HISTORIA_DE_LA_FISICA_CUANTICA (1)

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HISTORIA 
DE LA FISICA 
CUANTICA 
Heisenberg. imprecisión 
y revolución cuántica 
A sus 32 años, Werner Heisenberg fue uno de los científicos más jóvenes 
entre los galardonados con el Nobel. Tras uno de los principios 
fundamentales de lafísica, se halla una historia de ambición 
y feroz competencia 
David C. Cassidy 
E ntre los muchos logros cientí-ficos del siglo xx, quizás el fun-damental sea la mecánica 
cuántica. Ideada por un puñado de 
físicos europeos de mente preclara, 
la ciencia del átomo exige transfor-
maciones profundas y controvertidas 
en nuestra comprensión de la natu-
raleza. La materia puede consistir 
en ondas o en partículas, según como 
la observemos; la causa y el efecto ya 
no están íntimamente conectados. 
Esta interpretación de la mecánica 
cuántica - las prescripciones sobre 
el cómo y el cuándo de su uso y sobre 
qué nos dice del mundo físico- fue 
elaborada en Copenhague en 1927. 
Debido a la difusión que le dieron sus 
creadores y al éxito sorprendente que 
obtuvieron sus partidarios, la inter-
pretación de Copenhague adquirió 
ya en los años treinta el prestigio de 
que goza hoy. Pero una "interpre-
tación" no es más que eso. Su origen, 
defensa y aceptación pudieron haber 
sido, en aspectos importantes, fruto 
de circunstancias históricas y prefe-
rencias personales, tanto como de su 
validez científica. 
El papel desempeñado en la cien-
cia por el talante del hombre queda 
ejemplificado, quizá como en ningún 
otro caso, en uno de los principales 
inventores y más activos defensores 
de la interpretación de Copenhague, 
Werner Karl Heisenberg. Ocurrió en 
febrero de 1927, y tenía 25 años, cuan-
do este asistente posdoctoral de Niels 
Bohr formuló lo que constituye su 
contribución más famosa en el domi-
nio de la física y es elemento clave 
para la interpretación de Copenha-
gue: el principio de imprecisión o inde-
terminación. Como la interpretación 
de Copenhague, este principio pue-
de considerarse el resultado de la 
búsqueda de un método coherente de 
6 
conectar el mundo cotidiano dellabo-
ratorio con ese mundo, nuevo y extra-
ño, propio del minúsculo átomo. 
Dicho brevemente, el principio de 
imprecisión afirma que la medida 
simultánea de dos variables llama-
das conjugadas, como la posición y el 
momento lineal de una partícula en 
movimiento, impone necesariamente 
una limitación en la precisión. Cuanto 
más precisa sea la medida de la posi-
ción, tanto más imprecisa será la 
medida del momento, y viceversa. En 
el caso extremo, la precisión abso-
luta de una de las variables implica-
ría imprecisión absoluta respecto a 
la otra. (N. del T.: Se traduce siste-
máticamente por imprecisión el tér-
mino inglés uncertainty, con el que 
vino a expresarse el adjetivo original 
alemán unscharf. Se pretende con 
ello eliminar toda acepción psicoló-
gica, de estado de la mente, que con-
lleva el término castellano incerti-
dumbre. Tal acepción es totalmente 
ausente tanto en Heisenberg como 
en Cassidy.) 
Esta indeterminación no debe acha-
carse al experimentador, sino que se 
trata de una consecuencia funda-
mental de las ecuaciones cuánticas y 
es característica de todo experimento 
cuántico. Más aún, Heisenberg de-
claró absolutamente inevitable el 
principio de imprecisión, en la medida 
en que fuera válida la mecánica cuán-
tica. Era la primera vez, desde la 
revolución científica, que un físico de 
primera línea proclamaba una limi-
tación al conocimiento científico. 
Junto con las ideas de Bohr y Max 
Born (otras lumbreras), el principio 
de imprecisión de Heisenberg cons-
tituía el sistema lógicamente cerrado 
de la interpretación de Copenhague, 
que Heisenberg y Born proclamaron 
completa e irrevocable ante una reu-
nión de los principales físicos cuán-
ticos en octubre de 1927, con motivo 
del quinto congreso Solvay sobre física 
fundamental celebrado en Bruselas. 
A las pocas semanas de ese aconte-
cimiento, Heisenberg fue nomina-
do para la cátedra de física teórica 
de la Universidad de Leipzig. Con 
sólo 25 años, era el catedrático más 
joven de Alemania. 
L a extrema juventud de Heisenberg en el momento de su obra más sig-
nificativa señala un rasgo caracte-
rístico que habría de definir a toda 
su investigación de primera hora: el 
ansia casi insaciable de éxito acadé-
mico y la necesidad de destacar como 
el mejor en todo lo que hacía. De ese 
estado de ánimo podemos rastrear su 
explicación hasta el entorno familiar. 
Los Heisenberg eran una familia 
muy culta y ambiciosa, que fue esca-
lando peldaños hasta instalarse en 
la clase media alta de la sociedad ger-
mana. La unificación de Alemania 
bajo Otto von Bismarck hacia fina-
les del siglo XIX, con el vigoroso cre-
cimiento consiguiente de la econo-
mía, había creado una apremiante 
necesidad de burócratas, diplomáti-
cos, jueces, abogados y empresarios. 
En consecuencia, las nuevas univer-
sidades y escuelas conocieron un 
espectacular despegue. Y se presti-
gió el reconocimiento y la remune-
ración económica de los docentes y de 
sus alumnos más brillantes. 
Tanto el padre de Werner, August, 
como su abuelo materno, Nikolaus 
Wecklein, se habían remontando 
desde sus orígenes humildes hasta la 
cumbre de la alta burguesía alemana 
mediante logros académicos. Weck-
lein era director de un renombrado 
instituto (Gymnasium) de Munich, y 
August en 1910 fue nombrado profe-
TEMAS 31 
1. WERNER HEISENBERG realizó sus principales aportaciones a la 
física cuando apenas contaba ventitantos años de edad. La fotogra-
FENÓMENOS CUÁNTICOS 
fía se tomó hacia 1924, en la Universidad de Gotinga, donde impar-
tió la clase que le habilitó para una cátedra. 
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sor de filología bizantina en la Uni-
versidad de Munich. Ambos contra-
jeron matrimonio dentro de su nueva 
situación social. 
Desde su mismo nacimiento en 
1901, la familia de Werner decidió 
que él persistiera también en ese nivel 
privilegiado mediante una cómoda 
situación académica. Creyendo que 
la competencia alentaría el éxito en 
los estudios, August estimuló la riva-
lidad entre Werner y su hermano 
mayor, Erwin. Durante años los dos 
muchachos pugnaron sin cuartel, 
hasta que un día la lucha acabó en 
una pelea violenta con las sillas co-
mo armas. Llegados a la edad adul-
ta, cada uno siguió su propio camino 
- Erwin se trasladó a Berlín y se hizo 
químico- y, fuera de esporádicas 
reuniones familiares, tuvieron poco 
contacto. 
L a ambición de Werner por alcan-zar la cumbre se evidencia con 
claridad durante el período com-
prendido entre julio de 1925, cuando 
desarrolló, con sus colegas Born y 
Pascual J ordan, una descripción 
matemática de la mecánica cuántica, 
y febrero de 1927, cuando formuló las 
relaciones de imprecisión. La con-
fluencia de dos procesos convirtió en 
determinante ese afán durante dicho 
intervalo. 
En primer lugar, varias cátedras 
de física teórica quedaron de repente 
vacantes en la Europa central de len-
gua alemana. Esos cargos constituían 
una gran oportunidad para un aca-
démico ambicioso como Heisenberg, 
que ya se había habilitado en la 
Universidad de Gotinga, es decir, 
había sido reconocido apto para ocu-
par una cátedra de enseñanza uni-
versitaria. 
