ecuación de Schrödinger es el equivalente
a la conservación de la energía en la mecánica clásica
Función de onda Energía total del sistema
E es lo que hay que comparar con la energía
experimental del sistema. En Mecánica Cuántica 
a las magnitudes mensurables experimentalmente 
se les llama OBSERVABLES
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)()()()(
2 2
22
xExxV
xd
xd
m
Ψ=Ψ+Ψ− �





 = π2
h
�
Energía cinética Energía potencial
2
22
2
)(
xd
d
m
xT �−=
Operador energía
cinética
V(x) Operador energía potencial
En una dimensión (x) la ec Schrödinger se escribe
)()()( xExxH Ψ=Ψ 
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En principio nosotros sabemos (o suponemos) como son los 
operadores energía cinética y energía potencial
(interacciones eléctricas entre las partículas, 
ley de Coulomb) y RESOLVIENDO la ecuación de Schrödinger
se obtienen E y ψψψψ.
La ec de Schrödinger es una ecuación diferencial que se puede 
resolver en algunos casos aplicando métodos matemáticos. 
Solo algunas de esas soluciones tienen sentido físico
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14.3 Significado físico de la función de onda
En una onda convencional el cuadrado de la función
de onda es proporcional a la intensidad de la 
radiación.
En una onda de materia el cuadrado de la función
de onda da la probabilidad de encontrar materia
en ese determinado punto.
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y
z
x
r
=Ψ Vdr 2)( �
Probabilidad de encontrar 
la partícula en un pequeño 
volumen dV
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14.4 Soluciones de la ecuación de Schrödinger 
para el átomo de hidrógeno
+M
m
p
e-
x
y
z
(x, y ,z)
El átomo de hidrógeno
consta de un protón en el
centro y un electrón girando
a su alrededor
Las funciones de onda se 
analizan en función de las
3 coordenadas (x, y, z) 
necesarias para definir 
un punto con respecto 
al núcleo. 
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Las soluciones de la ecuación de Schrodinger para el
átomo de H proporcionan las funciones de onda para
el e- en el átomo de H. Estas funciones de onda se
llaman ORBITALESORBITALES. Es decir, un orbital es la función 
de ondas de un solo electrón.
El átomo de H es uno de los pocos sistemas para el cual se 
puede resolver la ec. de Schrödinger EXACTAMENTE 
(…pero podemos resolverla para otros muchos átomos de 
una manera aproximada).
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Ψ=Ψ+





∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂+
∂
Ψ∂− ErV
zyxm
)(
2 2
2
2
2
2
22
�
),,()( zyxΨ=Ψ=Ψ r
r
eZrV
0
2
4
)( πε
−=
Depende de r(x,y,z)
Función de onda para el átomo de hidrógeno
Interacción Coulombica 
electrón-núcleo
masa del electrón
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14.5 Números cuánticos
Cuando resolvemos la ecuación de Schrödinger para el
átomo de H vemos que solo tiene solución para posibles 
valores de energía.
E = -
R
n2
Constantede
Rydberg
n es un número entero (1,2,3 ...) que llamamos 
número cuántico.
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Cada valor de n caracteriza un nivel de energía
del átomo de hidrógeno. n se denomina número 
cuántico principal
EN EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO la energía depende
SOLAMENTE de n
En los demás átomos la energía depende de otros
números cuánticos
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El valor de la energía para n = 1 es el estado 
fundamental del sistema 
El resto de los estados (n ≠≠≠≠ 1) se llaman estados
excitados
Se puede pasar de un estado excitado a otro o
al estado fundamental liberando energía
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n2
n1
∆∆∆∆ E ∆∆∆∆ E = R 
1 1
n12 n22
La fórmula que explica qué líneas aparecen en
los espectros de emisión es una consecuencia
de cómo son las soluciones de la ecuación de 
Schrödinger
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Al resolver la ec de Schrödinger no solo obtenemos
las energías sino las funciones de onda ψψψψ.
Esas ψψψψ son los ORBITALES ATÓMICOS que 
están definidos por TRES números cuánticos.
•n (número cuántico principal) n = 1,2,3 ...
•l (número cuántico secundario) l = 0,1,2 ... n-1
Determina las regiones de máxima probabilidad 
de encontrar al electrón y está relacionado con el momento angular
•ml (número cuántico magnético) ml = -l,...0...,+l
Determina la orientación en el espacio de un orbital.
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14.6 Orbitales atómicos
Todos los orbitales con el mismo valor de n se 
encuentran en la MISMA CAPA
Todos los orbitales con los mismos valores de n y
l pertenecen a la MISMA SUBCAPA
Las capas se numeran de acuerdo a n
Las subcapas se definen mediante letras
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Orbitales atómicos
CAPA SUBCAPA ORBITAL
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CAPA n = 4
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Nº cuánticos posibles para n =4Nº cuánticos posibles para n =4
n = 4 l = 0
l = 1
l = 2
l = 3
ml = 0
ml = 1
ml = 0
ml = -1
ml = 2
ml = 1
ml = 0
ml = -1
ml = -2
n l =n-1 ml = -l ...+l Tipo de orbital
ml = 3
ml = 2
ml = 1
ml = 0
ml = -1
ml = -2
ml = -3
4 s
4 px
4 py
4 pz
4 dxy
4 dxz
4 dyz
4 dx2-y2
4 dz2
4 f
4 f
4 f
4 f
4 f
4 f
4 f
2 e-
6 e-
10 e-
14 e-
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Orbitales s
ProbabilidadNube
electrónica
Poseen simetría 
esférica
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Orbitales p
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Orbitales d
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Para definir EL ELECTRÓN DENTRO DE LOS 
ORBITALES se necesita un cuarto número cuántico
s =
ms= +1/2
ms = -1/2
Está relacionado con las propiedades magnéticas
intrínsecas del electrón
Número cuántico de espín
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El experimento de Stern-Gerlach
Sirvió para detectar el espín del electrón
N
S
ms = +1/2
ms = -1/2
Haz de átomos de Ag
IMÁN
rendija
El haz se desdobla en 2
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Número cuántico de spin
El experimento de Stern y Gerlach en
1920 reveló la necesidad de un cuarto
número cuántico, asociado a un momento
Angular intrínseco al electrón
S=1/2
Dos estados posibles
ms=+1/2 ms=-1/2
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Spin del electrón
• Las funciones de onda de un solo electrón al 
considerar el spin se llaman spin orbitales.
• Podemos relacionar el spin con un momento 
angular intrínseco del electrón
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2s
2p
1s
PR
O
B
AB
IL
ID
AD
Distancia a0
Funciones de distribución radial
Proporcionan la probabilidad de encontrar al electrón 
en función de la distancia electrón-núcleo: