Incidencia de la rigidez relativa de una zapata en el cálculo de

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Universidad de La Salle Universidad de La Salle 
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Ingeniería Civil Facultad de Ingeniería 
2016 
Incidencia de la rigidez relativa de una zapata en el cálculo de las Incidencia de la rigidez relativa de una zapata en el cálculo de las 
fuerzas de diseño, implementando el método de Winkler fuerzas de diseño, implementando el método de Winkler 
María Alejandra Luque Chaves 
Universidad de La Salle, Bogotá 
Juan Camilo Rincón Romero 
Universidad de La Salle, Bogotá 
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INCIDENCIA DE LA RIGIDEZ RELATIVA DE UNA ZAPATA EN EL CÁLCULO 
DE LAS FUERZAS DE DISEÑO, IMPLEMENTANDO EL MÉTODO DE WINKLER. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LUQUE CHAVES MARÍA ALEJANDRA 
RINCÓN ROMERO JUAN CAMILO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE LA SALLE 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL 
BOGOTÁ D.C. 
2016 
ii 
 
INCIDENCIA DE LA RIGIDEZ RELATIVA DE UNA ZAPATA EN EL CÁLCULO DE 
LAS FUERZAS DE DISEÑO, IMPLEMENTANDO EL METODO DE WINKLER. 
 
 
 
 
 
 
Luque Chaves María Alejandra 
Rincón Romero Juan Camilo 
 
 
 
 
 
Trabajo de Grado Presentado como Requisito para Optar al Título de Ingeniero Civil 
 
 
 
Director: 
C.Dr., Msc., I.C. Fabián Augusto Lamus Báez 
 
Codirector: 
Msc., I.S. Edgar Ricardo Álvarez Hernández 
 
 
 
 
 
Universidad de La Salle 
Facultad de Ingeniería 
Programa de Ingeniería Civil 
Bogotá D.C. 
2016 
iii 
 
Agradecimientos 
Los autores expresan su agradecimiento a: 
PhD. Fabián Augusto Lamus Báez, director del trabajo de investigación por la colaboración, 
paciencia y constante apoyo prestado a este trabajo investigativo. 
Ing. Edgar Ricardo Álvarez, por su asesoría constante en el desarrollo del programa, y su 
paciencia. 
Ing. Martín Riáscos Caipe, por su asesoría en la parte geotécnica, y por su apoyo constante en 
el desarrollo del trabajo de grado. 
Los docentes de la línea de estructuras y suelos de la Universidad de La Salle que contribuyeron 
a nuestra formación profesional en esta área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv 
 
Dedicatoria 
Este trabajo es la compilación de los esfuerzos y constante dedicación puesta en mi formación 
como Ingeniero Civil, por ello dedico cada uno de los triunfos obtenidos a mis amados padres 
Briggith Rocío Chaves Baquero y Javier Luque Manrique, quienes han sido excelentes guía y 
apoyo a lo largo mi vida. A mi madre-abuela Urbina Baquero y mi hermana Matilda, compañía 
inseparable. 
María Alejandra Luque Chaves 
 
La culminación de este trabajo se da gracias al camino que recorrí como estudiante de ingeniería 
civil, este a su vez marca una parte importante en mi vida, así que agradezco este logro a mis 
padres María Nery Romero y Miguel Antonio Rincón Rodríguez, porque gracias a su esfuerzo y 
apoyo incondicional en momentos difíciles he podido llegar a este punto mi vida. 
Además, agradezco a mi prima Liliana Leguizamón y amiga María Alejandra Luque Chaves, 
por su apoyo, compañía y amistad que me brindaron hasta este momento. 
Juan Camilo Rincón Romero 
 
 
 
 
v 
 
TABLA DE CONTENIDO 
1. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA _______________________________________________ 16 
2. OBJETIVOS ______________________________________________________________ 18 
2.1 OBJETIVO GENERAL: _________________________________________________________________ 18 
2.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: ______________________________________________________________ 18 
3. MARCO REFERENCIAL ____________________________________________________ 19 
3.1 MARCO TEÓRICO ___________________________________________________________________ 19 
3.1.1 MÉTODO DE WINKLER ______________________________________________________________ 19 
Ventajas __________________________________________________________________________ 21 
Desventaja ________________________________________________________________________ 21 
3.1.1.1 Modulo de Balasto ____________________________________________________________ 21 
 Ensayos de Carga con placa: _______________________________________________________ 22 
 Correlaciones empíricas ___________________________________________________________ 22 
3.1.2 RIGIDEZ RELATIVA SUELO-CIMIENTO _____________________________________________________ 22 
3.1.2.1 CRITERIOS RIGIDEZ RELATIVA ________________________________________________________ 24 
3.1.2.1.1 Vuelo de la zapata ___________________________________________________________ 24 
3.1.2.1.2 Criterios de Hetenyi (1946) ____________________________________________________ 25 
3.1.3 REGLAMENTO NSR-10 _____________________________________________________________ 26 
3.1.3.1 Cimentaciones ________________________________________________________________ 26 
3.1.3.2 Cargas y reacciones ____________________________________________________________ 26 
3.1.3.3 Momento ___________________________________________________________________ 27 
3.1.3.4 Diseño a Cortante unidireccional _________________________________________________ 27 
3.1.3.5 Diseño a cortante bidireccional __________________________________________________ 31 
3.1.3.5 Altura mínima de las zapatas: ____________________________________________________ 31 
vi 
 
3.1.3.6 Transmisión de fuerzas en la base de columnas, muros o pedestales _____________________ 31 
3.2 MARCO CONCEPTUAL ________________________________________________________________ 33 
3.2.1 INTERACCIÓN SUELO – ESTRUCTURA ____________________________________________________ 33 
3.2.2 JAVA __________________________________________________________________________ 33 
4. METODOLOGÍA __________________________________________________________ 34 
4.1 VARIABLES _______________________________________________________________________ 34 
4.1.1 SUELO: ________________________________________________________________________ 34 
4.1.2 RIGIDEZ DE LA ZAPATA ______________________________________________________________ 35 
4.1.3 CARGAS _______________________________________________________________________ 36 
4.2 PARÁMETROS FIJOS _________________________________________________________________ 37 
4.2.1 ACERO DE REFUERZO _______________________________________________________________ 37 
4.2.1.1 Resistencia a la fluencia ________________________________________________________ 37 
4.2.1.2 Módulo de elasticidad__________________________________________________________ 37 
4.2.2 Recubrimiento _________________________________________________________________ 37 
4.2.3Dimensiones de la columna _______________________________________________________ 37 
4.2.4Factor de modificación (lambda) ___________________________________________________ 37 
4.2.5Peso específico del concreto ______________________________________________________38 
4.3 DIMENSIONAMIENTO ________________________________________________________________ 38 
4.4 MÉTODO DE WINKLER _______________________________________________________________ 41 
4.5 CÁLCULO DE FUERZAS DE DISEÑO ________________________________________________________ 52 
4.5.1 CORTANTE ÚLTIMO ________________________________________________________________ 52 
4.5.2 MOMENTO ÚLTIMO _______________________________________________________________ 53 
4.6 DISEÑO _________________________________________________________________________ 54 
4.6.1 DISEÑO A FLEXIÓN ________________________________________________________________ 54 
vii 
 
4.6.2DISEÑO A CORTANTE UNIDIRECCIONAL ___________________________________________________ 57 
4.6.3 DISEÑO A CORTANTE BIDIRECCIONAL ___________________________________________________ 59 
4.7 RIGIDEZ RELATIVA __________________________________________________________________ 60 
5. RESULTADOS ____________________________________________________________ 62 
5.1 CONSOLIDADO DE RESULTADOS DE LAS MODELACIONES _________________________________________ 64 
5.2 GRÁFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (VARIANDO PARÁMETROS DEL SUELO) ________________ 69 
5.2.1 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/10 (VARIANDO 
PARÁMETROS DE SUELO): ________________________________________________________________ 70 
5.2.2 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/8 (VARIANDO PARÁMETROS 
DE SUELO): __________________________________________________________________________ 73 
5.2.3 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/6 (VARIANDO PARÁMETROS 
DE SUELO): __________________________________________________________________________ 76 
5.2.4 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/4 (VARIANDO PARÁMETROS 
DE SUELO): __________________________________________________________________________ 79 
5.2.5 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/3 (VARIANDO PARÁMETROS 
DE SUELO): __________________________________________________________________________ 82 
5.3 GRÁFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (VARIANDO CARGA AXIAL) _________________________ 85 
5.3.1 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/10 (VARIANDO CARGA 
AXIAL):_____________________________________________________________________________ 86 
5.3.2 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/8 (VARIANDO CARGA 
AXIAL):_____________________________________________________________________________ 89 
5.3.3 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/6 (VARIANDO CARGA 
AXIAL):_____________________________________________________________________________ 92 
viii 
 
5.3.4 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/4 (VARIANDO CARGA AXIAL):
 _________________________________________________________________________________ 95 
5.3.5 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/3 (VARIANDO CARGA 
AXIAL):_____________________________________________________________________________ 98 
5.4 GRÁFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (VARIANDO LA CARGA AXIAL) ______________________ 101 
5.4.1 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA LOS PARÁMETROS DE SUELO ASOCIADOS A LA CAPACIDAD 
PORTANTE 1 (CP1): ___________________________________________________________________ 102 
5.4.2 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA LOS PARÁMETROS DE SUELO ASOCIADOS A LA CAPACIDAD 
PORTANTE 2 (CP2): ___________________________________________________________________ 105 
5.4.3 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA LOS PARÁMETROS DE SUELO ASOCIADOS A LA CAPACIDAD 
PORTANTE 3 (CP3): ___________________________________________________________________ 108 
5.5 GRAFICAS DE MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (VARIANDO LA RESISTENCIA ESPECIFICADA A LA COMPRESIÓN DEL 
CONCRETO) ________________________________________________________________________ 111 
5.5.1 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (PARA UNA RESISTENCIA ESPECIFICADA A LA COMPRESIÓN DE 
21 MPA) __________________________________________________________________________ 112 
5.5.2 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (PARA UNA RESISTENCIA ESPECIFICADA A LA COMPRESIÓN DE 
28 MPA) __________________________________________________________________________ 115 
5.5.3 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (PARA UNA RESISTENCIA ESPECIFICADA A LA COMPRESIÓN DE 
35 MPA) __________________________________________________________________________ 118 
5.6 GRÁFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (VARIANDO PARÁMETROS DEL SUELO) _______________ 121 
5.6.1 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/10 (VARIANDO PARÁMETROS 
DE SUELO): _________________________________________________________________________ 122 
5.6.2 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/8 (VARIANDO PARÁMETROS 
DE SUELO): _________________________________________________________________________ 125 
ix 
 