En segundo lugar, y quizá más 
importante, fue la aparición de una 
descripción matemática nueva y rival 
de la mecánica cuántica. Heisenberg 
y sus colegas habían desarrollado en 
1925 un formalismo de la mecánica 
cuántica, basado en las matemáticas 
abstractas del cálculo matricial. Para 
sus autores, esta "mecánica matri-
cial" incardinaba su voluntad de fun-
darse, de manera exclusiva, en mag-
nitudes observables en el laborato-
rio. Sostenían puntos esenciales como 
la existencia de saltos cuánticos y dis-
continuidades en los átomos, y recha-
zaban la idea de modelos atómicos 
visualizables (anschaulich). 
Erwin Schriidinger, un físico vie-
nés de 39 años que trabajaba enton-
ces en Zurich, atacaba los enigmas 
de la física atómica desde un punto de 
vista totalmente distintoy con obje-
tivos enteramente otros. En una serie 
de artículos publicados durante la 
primera mitad de 1926, Schriidinger 
presentaba una ecuación de ondas 
cuántica, basada en una hipótesis 
que había propuesto el doctorando 
francés Louis de Broglie. La idea, 
recibida favorablemente por Einstein, 
era que toda materia en movimiento 
podía considerarse como ondas. Schrb-
dinger, sirviéndose de esa noción, 
aducía que las "ondas de materia" del 
electrón excitaban modos armónicos 
de vibración en el interior del átomo. 
Estos armónicos reemplazaban los 
estados atómicos estacionarios de 
la teoría matricial; en vez de saltos 
cuánticos discontinuos, había tran-
siciones continuas de un armónico a 
otro. Si eso era verdad, Schrbdinger 
tornaba inútiles los puntos funda-
mentales de la mecánica matricial de 
Heisenberg. 
La mayoría de los físicos acogieron 
con satisfacción el enfoque más fami-
liar de Schrbdinger, a tendiendo poco 
a su manera de interpretarlo. Esta 
situación cambió bruscamente en 
mayo de 1926, cuando Schrbdinger 
publicó una prueba de que los dos 
formalismos rivales eran, de hecho, 
matemáticamente equivalentes. Hei-
senberg y sus colegas matriciales 
repusieron su causa y lo hicieron en 
términos que fueron adquiriendo por 
ambas partes tonos emocionales cre-
cientes. 
Schrbdinger no se mostraba muy 
cooperador. En su artículo sobre la 
equivalencia no pondera por igual los 
dos esquemas opuestos, sino que 
resaltaba la superioridad del suyo 
2. PERSONAS QUE INFLUYERON en la vida de Heisenberg. Debemos empezar por su abue-
lo, Nikolaus Wecklein (a), y su padre, August, que aparece con su esposa, Anna, y sus hi-
jos, Erwin (de pie) y Werner (b). Abuelo y progenitor inculcaron afán de triunfo académico 
en los dos muchachos. Heisenberg estudió con Niels Bohr (e), con quien más tarde de-
sarrolló la interpretación de Copenhague. Uno de los primeros rivales de Heisenberg fue 
Erwin Schrtidinger (d), cuyo formalismo ondulatorio constituía un reto a la mecánica ma-
tricial, elaborada por Heisenberg con Max Born (e) y Pascual Jordan (f, a la derecha). Wolf-
gang Pauli (g) fue una fuerza de primer orden, que ayudó a Heisenberg a elaborar el prin-
cipio de imprecisión en 1927. En 1929 Heisenberg se embarcó en una vuelta al mundo 
docente para difundir el "espíritu de Copenhague", llegando a los Estados Unidos, Japón, 
China y, finalmente, la India (h) . 
