Estadistica Anexo Ejercicios Módulo 1

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Módulo 1 
Unidad 1 
Anexo de Ejercitación 
Inferencia Estadística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Materia: Herramientas Matemáticas V – Estadística II 
Profesora: Cra. Mariana Alcalde 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
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Unidad 1: Parámetros y 
Estimadores 
 
Seminario 1: Distribución normal de una variable; Distribución de muestreo. 
 
Ejercicio 1:1 El departamento de marketing de una empresa de teléfonos 
celulares conoce que los montos de las facturas mensuales de sus clientes 
no corporativos sigue una distribución normal con media de $80 y 
desviación estándar de $12. Para planificar mejor sus estrategias 
comerciales para los próximos meses desean conocer: 
 
a) ¿Qué porcentaje de los clientes tienen un consumo entre $80 y 
$93? 
b) ¿Qué porcentaje de los clientes tienen un consumo entre $90 y 
$105? 
c) ¿Qué porcentaje de los clientes tienen un consumo inferior a $68? 
d) ¿Qué porcentaje de los clientes tienen un consumo entre $70 y $90? 
e) Si se realiza una campaña de telemarketing llamando a 100 clientes 
de manera aleatoria, ¿Cuál es la probabilidad de que, en promedio, 
esos clientes tengan un consumo entre $80 y $93? Notar la 
diferencia con la pregunta a). 
 
Ejercicio 2: Si una empresa de transporte realiza envíos de mercadería al 
exterior que se distribuyen de manera normal con media de 40kgs, y cuenta 
con un 7% de envíos que exceden los 70 kgs. Responda: 
a) ¿Cuál es la desviación estándar del total de envíos? 
b) Si se tomara una muestra de 150 envíos, ¿Cuál es la probabilidad de 
que la media de esos envíos supere los 50kgs.? 
 
Ejercicio 3: Las llamadas telefónicas de larga distancia se distribuyen 
normalmente con µ=8 minutos y σ= 2 minutos. Si se seleccionan muestras 
aleatorias de 25 llamadas, 
a) Calcular el error estándar de la media muestral. 
b) ¿Qué porcentaje de las medias de muestra estaría entre 7.8 y 8.2 
minutos? 
                                                            
1 Los ejercicios 1, 2 y 3 fueron extraidos del textode Berenson & Levine (1996) 
correspondiente a la bibliografía básica de la materia. 
Bibliografía Básica 
El seminario 1 presenta 
ejercicios que permiten 
diferenciar el cálculo de 
probabilidades dentro de 
una distribución normal de 
una variable y dentro de 
una distribución de 
muestreo. 
Si desea profundizar este 
tema en la bibliografía 
básicale recomendamos 
revisar los ejemplos 
expuestos en el punto 
9.2.3. de Berenson & 
Levine (1996). 
Reconozca el significado de 
aplicar las fórmulas 9.4 y 
9.5 allí presentadas. 
 
 
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c) ¿Qué porcentaje de las medias de muestra estaría entre 7.5 y 8 
minutos? 
d) Si se seleccionaran muestras de 100 llamadas ¿Qué porcentaje de las 
medias de muestra estaría entre 7.8 y 8.2 minutos? 
e) Explique la diferencia entre los resultados de los puntos b) y d). 
f) ¿Qué es más probable que ocurra: un valor individual mayor de 11 
minutos, una media de muestra por arriba de 9 minutos en una 
muestra de 25 llamadas, o una media de muestra por arriba de 8.6 
minutos en una muestra de 100 llamadas? 
 