5.6.3 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/6 (VARIANDO PARÁMETROS 
DE SUELO): _________________________________________________________________________ 128 
5.6.4 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/4 (VARIANDO PARÁMETROS 
DE SUELO): _________________________________________________________________________ 131 
5.6.5 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/3 (VARIANDO PARÁMETROS 
DE SUELO): _________________________________________________________________________ 134 
5.7 GRÁFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (VARIANDO CARGA AXIAL) ________________________ 137 
5.7.1 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/10 (VARIANDO CARGA 
AXIAL):____________________________________________________________________________ 138 
5.7.2 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/8 (VARIANDO CARGA AXIAL):
 ________________________________________________________________________________ 141 
5.7.3 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/6 (VARIANDO CARGA AXIAL):
 ________________________________________________________________________________ 144 
5.7.4 GRAFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/4 (VARIANDO CARGA AXIAL):
 ________________________________________________________________________________ 147 
5.7.5 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA UNA ALTURA DE CIMIENTO L/3 (VARIANDO CARGA AXIAL):
 ________________________________________________________________________________ 150 
5.8 GRÁFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (VARIANDO LA CARGA AXIAL) ______________________ 153 
5.8.1 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA LOS PARÁMETROS DE SUELO ASOCIADOS A LA CAPACIDAD 
PORTANTE 1 (CP1): ___________________________________________________________________ 154 
5.8.2 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA LOS PARÁMETROS DE SUELO ASOCIADOS A LA CAPACIDAD 
PORTANTE 2 (CP2): ___________________________________________________________________ 157 
5.8.3 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA PARA LOS PARÁMETROS DE SUELO ASOCIADOS A LA CAPACIDAD 
PORTANTE 3 (CP3): ___________________________________________________________________ 160 
x 
 
5.9 GRAFICAS DE CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (VARIANDO LA RESISTENCIA ESPECIFICADA A LA COMPRESIÓN DEL 
CONCRETO) ________________________________________________________________________ 163 
5.9.1 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (PARA UNA RESISTENCIA ESPECIFICADA A LA COMPRESIÓN DE 21 
MPA) ____________________________________________________________________________164 
5.9.2 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (PARA UNA RESISTENCIA ESPECIFICADA A LA COMPRESIÓN DE 28 
MPA) ____________________________________________________________________________ 167 
5.9.3 GRAFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ RELATIVA (PARA UNA RESISTENCIA ESPECIFICADA A LA COMPRESIÓN DE 35 
MPA) ____________________________________________________________________________ 170 
5.10 GRÁFICAS MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (VARIANDO LA CARGA PARA TODAS LAS ALTURAS DE 
CIMIENTO) _________________________________________________________________________ 173 
5.11 GRÁFICAS CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA (VARIANDO LA CARGA PARA TODAS LAS ALTURAS DE 
CIMIENTO) _________________________________________________________________________ 177 
5.12 MOMENTO ÚLTIMO VS. RIGIDEZ DEL SUELO (VARIANDO F´C Y CARGA AXIAL). _________________________ 181 
5.13 CORTANTE ÚLTIMO VS. RIGIDEZ DEL SUELO (VARIANDO F´C Y CARGAS AXIALES). _______________________ 186 
5.14 IDENTIFICACIÓN DE LOS CIMIENTOS SEGÚN LOS CRITERIOS DE RIGIDEZ RELATIVA (SECCIÓN 3.1.2.1) __________ 191 
6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ______________________________________ 196 
REFERENCIAS ______________________________________________________________ 197 
BIBLIOGRAFÍA _____________________________________________________________ 197 
 
 
 
 
 
xi 
 
Lista de ilustraciones 
Ilustración 3-1. Esquema de la hipótesis del modelo Winkler...................................................... 20 
Ilustración 3-2. Esquema criterios de rigidez relativa según el vuelo de la zapata (vmax). ........ 25 
Ilustración 4-1. Divisiones propuestas para las zapatas en el Método de Winkler. ...................... 42 
Ilustración 4-2. Zapata ejemplo método de Winkler. ................................................................... 45 
Ilustración 4-3. Resortes en cada uno de los nodos donde se calculan las deflexiones y. ............ 48 
Ilustración 4-4. Presión lineal de contacto en cada uno de los nodos. .......................................... 49 
Ilustración 4-5. Diagramas de cortante y momento, obtenida de los datos de la tabla 7. ............. 51 
Ilustración 4-6. Reacciones entre nodos y distancia desde el punto de aplicación de la fuerza 
(brazo). .......................................................................................................................................... 52 
Ilustración 4-7. Sección critica para cortante bidireccional. ......................................................... 59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xii 
 
Lista de tablas 
Tabla 1. Criterios de rigidez relativa según Hetenyi..................................................................... 26 
Tabla 2. Valores de capacidad portante, módulo de deformación, y coeficiente de balastro para 
suelos netamente cohesivos. ......................................................................................................... 34 
Tabla 3. Alturas escogidas de cimiento para las modelaciones. ................................................... 35 
Tabla 4. Resistencia especificada a la compresión y módulo de elasticidad del concreto. .......... 36 
Tabla 5. Cargas utilizadas en las modelaciones. ........................................................................... 36 
Tabla 6. Matriz formada con el sistema de ecuaciones anteriormente explicado. ........................ 47 
Tabla 7. Reacciones por unidad de longitud en cada nodo, correspondiente a la Ilustración 4-4. 50 
Tabla 8. Resultados modelaciones para una altura de cimiento de L/10 ...................................... 64 
Tabla 9. Resultados modelaciones para una altura de cimiento de L/8 ........................................ 65 
Tabla 10. Resultados modelaciones para una altura de cimiento de L/6 ...................................... 66 
Tabla 11. Resultados modelaciones para una altura de cimiento de L/4 ...................................... 67 
Tabla 12. Resultados modelaciones para una altura de cimiento de L/3 ...................................... 68 
Tabla 13. Identificación de cimientos según su rigidez relativa para una altura de cimiento de 
L/10 ............................................................................................................................................. 191 
Tabla 14. Identificación de cimientos según su rigidez relativa para una altura de cimiento de 
L/8. .............................................................................................................................................. 192 
Tabla 15 Identificación de cimientos según su rigidez relativa para una altura de cimiento de L/6
..................................................................................................................................................... 193 
Tabla 16. Identificación de cimientos según su rigidez relativa para una altura de cimiento de 
L/4. .............................................................................................................................................. 194 
xiii 
 
Tabla 17. Identificación de cimientos según su rigidez relativa para una altura de cimiento de L/3
..................................................................................................................................................... 195 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xiv 
 
Lista de anexos 
ANEXO A __________________________________________________________________ 199 
ANEXO B __________________________________________________________________ 200 
ANEXO C __________________________________________________________________ 213 
ANEXO D __________________________________________________________________ 214 
ANEXO E___________________________________________________________________219 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xv 
 
Introducción 
En este trabajo se estudió la incidencia de la rigidez relativa suelo-cimiento en el cálculo de las 
fuerzas de diseño de una zapata aislada. Se usó un software que se dividió en cuatro partes, la 
primera parte nos permitió determinar las dimensiones optimas de la zapata con respecto a la carga 
axial y la capacidad portante del suelo, la segunda implemento el método de Winkler el cual realiza 
un análisis de interacción suelo estructura que nos permitió determinar las fuerzas de diseño, la 
tercera fue diseñada para calcular los distintos parámetros de rigidez (relativa, de la estructura y 
del suelo) y la última parte realizó el diseño estructural de la cimentación. 
Con el software se realizaron ciento treinta y cinco modelaciones, donde se variaron parámetros 
como la altura de la zapata (h=L/10, L/8, L/6, L/4, L/3), el tipo de suelo con sus respectivas 
características (módulo de elasticidad del suelo y capacidad portante), carga axial (320KN, 801KN 
y 4001KN) y la resistencia especificada a la compresión del concreto (21MPa, 28MPa y 35 MPa). 
Los resultados de cada modelación fueron plasmados en graficas que ilustraron el comportamiento 
de las fuerzas de diseño contra la rigidez relativa, de la estructura y del suelo. 
Se encontró que en general a medida que la rigidez relativa del suelo-estructura aumenta las 
fuerzas de diseño también lo hacen, además al aumentar la altura de la zapata el momento último 
crece y en caso contrario, el cortante último disminuye. 
 
 
 
16 
 
 
1. Descripción del problema 
Cuando se diseña una cimentación hay tres elementos que se deben tener en cuenta, como lo 
son el suelo, la estructura de cimentación, y las cargas provenientes de la estructura a la que sirve, 
esto se convierte en un conjunto el cual interactúa entre sí pues las cargas que provienen de la 
estructura, pasan a la cimentación y posteriormente al suelo. Es muy importante para el diseño de 
cimentaciones predecir la interacción suelo estructura; sin embargo, es difícil, pues implica 
muchos factores derivados de los tres elementos principalescomo: el tipo de suelo y sus 
características, la forma y las dimensiones de la estructura de cimentación, y la rigidez relativa del 
conjunto. 
El análisis de la interacción suelo estructura está ligado al comportamiento de los componentes 
del conjunto, permitiendo conocer las deflexiones de la estructura de cimentación, las 
deformaciones del suelo de fundación, la distribución de presiones entre la estructura de fundación 
y el suelo, y la rigidez relativa del conjunto. Este estudio es fundamental para el diseño de la 
estructura de fundación ya que permite establecer los momentos y fuerzas cortantes de diseño. Con 
base en lo anterior, nos cuestionamos ¿Cuál es la incidencia de la rigidez relativa de una zapata 
aislada en el cálculo de las fuerzas de diseño de la misma?, la relación entre la rigidez relativa del 
conjunto y la determinación de las fuerzas de diseño tiene escasa documentación, lo que no permite 
establecer una conexión clara entre estas. Siendo la cimentación una parte vital de la edificación, 
se debe documentar cada uno de los factores que incidan en su diseño, y así tener cimentaciones 
ajustadas a las necesidades, que estén en balance con lo que se requiere en cuanto a costos y diseño. 
Por tanto, el trabajo de grado buscó hacer un aporte acerca del tema, que permitiera esclarecer esta 
relación, fortaleciendo la determinación de los criterios de diseño de una estructura de fundación 
17 
 
funcional, conformadas por zapatas aisladas mediante la implementación del método de Winkler 
para el estudio de la interacción suelo estructura en un programa realizado en el lenguaje de 
programación Java. El programa permitió evitar posibles errores de cálculo en los que se pudo 
incurrir durante la etapa de diseño permitiendo tener resultados confiables, además para el diseño 
estructural de la estructura de cimentación se cumplió con los parámetros dados en el reglamento 
NSR-10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
2. Objetivos 
2.1 Objetivo General: 
Determinar la incidencia de la rigidez relativa suelo/ cimentación para una zapata en el cálculo 
de las fuerzas de diseño de la misma, mediante la implementación del método de Winkler en un 
programa de computador desarrollado en el lenguaje de programación Java. 
2.2 Objetivos Específicos: 
-Desarrollar, implementar y validar un programa de diseño para zapatas aisladas, que considere 
los esfuerzos de la interacción suelo-estructura en el caso de suelos cohesivos. 
- Determinar la incidencia de la rigidez del suelo de fundación en el valor de las fuerzas de 
diseño de una zapata, manteniendo constante la rigidez de la misma. 
- Determinar la incidencia de la rigidez de una zapata en el valor de las fuerzas de diseño de la 
misma, manteniendo constante la rigidez del suelo de fundación. 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
3. Marco Referencial 
En este capítulo se expondrán los fundamentos teóricos necesarios para la comprensión de la 
relación de la rigidez relativa suelo-cimiento, y las fuerzas de diseño de una cimentación, para este 
caso zapatas aisladas. 
3.1 Marco Teórico 
3.1.1 Método de Winkler 
El suelo no es continuo, ni uniforme, ni isotrópico, sin importar qué grandes porciones de él se 
muestren uniformes, ya que a medida que aumenta la profundidad la rigidez también, debido al 
peso del terreno. Para fines de diseño es posible utilizar modelos que se acoplan aproximadamente 
al comportamiento (Delgado Vargas, 2009). 
Los métodos que consideran la interacción suelo estructura tienen como característica arrojar 
las fuerzas de diseño, requeridas para el diseño estructural de cimentaciones funcionales, por esta 
razón se escogió el método de Winkler para la modelación de estructuras de cimentación (zapatas 
aisladas) en este proyecto, permitiéndonos establecer una relación entre las fuerzas de diseño y la 
rigidez relativa del conjunto. 
El modelo de Winkler permite modelar la respuesta del suelo de fundación, cuando se quiere 
diseñar una estructura de cimentación teniendo en cuenta la interacción suelo estructura en este 
método se supone una presión (p) , que actúa en el límite donde se unen la estructura de fundación 
y el suelo, la cual es función polinómica de primer grado de la deflexión en dicho punto, esta 
condición requiere la utilización de una constante ko llamada módulo de balasto, la cual permite 
expresar la presión en términos de la misma de esta manera: 
20 
 
𝑝 = 𝑘𝑜 ∗ 𝑦 [ EC. 1] 
Donde p es presión, y es la deflexión del terreno y ko es la constante de proporción entre estos, 
llamado módulo de reacción del terreno o módulo de balasto, el comportamiento de la variable ko 
es representado comúnmente por resortes ubicados debajo de la fundación, dando la impresión de 
que la estructura de fundación está sobre una cama de resortes en la que cada resorte actúa de 
forma independiente. 
 
 
Ilustración 3-1. Esquema de la hipótesis del modelo Winkler. 
Fuente: (Delgado Vargas, 2009). 
 
El éxito del método de Winkler está en que es un método relativamente sencillo, con relaciones 
matemáticas simples dentro de la complejidad de las funciones en las que se basa. Si se desea 
obtener un modelo de comportamiento que se aproxime al real, se debe escoger un valor del 
módulo de reacción del suelo acertado, teniendo en cuenta las características del diseño. 
A continuación, se expondrán algunas de las ventajas y desventajas de la utilización del método 
de Winkler: 
21 
 
Ventajas 
- Es sencillo en términos matemáticos. 
- Caracteriza el suelo de soporte de la manera más simple. 
- Da soluciones útiles en comparación con la utilización de métodos más complejos. 
- Puede llegar a ser bastante acertado ya que los momentos flectores y esfuerzos en la 
estructura de cimentación no se ven gravemente afectados por el valor escogido del módulo 
de reacción. 
- Los modelos más sofisticados requieren de parámetros del suelo más acertados, que en 
muchos casos no son posibles de obtener debido a la dificultad de caracterizar un suelo, por 
esta razón generalmente idealizan las condiciones del suelo de soporte. 
Desventaja 
- El módulo de reacción es una propiedad ficticia que depende de la carga, la forma y el 
tipo de material, la búsqueda apropiada de este parámetro acerca a un comportamiento 
más adecuado del suelo ante las características del diseño. 
3.1.1.1 Modulo de Balasto 
El módulo de balasto es un coeficiente que permite modelar la respuesta del suelo en la teoría 
de Winkler, y se define como la relación que existe entre la presión de contacto (q) y las deflexiones 
de la estructura de cimentación (δ) como se ve en la ecuación (2). 
𝑘𝑠 = 
𝑞
𝛿
 [ EC. 2] 
 
Es muy importante escoger un módulo de balasto acorde a las condiciones presentadas en cada 
uno de los problemas propuestos; sin embargo, este depende de una serie de condiciones como lo 
es la dirección de la carga, el tipo de suelo, forma y dimensión de la cimentación y la rigidez 
22 
 
relativa del conjunto. Para determinar un módulo de balasto acorde se han planteado diferentes 
métodos como lo son: 
 Ensayos de Carga con placa: 
Consiste en ubicar una placa de dimensiones estándar sobre el suelo de fundación, y aplicar una 
combinación de cargas, para medir las deformaciones del suelo a medida que la carga aumenta. 
Este ensayo permite determinar la curva esfuerzo deformación del terreno. 
 Correlaciones empíricas 
Estas correlaciones se pueden plantear con el módulo de elasticidad del suelo, conseguido a 
través de ensayos como el triaxial, CBR, consolidación, SPT y el ensayo de veleta. 
3.1.2 Rigidez relativa suelo-cimiento 
La cimentación y el suelo tienen rigideces independientes, pero cuando se considera la 
interacción entre estos dos elementos, se debe tener en cuenta la redistribución de esfuerzos debido 
a la rigidez relativa cimiento-estructura de la cual dependerá el equilibrio final. 
La rigidez relativasuelo-cimentación Kr se puede expresar en términos generales como: 
𝐾𝑟 = 
𝐸𝑒𝐼𝑒
𝐸𝑠𝐵3
 [ EC. 3] 
 
 Donde: 
- Ee, es el módulo elástico del material de la estructura de cimentación. 
- Ie, es la inercia de la estructura de cimentación por metro de ancho. 
- Es, es el módulo de deformación del suelo. 
- B, es el ancho de la cimentación. 
23 
 
El numerador representa la rigidez de la estructura de cimentación y el denominador la rigidez 
del suelo de fundación, se considera que la estructura es rígida con respecto al terreno si Kr>0.5. 
Asimismo, se puede obtener la rigidez relativa según lo expresado por Delgado (2009) quien 
afirma que: En el modelo Winkler, los elementos prismáticos cumplen con una relación entre 
el Momento flector, la rigidez representada por el módulo de elasticidad y la inercia del 
elemento y la segunda derivada de la deflexión. 
−𝑀 = 𝐸𝐼
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 
[ EC. 4] 
 
Además, 
𝑑𝑀
𝑑𝑥
= 𝑉 
[ EC. 5] 
𝑑𝑉
𝑑𝑥
= 𝑞 [ EC. 6] 
 
Donde V es la fuerza cortante. Si se supone la hipótesis de Winkler de proporcionalidad entre 
esfuerzos y deflexiones: 
𝑞 = −𝑦 ∗ 𝑘 ∗ 𝐵 [ EC. 7] 
 
Se obtiene la ecuación diferencial: 
𝐸𝐼
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
+ 𝑘𝑦 = 0 
[ EC. 8] 
 
La solución general de la ecuación diferencial se puede expresar como: 
24 
 
𝑦 = (𝐶1 cos 𝜆 𝑥 + 𝐶2 sin 𝜆 𝑥) ∗ 𝑒
𝜆𝑥 + (𝐶3 cos 𝜆 𝑥 + 𝐶4 sin 𝜆 𝑥) ∗ 𝑒
−𝜆𝑥 [ EC. 9] 
 
Que resulta ser función de un parámetro λ cuya expresión es: 
𝜆 = √
𝐵𝑘𝑠
4𝐸𝐼
4
 
[ EC. 10] 
 
Y se denomina factor de amortiguación del sistema cimiento-suelo. 
El inverso del mismo 1/λ, se denomina longitud característica o longitud elástica y constituye 
un parámetro que mide la interacción entre la estructura y el suelo de fundación. Cuando la 
fundación es muy rígida en comparación con el suelo de soporte, 1/λ es grande e implica que 
una carga aplicada sobre la fundación causa deflexiones de la misma hasta una distancia 
considerable del punto de acción de la carga. Alternativamente, una pequeña longitud 
característica proviene de una combinación de una fundación blanda y suelo rígido. Esto 
significa que, con relación a las deflexiones, el tramo de influencia de la carga es relativamente 
local respecto al punto de aplicación de la carga y desde el punto de vista de la rigidez relativa, 
la fundación se comporta muy flexible (p.38-39). 
3.1.2.1 Criterios rigidez relativa 
3.1.2.1.1 Vuelo de la zapata 
Cuando una zapata aislada tiene una distribución de presiones que pueda considerarse lineal, se 
puede suponer una zapata rígida, para efectos de cálculo cuando la ecuación (11) se cumpla. 
𝑣 ≤
𝜋
4
√
4𝐸𝑐𝐼𝑐
𝐵𝑘𝑠
4
 
[ EC. 11] 
 
Donde 
25 
 
- v, es el vuelo de la zapata (en cualquier dirección). 
- Ec: módulo de elasticidad del concreto. 
- Ic: inercia de la sección perpendicular al vuelo. 
- B: ancho de la zapata. 
- Ks: módulo de balasto. 
 
Ilustración 3-2. Esquema criterios de rigidez relativa según el vuelo de la 
zapata (vmax). 
Fuente: (Muelas Rodriguez). 
 
 3.1.2.1.2 Criterios de Hetenyi (1946) 
Según Hetenyi las fundaciones se clasifican de la siguiente manera, por su rigidez relativa. 
 
 
 
 
26 
 
Tabla 1. Criterios de rigidez relativa según Hetenyi. 
Fuente: (Delgado Vargas, 2009) 
Intervalo λL Clasificación 
Criterio para la distribución de la presión de 
contacto 
𝜆𝐿 <
𝜋
4
 Rígida Distribución lineal de presión 
𝜋
4
≤ 𝜆𝐿 ≤ 𝜋 Flexibilidad intermedia Se encuentra sobre fundación elástica 
𝜆𝐿 > 𝜋 Flexible Se encuentra sobre fundación elástica 
 
3.1.3 Reglamento NSR-10 
3.1.3.1 Cimentaciones 
Aplicado a zapatas aisladas y cuando sea posible a zapatas combinadas sobre pilotes, losas de 
cimentación, y vigas de amarre. 
3.1.3.2 Cargas y reacciones 
Se debe diseñar para resistir las cargas mayoradas y las reacciones inducidas. 
- Únicamente se necesita transmitir a la zapata los momentos extremos que existen en la base 
de la columna o pedestal. No hay necesidad de considerar el requisito de excentricidad, cuando 
haya consideración de cargas excéntricas el esfuerzo extremo deberá estar dentro de los 
admisibles, así mismo las reacciones. 
- Para realizar el diseño de una zapata por el método de resistencia se debe determinar la 
presión de contacto con el suelo, para zapatas aisladas cargadas concéntricamente la reacción 
del suelo qs será: 
27 
 
𝑞𝑠 = 
𝑈
𝐴𝑓
 [ EC. 12] 
 
Donde U es la carga mayorada y Af es el área de la base de la zapata. 
3.1.3.3 Momento 
El momento externo en cualquier lugar de la zapata se determina pasando un plano vertical y 
calculando el momento de las fuerzas actuantes en el área de la zapata a un lado de dicho plano. 
- El momento último (Mu) se debe calcular así para las secciones críticas localizadas: 
o En la cara de la columna, pedestal o muro. 
o En el punto medio entre el eje central y el muro. 
o En el punto medio entre la cara de la columna y el borde de la platina, para zapatas 
que soporten una columna con platina. 
- En zapatas en una dirección y zapatas cuadradas en 2 direcciones el refuerzo debe 
distribuirse de manera uniforme a lo largo y ancho. 
- En zapatas rectangulares que trabajan en dos direcciones, el refuerzo en la parte larga debe 
ser distribuido de manera uniforme en el ancho total. En la parte corta o base, el refuerzo debe 
colocarse uniformemente sobre una franja centrada con respecto al eje de la columna y de ancho 
igual a la longitud del lado corto. El restante refuerzo se debe ubicar de modo equivalente a 
aquellas partes que estén fuera de la franja considerada. 
3.1.3.4 Diseño a Cortante unidireccional 
La resistencia a cortante de losas y zapatas en cercanía a columnas está regida por lo siguiente: 
28 
 
- Comportamiento como viga: cada sección crítica se extiende en un plano en el ancho total, 
para este comportamiento las losas o zapatas se deben diseñar con la siguiente ecuación [ 
EC. 13]: 
𝜑𝑉𝑛 >= 𝑉𝑢 [ EC. 13] 
 
Donde φ es el coeficiente de reducción de resistencia para cortante, Vn es el valor del 
cortante nominal y Vu es la fuerza cortante última. 
- El cortante nominal será igual a la suma de la resistencia aportada por el concreto Vc y la 
resistencia aportada por el refuerzo transversal Vs., quedando de esta manera: 
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 
[ EC. 14] 
 
- Para determinar Vc se pueden incluir los efectos de tracción axial y los efectos de 
compresión inclinada por flexión en elementos de altura variable. 
- Se permite calcular el máximo Vu en los apoyos cuando se cumplan estas condiciones: 
 La reacción en el apoyo en dirección al cortante aplicado introduce compresión en zonas 
extremas del elemento. 
 Cargas aplicadas en o cerca de la cara superior del elemento. 
 No hay cargas aplicadas entre la cara del apoyo y la sección crítica definida. 
- Se debe calcular Vc: 
 En Elementos sometidos a cortante y flexión de la siguiente manera: 
𝑉𝑐 = 0.17 ∗ 𝜆 ∗ √𝑓´𝑐 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 [ EC. 15] 
 Para elementos sometidos a compresión axial: 
29 
 
𝑉𝑐 = 0.17 +
𝑁𝑢
14 ∗ 𝐴𝑔
𝜆 ∗ √𝑓´𝑐 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 [ EC. 16] 
 
 Para elementos sometidos a tracción axial significativa, Vc debe tomarse como 0 a 
menos que se realice un análisis mucho más detallado. 
- Para calcular Vs: 
 Se permite el refuerzo por cortante en estas formas, estribos perpendiculares al eje del 
elemento, refuerzo electro-soldado de alambres con alambres localizados 
perpendicularmente al eje del elemento, espirales, estribos circulares y estribos 
cerrados de confinamiento. 
 fy y fyt usados para el diseño a cortante no deben exceder 420 MPa, exceptuando el 
refuerzo de alambre corrugado que no debe ser mayor 550 MPa. 
 Los estribos, alambres o barras deben extenderse hasta una distancia d medida desde la 
fibra extrema a compresión y deben desarrollarse en ambos extremos (anclaje). 
 El espaciamiento del refuerzo colocado perpendicularmente al ejedel elemento no debe 
ser mayor a d/2, ni mayor a 600mm. 
 Los estribos inclinados y el refuerzo longitudinal doblado deben estar espaciados de 
manera tal que cada línea de 45 ̊, que se extienda hacia la reacción desde d/2 hasta el 
refuerzo longitudinal de tracción, debe estar cruzada por una o más líneas de refuerzo 
de cortante. 
 Si Vs. es mayor al calculado en la ecuación 17 la separación máxima será d/4. 
𝑉𝑠 = 0.33 ∗ 𝜆 ∗ √𝑓´c ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 [ EC. 17] 
 Si Vu excede a φVc, Vs. debe calcularse de la siguiente manera: 
30 
 
o Donde se utilice refuerzo perpendicular al eje del elemento 
𝑉𝑠 = 
𝐴𝑠 ∗ 𝑓𝑦𝑡 ∗ 𝑑
𝑠
 
[ EC. 18] 
o Donde se utilice refuerzo inclinado, o una serie de barras paralelas dobladas o 
grupos de barras paralelas dobladas a diferentes distancias del apoyo. 
𝑉𝑠 =
𝐴𝑣𝑓𝑦𝑡(𝑠𝑒𝑛⍺ + 𝑐𝑜𝑠⍺)𝑑
𝑠
 
[ EC. 19] 
 
o Si el refuerzo consiste en una barra longitudinal o un solo grupo de barras paralelas 
todas dobladas a la misma distancia del apoyo: 
𝑉𝑠 = 𝐴𝑣 ∗ 𝑓𝑦 ∗ sin𝜙 [ EC. 20] 
 
No mayor a: 
𝑉𝑠 <= 0.25 ∗ 𝜆 ∗ √𝑓´´𝑐 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 [ EC. 21] 
 Solamente ¾ centrales de la porción inclinada de cualquier barra longitudinal doblada 
se puede considerar efectiva. 
 Si se utiliza más de un tipo de refuerzos, para la misma parte de elemento Vs. debe 
calcularse como la suma de los valores calculados. 
 Vs. no debe ser mayor que 0.66√𝑓 ´𝑐bw d. 
 La sección crítica para cortante se mide desde la cara del elemento soportado, menos 
para elementos soportados sobre platinas. 
31 
 
3.1.3.5 Diseño a cortante bidireccional 
Es el efecto que se presenta en la zapata cuando intenta fallar, por una superficie piramidal, 
como respuesta a la carga vertical que le transfiere la columna según el Reglamento de 
Construcción Sismo Resistente NSR-10, titulo 2, numeral C.11.11.1.2. 
El cortante último bidireccional está definido como 
𝑉𝑑𝑢 =
𝑃𝑢
𝐵2
∗ [𝐵2 − (𝑏𝑐 + 𝑑)(𝑙𝑐 + 𝑑)] 
[ EC. 22] 
Donde 
- Pu, es la carga última transferida por la columna. 
- bc: ancho de la columna. 
- lc: largo de la columna. 
- d: distancia desde la fibra más externa a compresión hasta el refuerzo. 
3.1.3.5 Altura mínima de las zapatas: 
Desde el refuerzo inferior no debe ser menor de 150 mm para zapatas apoyadas sobre el suelo, 
no menor de 300 mm para zapatas sobre pilotes. 
3.1.3.6 Transmisión de fuerzas en la base de columnas, muros o pedestales 
Las fuerzas y momentos en la base de columnas, muros y pedestales deben transmitirse a la 
estructura de cimentación a través del concreto (fuerza de compresión) la cual no debe exceder la 
resistencia del concreto al aplastamiento; para un diseño por resistencia se deben tener en cuenta 
los siguientes aspectos: 
32 
 
- El esfuerzo admisible de aplastamiento en el área realmente cargada es de 0.85*φ*f´c 
cuando el área cargada es igual al área sobre la cual se apoya. 
- Si la columna es más pequeña que la zapata, la resistencia al aplastamiento debe verificarse 
en la base de la columna y la resistencia al aplastamiento en la parte superior de la zapata, 
ya que el refuerzo no es efectivo cerca a la base de la columna a no ser que se proporcionen 
pasadores o que el refuerzo de la columna se prolongue hasta dentro de la zapata (la 
resistencia admisible de aplastamiento es 2* 0.85*φ*f´c.). 
El refuerzo debe ser capaz de transmitir toda la fuerza de compresión que exceda la 
resistencia al aplastamiento de concreto de igual manera que todas las fuerzas de tracción, 
el refuerzo puede ser mediante pasadores o conectores mecánicos. 
- Las fuerzas laterales deben ser transmitidas a la zapata mediante cortante por fricción. 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
3.2 Marco Conceptual 
3.2.1 Interacción Suelo – Estructura 
Según Manuel Delgado en su libro Notas, Interacción suelo estructura: “Las deflexiones y 
rigidez de un elemento estructural de fundación, la distribución de presiones en el contacto 
fundación suelo, y las deformaciones del suelo de soporte están vinculadas en una condición de 
interdependencia de efectos que se acostumbra denominar interacción suelo-estructura”. Se adopta 
este concepto por ser claro y conciso, y dar una idea detallada de este fenómeno tan importante. 
3.2.2 Java 
Es el lenguaje de programación en el que se trabajará para desarrollar el algoritmo de diseño de 
cimentaciones, es sencillo y útil, definido por Oracle Corporation como: “un lenguaje de 
programación y una plataforma informática rápida, segura y fiable. Desde portátiles hasta centros 
de datos, desde consolas para juegos hasta súper computadoras, desde teléfonos móviles hasta 
Internet, Java está en todas partes”. 
 
 
 
 
 
 
34 
 
4. Metodología 
Las siguientes numerales 4.1 y 4.2 explican en detalle los datos utilizados para las 
modelaciones, (135 modelaciones variando altura de cimiento, resistencia especificada a la 
compresión del concreto, carga axial y capacidad portante del suelo) en la herramienta de cálculo 
(programa). 
4.1 Variables 
4.1.1 Suelo: 
Se trabajó con suelos cohesivos, para los cuales se tomó 3 valores de capacidad portante propias 
de estos, con sus respectivos parámetros módulo de balasto y módulo de elasticidad como se 
muestra en la Tabla 2. 
Tabla 2. Valores de capacidad portante, módulo de deformación, y coeficiente de balastro para suelos netamente 
cohesivos. 
Fuente: (Garcia Valcarcel & Sacristan Fernandez, 2000) 
 
Terrenos coherentes qu (KN/m2) Módulo 
de deformación 
(KN/m2) 
Coeficiente de 
balastro placa de 30x30 
(KN/m3) 
Arcilla blanda 49.03 2750 9750 
Arcilla media 49.03 6000 26500 
Arcilla compacta 49.03 13500 60000 
 
Puesto que para el módulo de deformación y el coeficiente de balasto los valores se presentaban 
como un rango, se promediaron obteniendo un valor medio para las modelaciones. En el 
35 
Anexo A se presenta la tabla completa. 
4.1.2 Rigidez de la zapata 
Ya que la rigidez relativa varía según la altura de la zapata se trabajó con diferentes alturas de 
esta (Tabla 3). 
Tabla 3. Alturas escogidas de cimiento para las modelaciones. 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
 
Alturas de cimiento 
escogidas para las 
iteraciones 
L/10 
L/8 
L/6 
L/4 
L/3 
 
De la misma forma la rigidez de la zapata cambia según el módulo de elasticidad del material 
utilizado, se escogió como material concreto y se varió su resistencia especificada a la compresión, 
variando así su módulo de elasticidad. 
El módulo de elasticidad del concreto se calculó con base en la ecuación 23, obtenida del 
Reglamento de Construcción Sismo Resistente NSR-10, tomo 2, capítulo C.8, numeral C.8.5. 
𝐸𝑐 = 3900√𝑓´𝑐 [ EC. 23] 
 
 Los valores utilizados de resistencia especificada a la compresión y módulo de elasticidad del 
concreto para las modelaciones se pueden observar en la tabla 4. 
 