FENÓMENOS CUÁNTICOS 
propio. En una famosa nota al pie, 
llegó a escribir: "No veo ninguna co-
nexión genética de ningún tipo [en-
tre el trabajo de Heisenberg y el mío 
propio]. Por supuesto que conocía su 
teoría, pero me sentía desanimado, 
por no decir repelido, por los méto-
dos de álgebra trascendental, que a 
mí me parecieron difíciles, y por la 
falta de visualizabilidad [Anschau-
lichkeit]." 
En carta a su íntimo colega Wolf-
gang Pauli, Heisenberg respondía en 
el mismo tono: "Cuanto más pienso 
en el aspecto físico de la teoría de 
Schrbdinger, más repulsiva la encuen-
tro ... Lo que escribe Schrbdinger sobre 
la visualizabilidad de su teoría 'pro-
bablemente no es del todo correcto' 
[eco de una expresión típica de Bohr], 
en otras palabras, es basura [Mist]." 
La única ventaja del método de Schrii-
dinger, decía a quien quisiera oírlo, 
es que permite un cálculo simple de 
las probabilidades de transición ató-
micas, o probabilidades de saltos 
cuánticos, para poder insertarlas en 
las matrices de la mecánica cuántica. 
Pauli estaba de acuerdo. 
U na lectura detenida de las obser-vaciones nos revela que lo que 
provocó el conflicto no era la equiva-
lencia (Pauli la había probado sin 
más ni más un mes antes), sino lo 
que cada bando sacaba de ella. Hei-
senberg y su escuela matricial se 
habían empeñado a fondo en las pro-
piedades de la naturaleza que creían 
existir y estar incorporadas en su 
mecánica matricial. Habían apostado 
su futuro en ese enfoque. Schrbdinger 
había arriesgado su reputación en 
eliminar la discontinuidad y los sal-
tos cuánticos al parecer irracionales, 
resucitando la física de los movi-
mientos ondulatorios, racionales, cau-
sales y continuos. Ninguno de los dos 
bandos estaba dispuesto a conceder 
al otro la superioridad, y su proba-
ble consecuencia -el predominio pro-
fesional-. Se debatía nada menos 
que la naturaleza de la orientación 
futura de la mecánica cuántica. 
Este desacuerdo espoleó aún más 
la ambición académica de Heisenberg. 
Una semanas antes de que Schrb-
dinger publicara su prueba de la equi-
valencia, Heisenberg había renun-
ciado a una plaza de profesor en 
Leipzig, en favor del puesto de asisten-
te de Bohr en Copenhague. El incré-
dulo abuelo de Werner, Wecklein, se 
apresuró a viajar a Copenhague para 
disuadir a su nieto de tomar dicha 
opción, justamente cuando aparecía 
el artículo de Schrbdinger sobre la 
equivalencia. La presión renovada 
9 
,,_-.nra._ ----.. , . 
3. CARTA ESCRITA por Heisenberg a Wolfgang Pauli, en que deriva las relaciones de im-
precisión para p y q, donde P, = Y2 !::..p Y q, = Y2 !::..p. Este fragmento, tomado de una carta de 
14 páginas, fue la base de su artículo sobre el principio de imprecisión. 
de Wecklein y el desafío de Schrb-
dinger a las bases de la física matri-
cial redoblaron los esfuerzos de Hei-
senberg por producir un trabajo de 
tan alta calidad, que pudiera adqui-
rir amplia reputación profesional y 
le permitiera, en última instancia, 
hacerse con alguna otra cátedra va-
cante. 
Pero al menos tres sucesos de 1926 
ahondaron el profundo abismo in-
telectual entre sus propias ideas y 
el punto de vista de Schrbdinger. El 
primero fueron las conferencias de 
Schrbdinger en Munich sobre su nue-
va física, a fines de julio. Allí, mez-
clado en una audiencia multitudina-
ria, eljoven Heisenberg objetaba que 
la teoría de Schrbdinger dejaba sin 
explicar diversos fenómenos. No lo-
gró convencer a nadie, y abandonó 
desalentado la sala. A continuación, 
durante la reunión de otoño de los 
científicos y médicos alemanes, Hei-
senberg fue testigo del soporte abru-
mador -y a su juicio desquiciado-
en favor de las concepciones de 
Schrbdinger. 