Ejercicio 4: Un encuestador político está conduciendo un análisis de 
resultados de muestra con el fin de hacer predicciones en la noche de 
elecciones. Suponiendo una elección en la que participan dos candidatos, si 
un candidato específico recibe al menos 55% de los votos de la muestra, 
entonces ese candidato se pronosticará como ganador de la elección. Si se 
selecciona una muestra aleatoria de 100 votantes ¿cuál es la probabilidad 
que un candidato sea pronosticado ganador cuando 
a) El porcentaje real de sus votos es 50.1%? 
b) El porcentaje real de sus votos es 60%? 
c) El porcentaje real de sus votos 49% (y, de hecho, perderá la 
elección)? 
d) Responda las preguntas anteriores considerando que se toma una 
muestra de 400 votantes. Analice las diferencias. 
 
 
Ejercicio 5: Históricamente, el 10% de un gran envío de partes 
mecánicas están defectuosas. Si se seleccionan muestras aleatorias de 400 
partes ¿Qué porcentaje de las muestras tendrá: 
a) Entre 9% y 10% de partes defectuosas? 
b) Menos de 8% de partes defectuosas? 
c) Si se hubiera seleccionado un tamaño de muestra de únicamente 
100 partes ¿cuáles habrían sido las respuestas en a) y b)? 
d) ¿Qué es más probable que ocurra: un porcentaje defectuoso por 
arriba de 13% en una muestra de 100 o un porcentaje defectuoso por 
arriba de 10.5% en una muestra de 400 partes? 
e) Si conocemos que el envío incluía 5000 partes mecánicas, ¿Cuáles 
serían las respuestas para los puntos a) y b)? 
 
 
Ejercicio 6: En una Facultad de nuestro medio se ha realizado un censo de 
los 3750 estudiantes, que demuestra que las edades de los alumnos sigue 
una distribución fuertemente sesgada hacia la derecha, con media de 22 
años, y desviación estándar de 4 años. Las autoridades desean realizar una 
encuesta sobre las expectativas laborales de los estudiantes a 250 
estudiantes (elegidos al azar). 
 
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a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la edad de los 
alumnos encuestados supere los 25 años? 
 
Preguntas de Autoevaluación : Seminario 1 
 
 
1. ¿Cuál es el valor del error estándar de la media calculado 
en el punto e) del ejercicio 1 (seminario 1)? 
a) 10 
b) 12 
c) 1.2 
d) 10,83 
e) 1,083 
 
2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe mejor las 
diferencias entre los puntos a) y e) del ejercicio 1? 
 
a) En el punto e) la desviación estándar utilizada es mayor dado que 
dividimos la desviación poblacional por la raíz del tamaño de la 
muestra. 
b) En el punto e) la desviación estándar utilizada es menor dado que 
dividimos la desviación muestral por la raíz del tamaño de la 
muestra. 
c) En el punto e) el área bajo la curva normal es menor dado que la 
desviación estándar utilizada es menor. 
d) En el punto e) el área bajo la curva normal es mayor dado que la 
desviación estándar utilizada es mayor. 
e) En el punto e) el área bajo la curva normal es mayor dado que la 
desviación estándar utilizada es menor. 
 
3. Con los datos proporcionados en el ejercicio 2. ¿Cuál es la 
probabilidad de que los envíos no superen los 70kgs y cuál 
la de que los envíos pesen exactamente 70kgs? 
 
a) P ( x ≥ 70) = 0,93 y P (x=70) = 0,07. 
b) P ( x ≥ 70) = 0,93 y P (x=70) = 0 
c) P ( x ≤ 70) = 0,93 y P (x=70) = 0,07. 
d) P ( x ≤ 70) = 0,93 y P (x=70) = 0 
e) P ( x ≤ 70) = 0,07 y P (x=70) = 0 
 
4. ¿Qué utilidad tiene el Teorema Central del Límite en el 
ejercicio 2? 
 
a) Permite suponer que el peso de los envíos se distribuye de 
manera normal. 
Importancia de las 
Autoevaluaciones 
Además de realizar el 
planteo y resolución de 
los ejercicios del 
seminario, es importante 
que identifique claramente 
los conceptos puestos en 
práctica. Ud. podrá 
ejercitar la selección de 
opciones similares a las 
que enfrentará en las 
evaluaciones parciales, 
finales y trabajos prácticos 
de la asignatura. 
 