36 
Tabla 4. Resistencia especificada a la compresión y módulo de elasticidad del concreto. 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
 
Resistencia especificada a la compresión del 
concreto (MPa) 
Módulo de elasticidad (KPa) 
21 17872000 
28 20636860 
35 23072711 
 
4.1.3 Cargas 
Se realizaron evaluaciones de carga a diferentes proyectos en los cuales se utilizarán zapatas 
aisladas (Anexo B), de las evaluaciones realizadas a los proyectos se tomaron valores medios de 
carga, y se compararon con las cargas máximas de servicio en columnas descritas en el Reglamento 
de Construcción Sismo Resistente NSR-10, título H, numeral H.3.2.1, con el fin de estar en el 
rango descrito en este. Si el valor medio de la carga obtenido de las evaluaciones (Anexo B) no se 
encontraba dentro del rango descrito en reglamento (Anexo C) se procedió a tomar el menor valor 
del rango, teniendo en cuenta que en los valores descritos en este son valores de carga máxima en 
columnas. 
A continuación, se describen los valores de carga utilizados para las modelaciones () 
Tabla 5) 
Tabla5. Cargas utilizadas en las modelaciones. 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
 
Nivel de carga Carga vertical (Pr) 
Nivel 1: edificaciones de 1 -3 pisos 320 KN 
Nivel 2: edificaciones 4-11 pisos 801 KN 
37 
Nivel 3: edificaciones 11-20 pisos 4001 KN 
4.2 Parámetros fijos 
4.2.1 Acero de refuerzo 
4.2.1.1 Resistencia a la fluencia 
La resistencia a la fluencia fy se escogió con base en la Norma Técnica Colombiana NTC 2289, 
en la cual se toma como resistencia mínima 60000 Psi o 420 MPa. 
4.2.1.2 Módulo de elasticidad 
 El módulo de elasticidad del acero (Es) se escogió con base al Reglamento de Construcción 
Sismo Resistente NSR-10, tomo 2, numeral C.8.5.2 en el cual se toma como 200000 MPa 
(200000000 KPa). 
4.2.2 Recubrimiento 
El recubrimiento se asumió de 75mm (0.075m) medido desde la superficie del concreto hasta 
la superficie exterior del acero. Tomado del reglamento colombiano de construcción sismo 
resistente NSR-10, Tomo 2, numeral c.7.7.1(a). 
4.2.3Dimensiones de la columna 
Las dimensiones de la columna se asumieron de 250mm (0.25m) siendo esta una columna 
cuadrada. Tomado del reglamento colombiano de construcción sismo resistente NSR-10, Tomo 2, 
numeral c.10.8.1. 
4.2.4Factor de modificación (lambda) 
El factor de modificación de las propiedades mecánicas del concreto (lambda) se toma como 1 
ya que el concreto utilizado para las modelaciones es concreto de peso normal. Tomado del 
reglamento colombiano de construcción sismo resistente NSR-10, Tomo 2, numeral c.8.6.1. 
38 
4.2.5Peso específico del concreto 
El peso específico del concreto se tomó como 24 KN/m3 (concreto de peso normal), teniendo 
como referencia el Reglamento de Construcción Sismo Resistente NSR-10, Tomo 2, numeral 
C.2.2. 
4.3 Dimensionamiento 
Una de las partes más importantes en el cálculo de una cimentación de una estructura es su 
dimensionamiento, puesto que si su cálculo se realiza de manera adecuada permitirá que la zapata 
transmita los esfuerzos realizados por la edificación hacía el suelo sin ningún problema. Debido a 
esto se puso especial atención a este proceso para obtener dimensiones idóneas en nuestros diseños. 
La capacidad portante del suelo es un dato imprescindible a la hora de realizar el 
dimensionamiento de cualquier cimentación, sin embargo el usuario no siempre contará con un 
ábaco de capacidades portantes, en consecuencia se da la opción de elegir, si desea insertar una 
tabla de capacidades portantes con 8 bases en seis diferentes relaciones de forma (1, 0.9, 0.8, 0.7, 
0.6 y 0.5) o solamente una capacidad portante, la información de este ábaco se asume como una 
matriz de 8x6 (llamada Cp) y en el caso de las 8 bases como un vector con un tamaño de 8 campos. 
Debido a que en las modelaciones se utilizaron valores únicos de capacidades portantes, y no se 
contaba con información acerca de restricciones de espacio las zapatas diseñadas se asumieron con 
relación de forma 1, diseñando únicamente zapatas cuadradas. 
Nota: El dimensionamiento de zapatas rectangulares, con ábaco de capacidades portantes y 
limitaciones de espacio se describe en el (Anexo D). 
A continuación, se muestra la metodología planteada para el dimensionamiento: 
1. Inicialmente se realizó el cálculo del área de la zapata con la siguiente expresión [ EC. 24]: 
39 
𝐴0 = 𝑃/𝐶𝑝 [ EC. 24] 
 Donde: 
- A0, es el área inicial. 
- P, es la carga axial que la columna transmite a la zapata. 
- Cp, es la única capacidad portante que ingresa el usuario. 
 
2. Cálculo de una dimensión del cimiento, como se muestra a continuación [ EC. 25]: 
 
𝐿0 = √𝐴0 [ EC. 25] 
Debido a que no hay limitación de espacio B0 y L0 serán iguales. 
3. Cálculo de la relación de forma, como se muestra continuación [ EC. 26]: 
𝑟 =
𝐵0
𝐿0
 
[ EC. 26] 
4. Se procedió a obtener la altura de la zapata: 
𝐻 =
𝐿0
6
 
[ EC. 27] 
Nota: Debido a la variación de alturas propuestas para las modelaciones en el capítulo 4, 
numeral 4.1.2, y para dar cumplimiento a los objetivos de este proyecto se modificó el 
seudocódigo en esta parte con las alturas antes descritas en la (Tabla 3). 
5. Corrección de la capacidad portante: 
Con la capacidad portante provista por el usuario se procede a corregirla con la siguiente 
expresión [ EC. 28]: 
40 
𝑞𝑏 = 𝐶𝑝 − (µ ∗ 𝑑) − 𝑞𝑙 − 𝑞𝑑 
[ EC. 28] 
 Donde: 
- qb, es la capacidad portante corregida. 
- µ, es el peso específico del suelo (𝐾𝑁/𝑚3). 
- d, es el desplante de la zapata. 
- ql, es la carga viva aplicada en la zapata (𝐾𝑁/𝑚2). 
- qd, es la carga muerta aplicada en la zapata (𝐾𝑁/𝑚2). 
Nota: Debido a que no se tiene información de las cargas ql ni qd para las modelaciones, 
se asumieron con un valor de 0. 
6. Con la capacidad portante corregida (punto 5), se calculó nuevamente el área (A1): 
𝐴1 =
𝑃
𝑞𝑏
 
[ EC. 29] 
7. Con el área anterior (A1) se procedió a calcular una dimensión de la zapata, de la 
siguiente manera: 
𝐿1 = √𝐴1 [ EC. 30] 
Debido a que no hay limitación de espacio B1 y L1 serán iguales. 
8. Verificación de las dimensiones obtenidas: 
Para verificar que el diseño haya quedado con valores tolerables se estableció que no debía 
haber un error mayor al 5% entre B1 y 𝐿1, por medio de la siguiente ecuación: 
41 
 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟𝑐 =∥
𝐵0−𝐿1
𝐵0
∗ 100 ∥ 
[ EC. 31] 
 Donde: 
- errorc= error en el diseño de la zapata cuadrada. 
En el caso en el que el error sea mayor al 5%, el programa repetirá el ciclo, estableciendo 
como valores iniciales A1 y L1 como se muestra a continuación: 
 𝐴0 = 𝐴1 [ EC. 32] 
 𝐿0 = 𝐿1 [ EC. 33] 
4.4 Método de Winkler 
El método de Winkler es uno de los tantos usados para hallar los esfuerzos que se efectúan bajo 
las estructuras de cimentación, teniendo en cuenta la rigidez relativa del conjunto y la rigidez de 
cada uno de los elementos que lo integran, gracias a ello es posible obtener las fuerzas de diseño. 
Por esta razón se escogió este para la modelación de estructuras de cimentación (zapatas aisladas) 
en este proyecto, permitiéndonos establecer una relación entre las fuerzas de diseño y la rigidez 
relativa del conjunto. 
Una de las primeras consideraciones que se debió establecer fue el número de divisiones de la 
estructura de cimentación, para lo cual se propuso trabajar con 6 divisiones, generando 7 nodos 
(Ilustración 4-1). 
42 
 
 
Ilustración 4-1. Divisiones propuestas para las zapatas en el Método de 
Winkler. 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
 
A continuación, se muestra la metodología planteada para el desarrollo del método de Winkler: 
1. Cálculo de la longitud equivalente de la siguiente manera: 
 𝐿𝑒 =
𝐿
𝑛𝑜𝑑𝑜𝑠−1
 
[ EC. 34] 
 Donde: 
- Le, es la longitud equivalente. 
- L, es la longitud de la zapata (la mayor dimensión). 
2. Cálculo de la inercia de la estructura: 
 𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 = 
𝐵∗𝐻3
12
 
[ EC. 35] 
3. Cálculo de la carga del terreno aplicada sobre la zapata: 
 𝐶 = (𝑑 − 𝐻) ∗ µ ∗ 1𝑚 
[ EC. 36] 
 Donde: 
43 
- C, es la fuerza distribuida aplicada por el terreno sobre la zapata. 
- d, es el desplante de la zapata. 
- µ, es el peso específico del suelo. 
 
4. Cálculo de las áreas respectivas de cada nodo: 
- Para el primer y último nodo las áreas se calcularon así: 
𝐴[1 𝑦 7] = 
𝐿𝑒
2
∗ 𝐵 [ EC. 37] 
- Para el resto de nodos (nodos intermedios), el área se calculó de la siguiente manera: 
 𝐴[𝑖] = 𝐿𝑒 ∗ 𝐵 
[ EC. 38] 
5. Cálculo de las reacciones 𝑄[𝑖] concentradas en los nodos, con la ecuación 39: 
 𝑄[𝑖] = 𝑞[𝑖] ∗ 𝐴[𝑖] 
[ EC. 39] 
 Donde: 
- Q[i], es la reacción generada por el suelo debido a la carga transmitida por la zapata. 
- q[i], es la presión que ejerce el suelo a la zapata en cada nodo, además 𝑞[𝑖], se puede 
expresar de la siguiente manera [ EC. 40], debido a que en cada uno de los nodos las 
presiones son proporcionales al módulo de balasto. 
 𝑞[𝑖] = 𝐾𝑠 ∗ 𝑌[𝑖] 
[ EC. 40] 
 Donde:o 𝑌[𝑖], son las deflexiones resultantes en cada uno de los nodos. 
44 
 De acuerdo con la ecuación 40 [ EC. 40], se reescribe la ecuación 39 [ EC. 39] de 
 la siguiente manera: 
 𝑄[𝑖] = 𝐾𝑠 ∗ 𝐴[𝑖] ∗ 𝑌[𝑖] 
[ EC. 41] 
Nota: Para el primer y último nodo las reacciones se calcularon con la ecuación 42 [ 
EC. 42], debido a que en los bordes se duplica el módulo de reacción del suelo como lo 
expresa Delgado, en su libro Interacción suelo-estructura, sección 3.5. 
 𝑄[1 𝑦 7] = 2𝐾𝑠 ∗ 𝐴[1 𝑦 7] ∗ 𝑌[1 𝑦 7] 
[ EC. 42] 
6. Formación de la matriz 
Las cargas aplicadas y las reacciones Q[i] constituyen un sistema de fuerzas en equilibrio, 
por lo tanto, los momentos flectores correspondientes deben satisfacer la siguiente ecuación 
para miembros a flexión: 
−𝑀 = 𝐸𝐼
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 
[ EC. 43] 
Si la segunda derivada se reemplaza por una expresión aproximada en función de 
diferencias finitas, para el nodo 2 se obtiene: 
−𝑀 = 𝐸𝐼(
𝑌1−2𝑌2+𝑌3
𝐿𝑒
2 ) 
[ EC. 44] 
 Donde: 
- Y1, es la deflexión en el nodo 1. 
- Y2, es la deflexión en el nodo 2. 
- Y3, es la deflexión en el nodo 3. 
45 
 