Por último, en octubre de 1926 se 
produjo un tenso debate, aunque en 
último término inconcluso, entre Bohr 
y Schrbdinger en Copenhague. El 
resultado final de la disputa fue el 
reconocimiento de que no se disponía 
de ninguna interpretación entera-
mente aceptable, ni del uno ni del 
10 
otro formalismo cuántico. Quien 
encontrara tal interpretación, fuera 
persona o bando, podría dar cumpli-
miento, expresaba Bohr abierta-
mente, a sus "deseos" de cómo debiera 
ser la física del futuro. 
Puestas en marcha estas diversas motivaciones -personales, pro-
fesionales y científicas-, Heisenberg 
creyó, en febrero de 1927, haber dado 
de repente con la interpretación nece-
saria: el principio de imprecisión. Su 
progreso intelectual hacia esta idea, 
a finales de 1926 y principios de 1927, 
se apoya en la investigación de sus 
colegas más próximos, especialmente 
de J ardan y de Paul A. M. Dirac, quie-
nes formularon a la vez la "teoría de 
transformaciones", una amalgama 
de matemática ondulatoria y matri-
cial. El objetivo para Heisenberg y sus 
aliados era, en aquel momento, des-
cubrir un método irrefutable para 
incorporar las discontinuidades en 
el formalismo de Dirac y Jordan. 
De Pauli recibió Heisenberg un 
impulso vigorosísimo para la nueva 
interpretación. En una carta de 19 de 
octubre de 1926, al tiempo que le 
informaba de una cátedra vacante en 
Leipzig, Pauli aplicaba los estados 
atómicos estacionarios al primer estu-
dio de Born de ondas electrónicas 
libres. Según sus resultados, han de 
elegirse variables continuas para el 
momento lineal p y la posición qde 
un electrón atómico, pero en su com-
portamiento cuántico se manifestaba 
un "punto negro": "Ha de darse por 
sentado que las variables p están con-
troladas y las q incontroladas. Esto 
es, sólo se pueden calcular las proba-
bilidades de determinados cambios de 
las variables p, para unascondicio-
nes iniciales dadas, y promediando 
sobre todos los valores posibles de las 
variable q". Por tanto, no se puede 
hablar de un determinado '''camino' 
de la partícula", escribía Pauli, ni "se 
puede preguntar simultáneamente 
sobre el valor de la variable p y la 
variable q". 
Heisenberg respondió que estaba 
"muy entusiasmado" con la carta de 
Pauli y con ese punto negro, sobre el 
que hubo de reflexionar una y otra 
vez durante los meses siguientes. El 
entusiasmo de Heisenberg culminó en 
una carta de 14 páginas, enviada a 
Pauli el 23 de febrero de 1927. En 
ella presentaba prácticamente todos 
los elementos esenciales del artículo, 
que enviará a publicar un mes más 
tarde, titulado "Sobre el contenido 
intuitivo [anschaulichJ de la cine-
mática y la mecánica teórico-cuánti-
cas": el artículo de Heisenberg sobre 
la imprecisión. 
Habiendo deducido las relaciones 
de imprecisión a partir de razona-
mientos matemáticos y a partir de 
experimentos mentales, Heisenberg 
consideró la concordancia entre am-
bas deducciones como una prueba de 
la validez universal de la impreci-
sión. El argumento matemático co-
menzaba con una función de ondas 
correspondiente a una curva en forma 
de campana o, dicho matemática-
mente, a una distribución de pro-
babilidad gaussiana, para la varia-
ble q. El error en el conocimiento del 
valor exacto de q (llamado la desvia-
ción estándar) es delta q, que es-
cribimos !::..q . Usando el formalismo 
desarrollado por Dirac y Jordan, 
transformó Heisenberg la distribución 
gaussiana en la de su variable con-
jugadap. 