Recuerde realizar también 
las autoevaluaciones de 
lecturas del módulo 
 
 
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b) Permite suponer que la distribución de muestreo será normal. 
c) Permite suponer que la distribución de la muestra será normal. 
d) No es necesario aplicar el TCL dado que la población se 
distribuye normal. 
e) No es aplicable el TCL dado que solo tomamos una muestra. 
 
5. ¿Qué clase de problemas nos presenta el ejercicio 4? 
 
a) Se trata de un problema de cálculo de probabilidades para una 
proporción muestral. 
b) Se trata de un problema de cálculo de probabilidades para una 
media muestral. 
c) Se trata de un problema de cálculo de probabilidades para la 
proporción poblacional. 
d) Se trata de un problema de estimación de la proporción 
poblacional dada la proporción muestral. 
e) Se trata de un problema de cálculo de probabilidades para un 
valor de una variablecategórica. 
 
6. Cuando el ejercicio 5 plantea que “Historicamente, el 10% 
de un gran envío de partes mecánicas están defectuosas”, 
nos está dando el dato de: 
 
a) La proporción de la muestra de partes mecánicas bajo estudio 
que están defectuosas. 
b) La proporción de la población de partes mecánicas bajo estudio 
que están defectuosas. 
c) La media de partes defectuosas en una muestra bajo estudio. 
d) La media de partes defectuosas en la población bajo estudio. 
e) El error estándar de la cantidad de partes defectuosas en una 
población. 
 
7. ¿Cuál de los siguientes análisis conceptuales es el más 
adecuado para los resultados obtenidos en el punto e) de 
ejercicio 5? 
 
a) Dado que se ha tomado una muestra de mayor tamaño, ha 
disminuido el error estándar de las proporciones muestrales. 
b) Dado que se ha tomado una muestra de mayor tamaño, ha 
aumentado la probabilidad de encontrar una proporción entre 
los valores señalados. 
c) Dado que conocemos el tamaño de la población y que la muestra 
representa más del 5% de ese tamaño, aplicamos un factor de 
corrección para la proporción muestral. 
d) Dado que conocemos el tamaño de la población y que la muestra 
representa más del 5% de ese tamaño, aplicamos un factor de 
 
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corrección por población finita al error estándar de la 
proporción. 
e) Dado que conocemos el tamaño de la población y que la muestra 
representa más del 5% de ese tamaño, aplicamos un factor de 
corrección por población finita al estadístico z. 
 
 
8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa en relación al 
ejercicio 6? 
 
a) La media de la población es de 22 años. 
b) La varianza de la población es de 16 años2. 
c) El error estándar de la media es de 0,25. 
d) El factor de corrección por población finita es 0,9662. 
e) El tamaño de la población estudiantil es de 3750 alumnos. 
 
9. En el ejercicio 6, la aplicación del Teorema Central del 
Límite resulta útil dado que: 
 
a) La población tiene una distribución normal y se utiliza el TCL 
para establecer que la distribución de muestreo tendrá una 
distribución normal considerando el tamaño de la población 
(mayor a 30). 
b) La población tiene una distribución no normal y se utiliza el TCL 
para establecer que la distribución de muestreo tendrá una 
distribución normal considerando el tamaño de la muestra 
(mayor a 30). 
c) La población tiene una distribución no normal y se utiliza el TCL 
para establecer que la distribución de muestreo tendrá una 
distribución normal considerando el tamaño de la población 
(mayor a 30). 
d) La población tiene una distribución no normal y se utiliza el TCL 
para establecer que la distribución de las edades de la población 
tendrá una distribución normal considerando el tamaño de la 
población (mayor a 30). 
e) La población tiene una distribución no normal y se utiliza el TCL 
para establecer que de las edades de la muestra tendrá una 
distribución normal considerando el tamaño de la muestra 
(mayor a 30). 
 