Ilustración 4-2. Zapata ejemplo método de Winkler. 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
 
 Resolviendo la [ EC. 44] para el nodo 2, de una zapata (Ilustración 4-2) se obtendría: 
𝐿𝑒 ∗ 𝑄[1] −
𝐶∗𝐿𝑒
2
2
= −(
𝐸𝐼
𝐿𝑒
2) ∗ (𝑌1 − 2𝑌2 + 𝑌3) [ EC. 45] 
𝐿𝑒∗𝑄[1]−
𝐶∗𝐿𝑒
2
2
𝐸𝐼
𝐿𝑒
2
= −(𝑌1 − 2𝑌2 + 𝑌3) [ EC. 46] 
 Conociendo 𝑄[1] = 2𝐾𝑠 ∗ 𝐴[1] ∗ 𝑌[1], reemplazando en la [ EC. 46] obtendríamos: 
 
𝐿𝑒∗(2𝐾𝑠∗𝐴[1]∗𝑌1)−
𝐶∗𝐿𝑒
2
2
𝐸𝐼
𝐿𝑒
2
= −(𝑌1 − 2𝑌2 + 𝑌3) [ EC. 47] 
Así mismo se realiza el procedimiento para resolver la [ EC. 43] en los demás nodos a 
excepción del primer y séptimo nodo, formando una un sistema de ecuaciones. 
Ejemplo para la zapata de la Ilustración 4-2: 
- Peso específico del suelo: 18KN/𝑚2 
46 
- E=20000MN/𝑚2 
- Le=1. 
- 𝐾𝑠=3MN/𝑚
3. 
- 𝐴[1]=1.5𝑚
2. 
- 𝐴[2]=3 𝑚
2. 
- EI / (𝐿𝑒2) = 625/1= 625 
- C=16 KN/m. 
- P=1000KN. 
- M=0. 
 Al reemplazar los datos en la [ EC. 47] para el nodo 2 obtendremos: 
9𝑌1−8
625
= −(𝑌1 − 2𝑌2 + 𝑌3) [ EC. 48] 
0.0144𝑌1 − 0.0128 = −(𝑌1 − 2𝑌2 + 𝑌3) [ EC. 49] 
1.0144𝑌1 − 2𝑌2 + 𝑌3 = 0.0128 [ EC. 50] 
 Ahora, resolviendo la ecuación general [ EC. 44] para el nodo 3 se obtuvo: 
2𝐿𝑒 ∗ 𝑄[1] + 𝐿𝑒 ∗ 𝑄[2] −
𝐶∗(2𝐿𝑒)
2
2
= −(
𝐸𝐼
𝐿𝑒
2) ∗ (𝑌2 − 2𝑌3 + 𝑌4) [ EC. 51] 
 Donde Q[2] se reemplaza con la [ EC. 41] y Q[1] con la [ EC. 42], así se obtiene: 
2𝐿𝑒 ∗ 2𝐾𝑠 ∗ 𝐴[1] ∗ 𝑌1 + 𝐿𝑒 ∗ 𝐾𝑠 ∗ 𝐴[2] ∗ 𝑌2 −
𝐶∗(2𝐿𝑒)
2
2
= −(
𝐸𝐼
𝐿𝑒
2) ∗ (𝑌2 − 2𝑌3 + 𝑌4) [ EC. 52] 
 Reemplazando los valores se obtiene: 
47 
18𝑌1+9𝑌2−32
625
= −(𝑌2 − 2𝑌3 + 𝑌4) [ EC. 53] 
0.0288𝑌1 + 0.0144𝑌2 − 0.0512 = −(𝑌2 − 2𝑌3 + 𝑌4) [ EC. 54] 
0.0288𝑌1 + 1.0144𝑌2 − 2𝑌3 + 𝑌4 = 0.0512 [ EC. 55] 
Debido a que se requirieron 7 ecuaciones para hallar las 7 deflexiones ubicadas en los nodos 
de la zapata fue necesario plantear 2 ecuaciones más. La primera considera el equilibrio de 
momentos en el nodo 7 y la segunda ecuación considera el equilibrio de las fuerzas 
verticales en la estructura de cimentación. 
 El anterior sistema de ecuaciones se puede representar en una matriz de la siguiente 
 manera: 
Tabla 6. Matriz formada con el sistema de ecuaciones anteriormente explicado. 
Fuente: Elaboración propia de los autores. 
 
1,0144 -2 1 0 0 0 0 Y1 0,0128
0,0288 1,0144 -2 1 0 0 0 Y2 0,0512
0,0432 0,0288 1,0144 -2 1 0 0 Y3 0,1152
0,0576 0,0432 0,0288 1,0144 -2 1 0 Y4 = 1,8048
0,072 0,0576 0,0432 0,0288 1,0144 -2 1 Y5 3,519968
54 45 36 27 18 9 0 Y6 3287,97
9 9 9 9 9 9 9 Y7 1095,99
−𝑀 = 𝐸𝐼
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
 𝑀 = 0
 
 𝑉 = 0
 
 
7. Solución del sistema de ecuaciones (Tabla 6) por el método de Gauss, obteniendo las 
deflexiones (y) en cada nodo. 
48 
 
Ilustración 4-3. Resortes en cada uno de los nodos donde se 
calculan las deflexiones y. 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
 
8. Cálculo de reacciones Q[i] [ EC. 41] y [ EC. 42], cálculo de presiones de contacto q [ EC. 
40]. 
Nota: este procedimiento se realiza para la otra dimensión de la zapata, en caso de que en 
la zapata haya un momento aplicado se realiza el método anteriormente explicado de la 
siguiente manera: 
-Análisis en L con la acción de momento. 
-Análisis en B con la acción de momento. 
9. Cálculo de puntos del diagrama de cortante y momentos: 
Una vez obtenidas las presiones de contacto en cada nodo se procede al cálculo de las 
fuerzas internas desarrolladas en la zapata en cada una de las dimensiones (L y B). 
Con las presiones de contacto (𝑞[𝑖]), procedemos a calcular la reacción por unidad de 
longitud (Ilustración 4-4), multiplicando 𝑞[𝑖] por el ancho de la zapata. 
49 
 𝑞𝐿[𝑖] = 𝑞[𝑖] ∗ 𝐵 [ EC. 56] 
 
 Donde: 
- 𝑞𝐿[𝑖], es la presión lineal a lo largo de la zapata (KN/m). 
 
Ilustración 4-4. Presión lineal de contacto en cada uno de los nodos. 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
 
Una vez calculadas las reacciones por unidad de longitud, se calculó el diagrama de fuerzas 
cortantes y momentos en los siguientes puntos: 
 Le/2. 
 3Le/2. 
 5Le/2. 
 3Le (sin tener en cuenta la carga puntual aplicada sobre la zapata). 
 3Le (al tener en cuenta la carga puntual aplicada sobre la zapata). 
 7Le/2. 
 9Le/2. 
50 
 11Le/2. 
 6Le. 
A continuación, se mostrarán las reacciones por unidad de longitud obtenidas por el método 
de Winkler en un ejemplo. 
Tabla 7. Reacciones por unidad de longitud en cada nodo, correspondiente a la Ilustración 4-4. 
 Fuente: Elaboración propia del autor. 
 
Nodo qL(KN/m)
1 148,62 Le(m) 0,608
2 75,05 P(KN) 320
3 75,66 M(KNm) 0
4 75,98
5 75,66
6 75,05
7 148,62 
Ejemplo: Punto 1 (Le/2) en el diagrama de fuerzas cortantes con las reacciones de la Tabla 
7. 
𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (
𝐿𝑒
2
) = 𝑞𝐿(1) ∗ (
𝑙𝑒
2
) [ EC. 57] 
 
𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (
𝐿𝑒
2
) = 148.62 ∗ (
0.60
2
) , 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (
𝑙𝑒
2
) = 45.2 [ EC. 58] 
 
 Ejemplo: Punto 1 (Le/2) en el diagrama de momentos 
𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 (
𝑙𝑒
2
) = 
(
𝑙𝑒
2) ∗ 𝑐𝑜𝑒𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 (
𝑙𝑒
2)
2
 
[ EC. 59] 
 
𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 (
𝑙𝑒
2
) = 
(
0.6
2
)∗45.2
2
 , 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 (
𝑙𝑒
2
) = 6.78 
[ EC. 60] 
 
51 
De la misma manera se calculan los demás puntos del diagrama de fuerzas cortantes y 
momentos para el resto de la zapata (Ilustración 4-5). 
 
Ilustración 4-5. Diagramas de cortante y momento, obtenida de los datos de la tabla 7. 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
 
 
Nota: Este proceso se repite para el ancho de la zapata con las reacciones por unidades de 
longitud (𝑞𝐿[𝑖]) correspondientes a esta dimensión. 
52 
4.5 Cálculo de fuerzas de diseño 
4.5.1 Cortante último 
Para obtener el cortante último se debe tener en cuenta que este es evaluado, a una distancia d 
de la cara de la columna o pedestal donde se localiza una sección critica que se extiende en un 
plano a través del ancho total según el Reglamento de Construcción Sismo Resistente NSR-10, 
Tomo 2, numeral C.11.11.1.1. Teniendo en cuenta esto, el cortante último se determinó de la 
siguiente manera: 
1. Cálculo de brazos para cada reacción: 
Para cada una de las reacciones entre nodos, se determinó la distancia en la que se 
encontraba, tomando como referencia la fuerza aplicada en la columna (Ilustración 4-6). 
 