Al hacerlo, descubrió que, como 
consecuencia matemática, las des-
viaciones estándar de las dos distri-
buciones -es decir, las imprecisio-
nes en los valores de q y p- están en 
relación inversa una respecto a otra. 
Este carácter inverso puede gene-
ralizarse y expresarse mediante la 
relación 
h 
4rc ' 
donde h es la constante de Planck. 
A continuación demostró que este 
TEMAS 31 
resultado no es mero constructo mate-
mático, sino enteramente compati-
ble con cualquier experimento ima-
ginable que implique la medición 
simultánea de pares de variables con-
jugadas, como posición y momento 
lineal, o energía y tiempo. 
La compatibilidad con el experi-
mento se basaba, sin embargo, en 
diversas innovaciones que Heisenberg 
introducía al objeto de incorporar la 
discontinuidad y las partículas. Una 
de ellas era la re definición del término 
alemán anschaulich (intuitivo) que 
aparecía en el mismo título de su ar-
tículo, para significar "físico" o dotado 
de significado empírico, más que 
"visualizable" o pictórico. Con este 
cambio pretendía neutralizar las crí-
ticas de Schrodinger, de que una física 
de partículas discontinua es esen-
cialmente irracional y unanschau-
lich (no-intuitiva). Lo que se hallaba 
en íntima relación con otra innova-
ción: una re definición de conceptos 
clásicos, como posición, velocidad y 
trayectoria de una partícula atómica, 
en función de las operaciones expe-
rimentales usadas para medirlas, 
una forma de operacionalismo. Sólo 
lo que el físico puede medir tiene sig-
nificado real, y estas mediciones 
manifiestan siempre las relaciones 
de imprecisión. 
Para eljoven Heisenberg, el princi-pio de imprecisión culminaba y 
completaba la revolución cuántica, 
una revolución que incorporaba sus 
compromisos personales con los fun-
damentos que él mismo había ayu-
dado a establecer. Y, como para hacer 
callar toda objeción sobre este punto, 
concluía su artículo publicado con 
algunas pretensiones que iban mucho 
más allá del razonamiento matemá-
tico y el experimento mental. Con la 
teoría de transformaciones de Di-
rac-Jordan, declaraba, el formali s-
mo cuántico queda completo y resulta 
inalterable; las relaciones de impre-
cisión son verdaderas e irrefutables, 
porque son una consecuencia directa 
del formalismo . Todas las observa-
ciones experimentales anteriores y 
futuras de fenómenos atómicos están 
así sometidas a tal interpretación. 
Más aún, razonaba, aunque la física 
cuántica contenga un elemento esta-
dístico básico , éste no es una propie-
dad de la naturaleza misma. Aparece 
en virtud de la perturbación causada 
por los intentos del físico para ob-
servar la naturaleza. Finalmente, 
presentaba su primera afirmación 
explícita sobre la consecuencia más 
profunda de la imprecisión: un de-
safío a la causalidad. 
El principio de causalidad requiere 
que todo efecto sea precedido por una 
causa única. Esta idea había servido 
durante más de un siglo como hipó-
El experimento mental con el microscopio de rayos gamma 
P
ara demostrar el principio de imprecisión , Heisenberg 
ofreció un experimento mental. Usando un microsco-
pio cuya resolución era alta, por basarse en rayos gamma 
para su iluminación, intentó mostrar que la posición y el 
momento lineal del electrón obedecían al principio de impre-
cisión . Aunque Heisenberg logró los resultados correctos , 
Bohr le señaló que el experimento original descuidaba dos 
puntos esenciales : el poder de resolución del microscopio 
y la dualidad onda-corpúsculo. 