 
 
 
 
 
 
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Seminario 2: Estimación de intervalos de confianza para la 
media y la proporción. 
 
 
Ejercicio 1: Para una muestra de 25 bebés varones de 12 semanas de vida, 
se obtuvo un peso medio de 5,9 Kg. y una desviación estándar de 94 grs. Se 
pide: 
a) Obtener un intervalo de confianza (al 95%) para el peso medio 
poblacional. 
b) ¿Cuántos niños habría que tomar para estimar dicha media con 
una precisión de 15 grs? 
 
Ejercicio 2: En una muestra de tabletas de aspirinas, de las cuales 
observamos su peso en gramos, obtenemos: 
1,19 1,23 1,18 1,21 1,27 
1,17 1,15 1,14 1,19 1,2 
Suponiendo la normalidad para esta distribución de pesos, determinar 
un intervalo al 80% confianza para la media. 
 
 
Ejercicio 3: Para 96 familias argentinas elegidas al azar se ha determinado 
que la TV permanece encendida en la casa una media de 217 minutos 
diarios, la desviación típica de la muestra fue de 40 minutos. Responda: a) 
para una confiabilidad del 95% ¿Qué error se asume cuando se da por 
bueno ese dato para el total de las familias argentinas? b) ¿Qué tamaño 
muestral sería necesario para reducir el ese error muestral a la mitad? 
 
 
Ejercicio 4: En una ciudad del interior de la provincia se ha realizado una 
encuesta a 500 personas preguntando si consideran que el jefe de la 
Bibliografía Básica 
El seminario 2 presenta 
ejercicios sobre estimación 
para la media y la 
proporción. También en 
algunos casos se requiere 
el cálculo del tamaño de la 
muestra. 
Recuerde que estos temas 
se encuentran tratados en 
el capítulo 10 de 
Berenson & Levine 
(1996). 
 
 
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comuna debe renunciar. Un 70% de los encuestados respondió 
afirmativamente. Establezca un intervalo de confianza del 90% para el 
porcentaje de la población de la ciudad que considera que el jefe de comuna 
debe renunciar. 
 
Ejercicio 5: Queremos estimar con un error máximo del 3%, el porcentaje 
de audiencia de un programa de TV, y queremos un 95% de confianza para 
nuestros resultados. No disponemos de información previa sobre el posible 
valor de p. ¿Cuántos telespectadores deberán ser encuestados? 
 
Preguntas de Autoevaluación : Seminario 2 
 
 
1. Si en el ejercicio 1 quisiéramos obtener un intervalo de 
estimación para la media del peso de los bebés con una 
confianza del 99%, cuál de las siguientes afirmaciones 
sería correcta: 
 
a) Aumentaría el nivel de significación (α). 
b) Disminuiría la amplitud del intervalo de confianza. 
c) Disminuiría el error estándar de la media muestral. 
d) Aumentaría el error de muestreo. 
e) Aumentaría el error estándar de la media muestral. 
 
2. Cuando el enunciado del ejercicio 1 hace referencia a “una 
precisión de 15 grs”, está informando el valor de: 
 
a) El nivel de significación. 
b) El error de muestreo (permitido). 
c) El error estándar de la media muestral. 
d) La desviación estándar del peso de los bebés. 
e) El nivel de confianza de la estimación. 
 