Ilustración 4-6. Reacciones entre nodos y distancia desde el punto de aplicación de la fuerza (brazo). 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
53 
 Siendo: 
- Brazo 1: Le/2. 
- Brazo 2: 1.5Le. 
- Brazo 3: 2.5Le. 
2. Cálculo del cortante último: 
- Si d<Brazo 1 entonces: 
𝑉𝑢 = 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑖ó𝑛 [4] + 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑖ó𝑛 [5] + 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑖ó𝑛 [6] 
[ EC. 61] 
- Si el Brazo 1 < d y d< Brazo 2 entonces: 
𝑣𝑢 = 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑖ó𝑛[5] + 𝑟𝑒𝑎𝑐𝑖ó𝑛[6]+ (𝑟𝑒𝑎𝑐𝑖ó𝑛[4] ∗
(𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜[2]−𝑑)
(𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜𝑙[2]−𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜𝑙[1])
) 
[ EC. 62] 
- Si el Brazo [2]<d y d<Brazo [3] entonces: 
𝑣𝑢 = 𝑟𝑟𝑒𝑎𝑐𝑖ó𝑛[6] + (𝑟𝑒𝑎𝑐𝑖ó𝑛[5] ∗
(𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜[3]−𝑑)
(𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜𝑙[3]−𝑏𝑟𝑎𝑧𝑜𝑙[2])
) [ EC. 63] 
Nota: este procedimiento se realiza tanto para la sección critica localizada a la derecha de 
la cara del pedestal o muro y la sección critica localizada a la izquierda de la cara del 
pedestal o muro en cada una de las dimensiones, teniendo dos valores de cortante último 
escogemos el mayor. 
4.5.2 Momento último 
Para obtener el momento último se debe tener en cuenta que este es evaluado, en la cara del 
pedestal o muro donde se localiza una sección critica que se extiende en un plano a través del 
54 
ancho total. Teniendo en cuenta esto el momento último se determinó como el valor del diagrama 
de momentos en la cara de la columna. 
4.6 Diseño 
4.6.1 Diseño a flexión 
1. Determinación de momento nominal 
Con los momentos últimos determinados en la sección 4.5.2 Momento último se calculó el 
momento nominal como: 
𝑀𝑛 =
𝑀𝑢
𝜙
 
[ EC. 64] 
 Donde: 
- Φ es el coeficiente de reducción de resistencia para elementos solicitados a flexión que 
de acuerdo con el numeral C.9.3.2 del reglamento NSR-10 tiene un valor de 0.90. 
2. Cálculo de cuantía: 
La cuantía se determinó despejando la [ EC. 65]. 
𝑀𝑛 = 𝜌 ∗ 𝑓𝑦 ∗ (1 − 0.59𝜌
𝑓𝑦
𝑓´𝑐
)𝑏𝑤𝑑
2 [ EC. 65] 
 
Donde: 
- ρ, es la cuantía. 
- bw, es la base. 
- d, es la distancia desde la fibra más externa a compresión hasta el refuerzo. 
- fy, es la resistencia especificada a la fluencia del acero. 
55 
- f¨c, es la resistencia especificada la compresión del concreto. 
La solución de la ecuación arroja dos valores de cuantía, los cuales se compararon y se tomó 
el menor de estos. El valor escogido debe estar en el intervalo fijo entre la cuantía mínima 
[ EC. 67] y la cuantía máxima [ EC. 66], si el valor obtenido de la [ EC. 65] está por encima 
de la cuantía máxima la cuantía escogida será igual a esta, y si está por debajo de la cuantía 
mínima la cuantía será igual a esta. 
𝜌𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 = 0.85 ∗ 𝛽 ∗
𝑓´𝑐
𝑓𝑦
∗
3
7
 
[ EC. 66] 
Donde: 
-β, es igual a 0.85 si f´c está entre 17MPa y 28MPa o es igual a 0.85 −
0.05
7
(𝑓´𝑐 − 28) si f´c 
es mayor a 28 MPa. 
𝜌𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑎 = 0.018 [ EC. 67] 
Nota: La cuantía mínima para zapatas [ EC. 67] se asumió según el Reglamento de 
Construcción Sismo Resistente NSR-10, tomo 2, numeral C.7.12.2.1. 
3. Cálculo de área de acero de refuerzo a flexión [ EC. 68]: 
𝐴𝑠 = 𝜌𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑖𝑑𝑜 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 [ EC. 68] 
4. Cálculo de cantidad de barras [ EC. 69]: 
𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 =
𝐴𝑠
𝑎𝑏
 [ EC. 69] 
Donde: 
56 
-ab, es el área de la barra escogida para el diseño. 
5. Cálculo de espaciamiento entre barras: 
 - Si el diámetro de la barra < 25mm, entonces el espaciamiento será de 25mm. 
 - Si el diámetro de la barra > a 25mm entonces el espaciamiento será el diámetro de la barra. 
6. Cálculo de filas 
Para el cálculo de filas se utilizaron los valores de espaciamiento (punto 5), cantidad de 
barras (punto 4), recubrimiento y la magnitud de la dimensión en el que será distribuido el 
refuerzo, en este caso B. 
Si la condición de la ecuación 70 se cumple solo habrá una fila de barras distribuidas en la 
dimensión B. 
(# 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 ∗ 𝑑𝑏) + ((# 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 − 1) ∗ 𝑠) + (2 ∗ 𝑟) < 𝐵 
[ EC. 70] 
 Donde: 
 -db, es el diámetro de la barra utilizada. 
 -r, es el recubrimiento. 
 -#barras, es la cantidad de barras requeridas. 
 -s, es el espaciamiento entre barras. 
Si la condición de la ecuación 70 no se cumple se calcula el espacio disponible para la 
colocación del refuerzo [ EC. 71] y la cantidad de barras que caben en este [ EC. 72]. 
57 
𝐸𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒 = 𝐵 − 2𝑟 #𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑐𝑎𝑏𝑒𝑛 =
𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒
𝑑𝑏∗𝑠
 
[ EC. 71] 
#𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑐𝑎𝑏𝑒𝑛 =
𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒
𝑑𝑏 ∗ 𝑠
 
[ EC. 72] 
Con estos datos, se calcula el número de filas necesarias para la distribución del refuerzo 
como la cantidad de barras (punto 4) sobre la cantidad de barras que caben en la dimensión 
escogida. 
Nota: Se hace el mismo procedimiento para la otra dimensión. 
4.6.2Diseño a cortante unidireccional 
1. Determinación del cortante nominal 
Con el cortante último determinado en la sección 4.5.1 se calculó el cortante nominal 
como: 
𝑉𝑛 =
𝑉𝑢
𝜙
 
[ EC. 73] 
 Donde: 
- Φ es el coeficiente de reducción de resistencia para cortante que de acuerdo con el 
numeral C.9.3.2.3 del reglamento NSR-10 tiene un valor de 0.75. 
Recordando que la resistencia nominal a cortante se calcula como la suma de las 
resistencias aportadas por el concreto y el acero de refuerzo transversal [ EC. 74], se 
procede a calcularlas de la siguiente manera: 
𝑉𝑛 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠 [ EC. 74] 
58 
2. Cálculo de la resistencia del concreto a cortante en zapatas [ EC. 75] de acuerdo al 
Reglamento de Construcción Sismo Resistente NSR-10, Tomo 2, numeral C.11.2.1.1): 
𝑉𝑐 = 0.17 ∗ 𝜆 ∗ √𝑓´𝑐 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 [ EC. 75] 
Donde 
- λ, es el factor modificación de las propiedades mecánicas del concreto. 
-bw, corresponde a la base. 
-d, es la distancia de la fibra más externa a compresión hasta el refuerzo. 
Nota: Si Vc es mayor a Vn la zapata no necesita refuerzo transversal. 
3. Cálculo de la resistencia a la fuerza cortante aportada por el refuerzo (Vs): 
- Cálculo de la separación del refuerzo transversal [ EC. 76]: 
𝑆 =
𝑑 ∗ 𝐴𝑣 ∗ 𝑓𝑦
𝑉𝑛 − 𝑉𝑐
 [ EC. 76] 
Dónde: Av es el área de refuerzo a cortante definida como 𝐴𝑣 = 𝑚 ∗ 𝐴𝑏𝑡, donde m es 
el número de ramas paralelas a la fuerza cortante que atraviesan la fisura en una sección 
transversal, y Abt es el área de la barra de refuerzo transversal. 
- Calculo de Vs: 
𝑉𝑠 =
𝑑 ∗ 𝐴𝑣 ∗ 𝑓𝑦
𝑆
 
[ EC. 77] 
 Para el valor de Vs hallado con la [ EC. 77], se verificaron las siguientes condiciones: 
- Máxima resistencia del refuerzo a cortante [ EC. 78]: 
59 
𝑉𝑠 ≤ 0.66√𝑓𝑐 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 [ EC. 78] 
- Separación máxima del refuerzo a cortante [ EC. 79]: 
𝑉𝑠 = 0.33 ∗ √𝑓𝑐 ∗ 𝑏𝑤 ∗ 𝑑 [ EC. 79] 
Si el valor de Vs calculado con la ecuación 79 excede el Vs calculado con la 
ecuación 77 la separación será d/4, si es menor la separación será d/2, con estos 
nuevos valores de separación se repite el procedimiento desde el punto 3. 
4.6.3 Diseño a cortante bidireccional 
1. Cálculo del cortante último bidireccional con la ecuación 22 [ EC. 22]. 
2. Para verificar que la zapata no falle por corte bidireccional, se define una superficie de falla 
perpendicular al plano de la zapata la cual está localizado a una distancia d/2 de la cara de 
la columna hacia todas las direcciones (Ilustración 4-7). 
 
Ilustración 4-7. Sección critica para cortante bidireccional. 
Fuente: (Garza Vasquez) 
 
60 
Con la superficie de falla definida se verificó que el cortante último bidireccional, cumpla 
con las siguientes condiciones: 
𝑉𝑢𝑑 <
{
 
 
 
 0.017 ∗ 𝜙 ∗ (1 +
2
𝛽
) ∗ 𝜆 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑
0.083 ∗ 𝜙 ∗ (
𝛼𝑠
𝑏0
+ 2) ∗ 𝜆 ∗ √𝑓´𝑐 ∗ 𝑏 ∗ 𝑑
0.33 ∗ 𝜙 ∗ 𝜆 ∗ √𝑓´𝑐 ∗ 𝑏0 ∗ 𝑑
 [ EC. 80] 
 
Donde 
- Φ, es el coeficiente de reducción de resistencia a cortante 0.75. 
- αs: factor que depende de la posición de la columna en la zapata. En este caso, las 
columnas estaban dentro de la zapata (concéntricas); por esta razón, el valor que se 
toma para este parámetro es de 40, según el Reglamento de Construcción Sismo 
Resistente NSR-10, Tomo 2, numeral C.11.11.2.1. 
- b0, es el perímetro de la sección critica 𝑏0 = 2(𝑏𝑐 + 𝑑 + 𝑙𝑐 + 𝑑). 
- β, es la relación entre el lado largo y el lado corto de la columna. 
4.7 Rigidez relativa 
Para medir la rigidez relativa se emplearon los criterios descritos en el tomo 3, numeral 3.1.2.1 
Criterios rigidez relativa del presente documento, de la siguiente manera: 
1.Rigidez relativa en términos generales como: 
o Criterio general de rigidez relativa [ EC. 3]. 
o Rigidez de la estructura de cimentación (𝐸𝑒 ∗ 𝐼𝑒). 
o Rigidez del suelo (𝐸𝑠 ∗ 𝐵). 
2. Parámetro λ [ EC. 10]. 
61 
3. Parámetro vuelo de la zapata [ EC. 11]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
62 
5. Resultados 
Nota: al obtener los momentos y cortantes últimos (Mu y Vu, respectivamente) de las 
modelaciones propuestas inicialmente y plasmar los datos en gráficas no se pudo observar 
adecuadamente los resultados, por lo cual, se decidió tener un momento y un cortante de control 
para cada modelación, con el fin de dividir cada Mu y Vu para apreciar mejor los resultados que 
se plasmaran en gráficas. 
El momento de control se calculó de a siguiente manera: 
𝑀𝑜(𝐾𝑁𝑚) =
𝑝 ∗ (𝐿 − 𝑙𝑐)2
2𝐵
 
 
[ EC. 81] 
 
Donde: 
-Mo, corresponde al momento de control 
- P, es carga aplicada sobre la zapata. 
-L, es la dimensión más larga de a zapata. 
-lc, es el ancho de la columna. 
-B, es el ancho de a zapata. 
El cortante de control (Vo) se obtuvo del diagrama de cortante (a ejemplo Ilustración 3-1) 
correspondiente a cada modelación de la zapata, en la cara de la columna de esta. 
63 
A continuación, se ilustra un ejemplo para obtener el momento de control, para una zapata con 
una relación de altura de L/10 y una carga aplicada de 320KN en un suelo con una elasticidad de 
2750KN/m2, la cual tiene las siguientes dimensiones: 
L y B=2.6m. 
H=0.26m 
Lc=0.25m 
𝑀𝑜(𝐾𝑁𝑚) =
320𝐾𝑁 ∗ (2.6𝑚 − 0.25𝑚)2
2 ∗ 2.6𝑚
= = 84.96KNm 
Y un Mu=79KNm, por lo cual la relación Mu/Mo=0.93. 
 