En la versión correcta , un electrón libre está directamente 
debajo de la lente (el objetivo) del microscopio. El objetivo 
circular forma un cono de ángulo 2e con vértice en el elec-
trón. El electrón es iluminado por un rayo gamma proveniente 
de la izquierda. Según un principio de óptica ondulatoria, el 
microscopio tiene capacidad de resolución para objetos de 
hasta un tamaño tlx, relacionado 
con e y con la longitud de la onda, 
'A. , mediante la expresión 
M = !::.sene 
2 
En el momento en que la luz se 
difracta en el objetivo del micros-
copio , el electrón retrocede hacia 
la derecha. Después de la colisión , 
el rayo gamma observado podría 
haberse dispersado con un ángulo 
cualquiera dentro del cono 2e . En 
el caso extremo de dispersión hacia 
adelante hasta tocar el punto del 
borde más a la derecha de la lente, 
el momento lineal en la dirección 
xsería 
, h e 
Px + T sen -, 
donde p'x es el momento lineal del 
electrón en la dirección x, 'A. , es la 
F ENÓMENOS CUÁNTICOS 
y 
longitud de onda del rayo gamma desviado, h es la cons-
tante de Plank (que relaciona la frecuencia del fotón con 
su energía), y ~ es el momento lineal total del fotón rayo 
gamma, según lo definen los principios cuánticos . En el 
otro extremo, el rayo gamma se dispersa hacia atrás, impac-
tando justamente en el borde izquierdo de la lente . En este 
caso, el momento lineal total en la dirección x es 
" h e p x - -;¡::: sen -. 
El momento lineal final en la dirección x ha de ser en 
ambos casos igual al lineal ; por consiguiente, 
P'x he" h e + T sen - = P x - -;¡::: sen - . 
LENTE-OBJETIVO 
DEL MICROSCOPIO 
Si e es pequeño, entonces es 
'A. , - 'A." - 'A. , 
p' ~ - p'x 2h !::"Px - T sene. 
Puesto que !::,.x = ~ sen e , exis-
te una relación inversa entre la im-
precisión mínima en la medida de 
la posición del electrón a lo largo 
del eje xy la de su momento lineal 
en la dirección x: 
h 
!::"Px - !::,.x· 
Para imprecisiones mayores que 
ese mínimo , puede introducirse 
una desigualdad 
tlpx • !::,.x ~ h, 
que aproxima la relación de impre-
cisión de Heisenberg . 
11 
tesis básica de prácticamente todas 
las formas de investigación racional. 
Se le reconoce al matemático francés 
Laplace la definición quizá más sim-
ple de causalidad, en su aplicación a 
la mecánica newtoniana: Si sabemos 
con exactitud la posición y el momento 
lineal de una partícula en un ins-
tante dado, conociéndose además 
todas las fuerzas que actúan sobre la 
partícula, su movimiento queda en-
tonces completamente determinado 
por las ecuaciones mecánicas para 
todo el futuro . 
El principio de impre-
cisión, asevera Heisen-
berg, niega eso. "En la for-
mulación estricta de la ley 
causal -si conocemos el 
presente, podemos calcu-
lar el futuro- no es falsa 
la conclusión, sino la pre-
misa." Los valores inicia-
les del momento lineal y 
la posición no puedenser 
simultáneamente medi-
dos con absoluta precisión. 
Razón por la cual, sólo 
puede calcularse una ga-
ma de posibilidades para 
la posición y el momento 
lineal de la partícula en un 
cierto tiempo futuro . Del 
movimiento real de la par-
tícula resultará, sin em-
bargo, una única posibili-
dad. La conexión causal 
entre presente y futuro se 
pierde, y las leyes y pre-
dicciones de la mecánica 
cuántica resultan de natu-
raleza puramente proba-
bilística, o estadística. 
enviárselo a Einstein, cumpliendo el 
ruego de Heisenberg, Bohr se le que-
jaba de que el enfoque del autor pe-
caba de excesiva estrechez y que el 
microscopio de rayos gamma era falso 
de arriba abajo, aunque el resultado 
fuera correcto. Para Bohr, las rela-
ciones de imprecisión no surgían sólo 
del formalismo , de las re-definiciones 
de los conceptos clá sicos y de la pri-
macía de la discontinuidad y los cor-
púsculos sobre las ondas continuas. 