3. En el ejercicio 2, cuál de las siguientes afirmaciones es 
FALSA: 
 
a) La media muestral es de 1,193 grs. 
b) La desviación estándar muestral es de 0,038 grs. 
c) El error estándar de la media es 0,012 grs. 
d) El error de muestreo es 0,017 grs. 
e) Se utiliza para el cálculo del intervalo un valor t=1.383 
. 
Importancia de las 
Autoevaluaciones 
Además de realizar el 
planteo y resolución de 
los ejercicios del 
seminario, es importante 
que identifique claramente 
los conceptos puestos en 
práctica. Ud. podrá 
ejercitar la selección de 
opciones similares a las 
que enfrentará en las 
evaluaciones parciales, 
finales y trabajos prácticos 
de la asignatura. 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
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4. En el ejercicio 2, qué ocurriría si la población de la cual se 
extrae la muestra no fuese normal: 
 
a) Aplicando el TCL estableceríamos que la distribución de 
muestreo es normal y operaríamos de igual modo. 
b) Aplicando el TCL estableceríamos que la distribución de la 
variable peso es normal y operaríamos de igual modo. 
c) No podríamos concluir que la distribución de muestreo es 
normal aplicando el TCL dado que el tamaño de la muestra no es 
suficientemente grande. 
d) No podríamos utilizar la distribución normal para el cálculo del 
intervalo y deberíamos aplicar la distribución t. 
e) Aplicando el TCL estableceríamos que la distribución de 
muestreo tiene una distribución sesgada a la derecha. 
 
5. En el ejercicio 3, ¿Cuál es el valor del error estándar de la 
media? 
 
a) 8 minutos 
b) 9,8 minutos 
c) 4,082 minutos 
d) 0,42 minutos 
e) 0,82 minutos 
 
6. En el ejercicio 3, ¿Es necesaria la aplicación del factor de 
corrección para poblaciones finitas? 
 
a) Si, dado que nos informan que la muestra es de 96 familias. 
b) Si, dado que la muestra supera el 5% de la población.c) Si, dado que sabemos que la cantidad de familias en que viven 
en Argentina es una cantidad finita. 
d) No, dado que la muestra no alcanza al 5% de la población. 
e) No, dado que no conocemos el tamaño real de la población bajo 
estudio. 
 
7. En el ejercicio 4, cuál de las siguientes afirmaciones es 
correcta: 
 
a) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,60; 0,70] 
b) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,61; 0,79] 
c) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,66; 0,74] 
d) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,67; 0,73] 
e) Los límites del intervalo de confianza (90%) son: [0,69; 0,71] 
 
8. En el ejercicio 4, ¿cuál sería el valor z utilizado en el 
cálculo del extremo inferior del intervalo de confianza (del 
95%) para la proporción? 
 
 
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a) -1,645 
b) 1,645 
c) -2,575 
d) - 1,96 
e) 1,96 
 
 
9. En el ejercicio 5, ¿Cómo se realiza el cálculo del tamaño de 
muestra para la proporción cuando no hay datos sobre la 
proporción poblacional? 
 
a) Se toma una proporción estimada por el investigador. 
b) Se toma por convención un valor de p=0,05 dado que así el 
efecto será nulo en el cálculo. 
c) Se toma la proporción muestral. 
d) Se toma por convención un valor de p=0,05 dado que garantiza 
la mayor varianza posible y un cálculo con criterio conservador. 
e) Se toma por convención un valor de p=0,05 dado que garantiza 
la menor varianza posible y un cálculo con criterio conservador. 
 
 
10. En el ejercicio 5, ¿Si los investigadores estuviesen 
dispuestos a aceptar un error máximo del 5%, qué cambios 
deberíamos ver en los resultados del ejercicio? 
 
a) Deberá incrementarse el tamaño de la muestra para que el error 
tenga ese valor. 
b) Podrá realizarse el estudio con un número menor de 
participantes y cumplir los requerimientos del investigador. 
c) Disminuirá el nivel de confianza del estudio. 
d) Aumentará e nivel de confianza del estudio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
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SOLUCIONES SEMINARIO 1 
Nota: Para la resolución de los ejercicios se ha utilizado la tabla normal 
correspondiente al texto de Berenson y Levine cuya organización es diferente a la 
disponible en el Módulo 1. Sin embargo, los resultados de los ejercicios deben ser 
exactamente iguales.  
Ejercicio 1 
a) Solicita calcular el área entre un punto y la media de la distribución de la 
variable.  Debe utilizarse la fórmula 9.4 (Pág. 326). Se obtiene un valor z= 
1,083 (buscamos 1,08 en la tabla z). La probabilidad correspondiente es:                             
 