 
 
64 
5.1 Consolidado de resultados de las modelaciones 
Tabla 8. Resultados modelaciones para una altura de cimiento de L/10 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
Cp(KN/m²) Ks1(KN/m³) Es (KN/m²) Ec(KN/m²) Cargas(KN) f´c(Mpa) B y L (m) H (m) Vu(KN) Vu/Vo Mu(KNm) Mu/Mo Vn(KN) Mn(KNm) Kre Krs Kr
17872000 21 2,6 0,26 138 0,94 79 0,93 184 87 64565 48334 1,33
20636860 28 2,6 0,26 138 0,94 79 0,93 184 88 74553 48334 1,54
23072711 35 2,6 0,26 138 0,94 79 0,93 184 88 83353 48334 1,72
17872000 21 4,05 0,4 360 0,95 359 1,01 480 399 398293 182683 2,18
20636860 28 4,05 0,4 360 0,95 359 1,01 480 399 459911 182683 2,51
23072711 35 4,05 0,4 360 0,95 359 1,01 480 399 514196 182683 2,81
17872000 21 9,05 0,9 1879 0,96 4578 1,07 2505 5086 9935746 2038348 4,87
20636860 28 9,05 0,9 1879 0,96 4581 1,07 2505 5090 11472484 2038348 5,62
23072711 35 9,05 0,9 1879 0,96 4583 1,07 2506 5092 12827025 2038348 6,29
Cp(KN/m²) Ks1(KN/m³) Es (KN/m²) Ec(KN/m²) Cargas(KN) f´c(Mpa) B y L (m) H (m) Vu(KN) Vu/Vo Mu(KNm) Mu/Mo Vn(KN) Mn(KNm) Kre Krs Kr
17872000 21 2,6 0,26 138 0,94 78 0,92 183 86 64565 105456 0,61
20636860 28 2,6 0,26 138 0,94 78 0,92 183 87 74553 105456 0,71
23072711 35 2,6 0,26 138 0,94 78 0,92 184 87 83353 105456 0,79
17872000 21 4,05 0,4 360 0,95 355 1,00 479 395 398293 398581 1,00
20636860 28 4,05 0,4 360 0,95 356 1,00 480 396 459911 398581 1,15
23072711 35 4,05 0,4 360 0,95 357 1,00 480 396 514196 398581 1,29
17872000 21 9,05 0,9 1877 0,96 4539 1,06 2503 5043 9935746 4447306 2,23
20636860 28 9,05 0,9 1877 0,96 4547 1,06 2503 5052 11472484 4447306 2,58
23072711 35 9,05 0,9 1878 0,96 4552 1,06 2503 5058 12827025 4447306 2,88
Cp(KN/m²) Ks1(KN/m³) Es (KN/m²) Ec(KN/m²) Cargas(KN) f´c(Mpa) B y L (m) H (m) Vu(KN) Vu/Vo Mu(KNm) Mu/Mo Vn(KN) Mn(KNm) Kre Krs Kr
17872000 21 2,6 0,26 137 0,94 76 0,90 182 85 64565 237276 0,27
20636860 28 2,6 0,26 137 0,94 77 0,90 183 85 74553 237276 0,31
23072711 35 2,6 0,26 137 0,94 77 0,90 183 85 83353 237276 0,35
17872000 21 4,05 0,4 358 0,95 349 0,98 478 388 398294 896807 0,44
20636860 28 4,05 0,4 359 0,95 350 0,98 478 389 459971 896807 0,51
23072711 35 4,05 0,4 359 0,95 351 0,98 478 390 514196 896807 0,57
17872000 21 9,05 0,9 1873 0,96 4464 1,04 2497 4960 9935771 10006438 0,99
20636860 28 9,05 0,9 1874 0,96 4482 1,05 2499 4979 11472840 10006438 1,14
23072711 35 9,05 0,9 1875 0,96 4494 1,05 2499 4993 12827025 10006438 1,28
801
4001
H=L/10
320
801
4001
320
49,03
49,03 9750 2750
60002650049,03
320
801
4001
1350060000
 
65 
 
 
 
Tabla 9. Resultados modelaciones para una altura de cimiento de L/8 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
Cp(KN/m²) Ks1(KN/m³) Es (KN/m²) Ec(KN/m²) Cargas(KN) f´c(Mpa) B y L (m) H (m) Vu(KN) Vu/Vo Mu(KNm) Mu/Mo Vn(KN) Mn(KNm) Kre Krs Kr
17872000 21 2,6 0,32 131 0,89 79 0,93 175 88 126104 48334 2,61
20636860 28 2,6 0,32 131 0,89 79 0,93 175 88 145612 48334 3,01
23072711 35 2,6 0,32 131 0,89 79 0,93 175 88 162799 48334 3,37
17872000 21 4,05 0,5 343 0,91 360 1,01 458 400 777918 182683 4,26
20636860 28 4,05 0,5 343 0,91 360 1,01 458 400 898263 182683 4,91
23072711 35 4,05 0,5 343 0,91 360 1,01 458 400 1004288 182683 5,49
17872000 21 9,05 1,13 1793 0,92 4589 1,07 2391 5099 19405803 2038348 9,52
20636860 28 9,05 1,13 1794 0,92 4590 1,07 2391 5100 22407891 2038348 10,99
23072711 35 9,05 1,13 1794 0,92 4591 1,07 2392 5102 25052784 2038348 12,29
Cp(KN/m²) Ks1(KN/m³) Es (KN/m²) Ec(KN/m²) Cargas(KN) f´c(Mpa) B y L (m) H (m) Vu(KN) Vu/Vo Mu(KNm) Mu/Mo Vn(KN) Mn(KNm) Kre Krs Kr
17872000 21 2,6 0,32 131 0,89 79 0,92 175 87 126104 105456 1,19
20636860 28 2,6 0,32 131 0,89 79 0,93 175 87 145612 105456 1,38
23072711 35 2,6 0,32 131 0,89 79 0,93 175 87 162799 105456 1,54
17872000 21 4,05 0,5 343 0,90 358 1,00 457 398 777918 398581 1,95
20636860 28 4,05 0,5 343 0,90 358 1,00 457 398 898263 398581 2,25
23072711 35 4,05 0,5 343 0,90 359 1,00 457 398 1004288 398581 2,52
17872000 21 9,05 1,13 1792 0,92 4569 1,07 2389 5076 19405803 4447306 4,36
20636860 28 9,05 1,13 1792 0,92 4573 1,07 2389 5081 22407891 4447306 5,03
23072711 35 9,05 1,13 1792 0,92 4576 1,07 2390 5084 25052784 4447306 5,63
Cp(KN/m²) Ks1(KN/m³) Es (KN/m²) Ec(KN/m²) Cargas(KN) f´c(Mpa) B y L (m) H (m) Vu(KN) Vu/Vo Mu(KNm) Mu/Mo Vn(KN) Mn(KNm) Kre Krs Kr
17872000 21 2,6 0,32 130 0,89 78 0,91 174 86 126104 237276 0,53
20636860 28 2,6 0,32 131 0,89 78 0,92 174 86 145612 237276 0,61
23072711 35 2,6 0,32 131 0,89 78 0,92 174 87 162799 237276 0,69
17872000 21 4,05 0,5 342 0,90 355 0,99 456 394 777918 896807 0,86
20636860 28 4,05 0,5 342 0,90 355 1,00 456 395 898263 896807 1,01
23072711 35 4,05 0,5 342 0,90 356 1,00 456 395 1004288 896807 1,12
17872000 21 9,05 1,13 1788 0,92 4529 1,06 2384 5032 19405803 10006438 1,93
20636860 28 9,05 1,13 1789 0,92 4538 1,06 2385 5043 22407891 10006438 2,24
23072711 35 9,05 1,13 1790 0,92 4545 1,06 2386 5050 25052784 10006438 2,50
H=L/8
320
801
4001
6000049,03
60002650049,03
4001
320
801
4001
13500
320
801
2750975049,03
 
66 
Tabla 10. Resultados modelaciones para una altura de cimiento de L/6 
Fuente: Elaboración propia del autor. 
Cp(KN/m²) Ks1(KN/m³) Es (KN/m²) Ec(KN/m²) Cargas(KN) f´c(Mpa) B y L (m) H (m) Vu(KN) Vu/Vo Mu(KNm) Mu/Mo Vn(KN) Mn(KNm) Kre Krs Kr
17872000 21 2,6 0,42 120 0,82 79 0,93 160 88 298913 48334 6,18
20636860 28 2,6 0,42 120 0,82 79 0,93 160 88 345155 48334 7,14
23072711 35 2,6 0,42 120 0,82 79 0,93 160 88 385895 48334 7,98
17872000 21 4,05 0,67 315 0,83 360 1,01 420 400 1843955 182683 10,09
20636860 28 4,05 0,67 315 0,83 360 1,01 420 400 2129215 182683 11,65
23072711 35 4,05 0,67 315 0,83 360 1,01 420 401 2380535 182683 13,03
17872000 21 9,05 1,5 1651 0,85 4596 1,07 2201 5106 45998940 2038348 22,56
20636860 28 9,05 1,5 1651 0,85 4596 1,07 2202 5107 53115000 2038348 26,06
23072711 35 9,05 1,5 1651 0,85 4597 1,07 2202 5107 59384376 2038348 29,13
Cp(KN/m²) Ks1(KN/m³) Es (KN/m²) Ec(KN/m²) Cargas(KN) f´c(Mpa) B y L (m) H (m) Vu(KN) Vu/Vo Mu(KNm) Mu/Mo Vn(KN) Mn(KNm) Kre Krs Kr
17872000 21 2,6 0,42 120 0,82 79 0,93 160 88 298913 105456 2,83
20636860 28 2,6 0,42 120 0,82 79 0,93 160 88 345155 105456 3,27
23072711 35 2,6 0,42 120 0,82 79 0,93 160 88 385895 105456 3,66
17872000 21 4,05 0,67 314 0,83 360 1,01 419 400 1843955 398581 4,63
20636860 28 4,05 0,67 314 0,83 360 1,01 419 400 2129215 398581 5,34
23072711 35 4,05 0,67 315