P (0≤ z ≤1,08)= 0,3599 ó el 35,99%. 
 
b) Solicita calcular el área entre dos puntos de la distribución de la variable.  
Debe utilizarse la fórmula 9.4 (Pág. 326) para estandarizar cada uno de 
ellos. Se obtienen dos valores de z y sus respectivas probabilidades 
acumuladas desde la media.  
 
P (0 ≤ z ≤0,83)= 0,2967  y P (0 ≤ z ≤2,08)= 0,4812 
Por lo tanto: P (0,83 ≤ z ≤2,08)= 0,4812‐0,2967 = 0,1845 ó 18,45% 
 
 
 
c) Solicita calcular el área hasta un punto determinado de la distribución de la 
variable.   Debe utilizarse  la  fórmula 9.4  (Pág. 326) para estandarizar ese 
punto.  Se  obtiene  el  valor  de  z=‐1.  Debe  buscarse  en  la  tabla  el  valor 
positivo,  cuya  probabilidad  acumulada  es:  0,3413.  Para  obtener  la 
probabilidad hasta ese punto debemos realizar las operaciones necesarias, 
en este caso:  
P (z ≤ ‐1)= 0,50‐ 0,3413= 0,1587 ó 15,87%  
 
 
d) Solicita calcular el área entre dos puntos de la distribución de la variable.  
Debe utilizarse la fórmula 9.4 (Pág. 326) para estandarizar cada uno de 
 
Claves de Soluciones para Seminarios 1 y 2 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
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ellos. Se obtienen dos valores de z y sus respectivas probabilidades 
acumuladas desde la media.  
 
P (0 ≤ z ≤0,83)= 0,2967  y P (‐0,83≤ z ≤0)= 0,2967  (Dado que la 
distribución es simétrica) 
Por lo tanto:  P (‐0,83 ≤ z ≤0,83)= 0,2967  +0,2967  = 0,5934 ó 59,34% 
 
 
 
e) Solicita calcular el área entre un punto y la media de la distribución de 
muestreo de las medias.  Debe utilizarse la fórmula 9.5 (Pág. 326). Se 
obtiene un valor z= 10,83. El valor es tan alto que ya no aparece en la 
tabla. Por lo tanto, asumimos que el valor es cercano a 0,50 (teóricamente 
nunca debería alcanzarlo considerando que la gráfica es asintótica al eje de 
abscisas).                                
 
P (0≤ z ≤10,83) ≅ 0.50 ó 50% 
 
 
 
Ejercicio 2 
a) Debe despejarse el valor de la desviación estándar de la fórmula 9.4 (Pág. 
326), considerando µ=40, x= 70, z= 1,475  
El valor de z se obtiene ingresando por el cuerpo de la tabla normal para 
buscar una probabilidad de 0.43 – o sea 0,50 menos 0,07. Como ese valor 
no se encuentra exactamente sino que está tabulado el 0,4292 y el 
0,4306, se realiza el promedio de los dos valores de z correspondientes: 
(1.47+1.48)/2= 1.475. 
Respuesta: σ= 20,39  (o cercano si no han buscado un promedio para z) 
b) Solicita  calcular  el  área  a  partir  de  un  punto  determinado  de  la 
distribución de muestreo de  las medias.   Debe utilizarse  la  fórmula 9.5 
(Pág. 326) para estandarizar ese punto. Se obtiene el valor de z=6.  Como 
es un valor tan alto, asumimos que  la probabilidad desde  la media hasta 
ese punto es cercana a 0,50. Sin embargo, nos preguntan  la probabilidad 
de una media superior a 50, por lo que debemos realizar  las operaciones 
necesarias, en este caso:  
P (z ≥ 6) = 0,50‐ 0,50= 0 (en realidad, casi cero)  
 
Ejercicio 3 
a) El error estándar de la media muestral se calcula utilizando la fórmula 9.3 
(pág. 324).  
Por lo tanto:    2/5= 0,40 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
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b) Solicita calcular el área entre dos puntos determinados de la distribución 
de muestreo de las medias.  Debe utilizarse la fórmula 9.5 (Pág. 326) para 
estandarizar  esos  puntos.  Se  obtienen  dos  valores  de  z  y  su  respectiva 
probabilidad acumulada desde la media: 
  
P (‐0,5 ≤ z ≤0)= 0,1915 y ‐ P (0 ≤ z ≤ 0,5)= 0,1915 
(Nótese que son iguales dado que la distribución es simétrica) 
 
Por último, debemos sumar ambas probabilidades para obtener el 
resultado requerido 
P (‐0,5 ≤ z ≤ 0,5)= 0,3830 
 
c) Solicita calcular el área entre un punto y la media de la distribución de 
muestreo de las medias.  Debe utilizarse la fórmula 9.5 (Pág. 326). Se 
obtiene un valor z=‐1,25.  
 La probabilidad correspondiente es:                                
 
P (‐1,25≤ z ≤0)= 0,3944 
d) Idem punto b) solo que se utiliza un nuevo valor del error estándar (0,2). 
Los valores de z serán 1 y ‐1. Las probabilidades serán: 
P (0 ≤ z ≤ 1)= 0,3413 y P (‐1≤ z ≤0)= 0,3413  (Dado que la distribución es 
simétrica) 
Por lo tanto:  P (‐1 ≤ z ≤ 1)= 0,3413 +  0,3413= 0,6826 
e) Fe de erratas: la pregunta debía decir “explique la diferencia entre los 
puntos b) y d), dado que si bien solicitaba calcular las probabilidades 
entre los mismos valores, en el segundo caso la muestra era mayor (100), 
por lo que el error estándar fue menor, lo que indica que una mayor 
cantidad de muestras se ubica cercanas a la media entre esos valores. 
f) P (X > 11) = P (Z > 1,5) = 0,5 – 0,4332 = 0,0668 (z se obtiene usando 
fórmula 9.4) 
P (Xm >9) = P (Z > 2,5)= 0,5 – 0,4938 = 0,0062  (z se obtiene usando 
fórmula 9.5, n=25) 
P (Xm >8,6) = P (Z > 3)= 0,5 – 0,49865 = 0,00135  (z se obtiene usando 
fórmula 9.5, n=100) 
Conclusión: es más probable que ocurra un valor individual superior a 11 
minutos. 
Ejercicio 4 
a) Solicita  calcular  el  área  a  partir  de  un  punto  determinado  de  la 
distribución de muestreo de  las medias.   Debe utilizarse  la  fórmula 9.5 
(Pág.  326)  para  estandarizar  ese  punto,  pero utilizando  la  fórmula  9.10 
(fcp) en el error estándar dado que conocemos el tamaño de la población 
(N) yque  la muestra es  superior al 5%.   Se obtiene el valor de z=12,27.  
Como es un valor tan alto, asumimos que  la probabilidad desde  la media 
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
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hasta  ese  punto  es  cercana  a  0,50.  Sin  embargo,  nos  preguntan  la 
probabilidad de una media superior a 25, por lo que debemos realizar las 
operaciones necesarias, en este caso:  
P (z ≥ 12,27) = 0,50‐ 0,50= 0 (en realidad, casi cero)  
 
 
 
 
Ejercicio 5: 
El ejercicio requiere el cálculo del área de probabilidades de que  la proporción 
muestral sea superior a 0,55, considerando diferentes valores de la proporción 
poblacional. 
a) Estandarizar utilizando la fórmula 9.9 (pág. 335), con ps=0,55 y p= 0,501 
P (Z ≥ 0,98)= 0,50‐0,3365= 0,1635 
b)  Estandarizar utilizando la fórmula 9.9 (pág. 335), con ps=0,55 y p= 0,60 
P (Z ≥ ‐1,02)= 0,50 + 0,3461= 0,8461 
c) Estandarizar utilizando la fórmula 9.9 (pág. 335), con ps=0,55 y p= 0,49 
P (Z ≥ 1,2)= 0,50 ‐ 0,3849= 0,1151 
d) Realizar los mismos cálculos reemplazando en la fórmula 9.9 el tamaño de 
la muestra por 400. Las probabilidades serán: 
a´) P (Z ≥ 1,96)= 0,50 ‐ 0,4750= 0,025 
b´) P (Z ≥ ‐2,04)= 0,50 + 0,4793= 0,8793 
c´) P (Z ≥ 2,4)= 0,50‐0,4918= 0,0082 
 
Ejercicio 6: 
El ejercicio requiere el cálculo del área de probabilidades de que  la proporción 
muestral se encuentre en diferentes intervalos, conociendo que la PROPORCION 
POBLACIONAL es 0.10. Debe utilizarse la fórmula 9.9 (pág. 335). 
a) P (0,09 ≤ ps ≤ 0,10) = P (‐0,67 ≤ Z ≤ 0)= 0,2486 
b) P (ps < 0,08 ) = P ( Z < ‐1,33)= 0,50‐0,4082= 0,0918 
c) P (0,09 ≤ ps ≤ 0,10) = P (‐0,33 ≤ Z ≤ 0)= 0,1293;  
 
  Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
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P (ps < 0,08 ) = P ( Z ≤ ‐0,67)= 0,50‐0,2486= 0,2514 
d) P (ps > 0,13 ) = P ( Z > 1)= 0,50‐0,3413= 0,1587;  
P (ps >0,105 ) = P ( Z >0,33)= 0,50‐0,1293= 0,3707 
Conclusión: es más probable una proporción muestral de 10,5% en una 
muestra de 400 partes. 
e) Dado que N=5000 y se ha tomado una muestra de n=400, entonces 
n/N=0,08. Como es superior al 5%, debemos aplicar el factor de 
corrección de población finita (fórmula 9.10) al error estándar de los 
respectivos ejercicios.  
a) P (0,09 ≤ ps ≤ 0,10) = P (‐0,70 ≤ Z ≤ 0)= 0,2580 
b) P (ps < 0,08 ) = P ( Z < ‐1,41)= 0,50‐0,4207= 0,0793 
SOLUCIONES SEMINARIO 2 
Nota: Solo se ofrecen los resultados de manera sintética para que los alumnos 
controlen su trabajo.  
Ejercicio 1 
A)  [5861,20;  5938,80]  incluirá  (o  “atrapará”)  a  la  media  poblacional  con  una 
confianza del 95%. (Utilizar t con 24 gl y α/2=0,025.) B) n= 151 
Ejercicio 2 
[1,176;1,21]  incluirá  (o “atrapará”) a  la media poblacional con una confianza del 
80%. (Utilizar t con 9 gl y α/2=0,10) 
Nota: la media y desviación estándar muestral deben calcularse utilizando los 
datos de la tabla.  
Ejercicio 3 
A) Se asume un error de 8 minutos (se utiliza z=1.96 dado que n>30).  
 B) n=385 
 
Ejercicio 4 
[0,66; 0,74]  incluirá  (o “atrapará”) a  la proporción poblacional de  individuos que 
opinan que el jefe de comuna debe renunciar, con una confianza del 90%. (Utilizar 
z dado, dado que con proporciones siempre deben tomarse tamaños de muestras 
 
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grandes  para  utilizar  normal). Debe  tomarse  el  valor  z  promedio  dado que  no 
existe un valor exacto en la tabla para el nivel de confianza planteado.  
Ejercicio 5 
n= 1068 
 
 
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