También eran decisivas la dualidad 
berg era tan sólo un caso particular 
de lo que Bohr iba llamando ya com-
plementariedad. 
Heisenberg estaba en vehemente desacuerdo . Insistiendo en el 
empleo primordial de partículas y 
discontinuidad, rechazó de plano la 
sugerencia que le hizo Bohr de reti-
rar su artículo; lo había enviado en 
el ínterin a su publicación. Heisenberg 
no podía tolerar un uso extensivo de 
ondas o de nociones de mecánica ondu-
latoria , ni podía dejar de 
publicar su propia y más 
importante contribución 
al debate de la interpre-
tación. La subsiguiente 
batalla con Bohr se hizo 
tan intensa que , según se 
dice, durante uno de estos 
encuentros Werner esta-
lló en lágrimas e incluso 
consiguió ofender al im-
perturbable Bohr con al-
gunas observaciones du-
ras . Evidentemente había 
muchas cosas en juego 
para eljoven de 25 años: 
sus nuevas concepciones, 
sus planes académicos y 
quizá también su deseo 
de paridad intelectual con 
sus mentores. En mayo 
apareció su artículo en 
una de las principales re-
vistas de física alemanas , 
sin ninguna revisión; sí 
agregaba un breve post-
scriptum, donde admitía 
el error del microscopio y 
llamaba la atención del 
lector sobre algunos pun-
tos esenciales del r azo-
namiento de Bohr. 
El artículo de Heisen-
berg sobre el principio de 
imprecisión era profundo 
y trascendental en casi 
todos sus aspectos. Ade-
más de satisfacer estric-
4. HEINSEBERG a los 65 años, de vuelta a Leipzig para impartir un curso 
de conferencias como profesor invitado. Cayó enfermo años más tarde 
y murió de cáncer en 1976. 
Cuatro meses más tar-
de , Heisenberg había en-
jugado ya sus ojos y cam-
biado de tono: parecía 
estar agradecido por la tamente sus propósitos , el 
artículo de Heisenberg estaba "corta-
do a su medida". Cuando su mentor, 
Bohr, le señaló un error en el argu-
mento , Heisenberg defendió su posi-
ción obstinadamente en una batalla 
que en la primavera de 1927 degeneró 
en lo que Heisenberg llamó "gran 
malentendido personal" . El error 
implicaba la confianza absoluta de 
Heisenberg en la discontinuidad y 
los aspectos corpusculares del cuanto 
de luz , en uno de sus experimentos 
mentales básicos, el llamado micros-
copio de rayos gamma. 
Bohr, que había estado de va-
caciones en la nieve, se encontró so-
bre la mesa, a su regreso , el borra-
dor del artículo de Heisenberg. Al 
12 
onda-partícula y, en el microscopio de 
rayos gamma, la dispersión de ondas 
de luz sobre el electrón dentro del 
objetivo del microscopio. 
Las imágenes ondulatoria y cor-
puscular eran complementarias una 
de otra, descripciones mutuamente 
exclusivas pero conjuntamente esen-
ciales. Bohr objetaba que el experi-
mentador ha de elegir o la imagen 
ondulatoria o la corpuscular, para 
analizar con ella el experimento. El 
precio a pagar por dicha opción pro-
ducía una restricción sobre lo que 
podía enseñarnos el experimento, 
limitación que venía representada 
por las relaciones de imprecisión. 
Para Bohr, el argumento de Heisen-
crítica de Bohr. Tras ofrecer Bohr su 
primera presentación de la com-
plementariedad ante una audiencia 
reunida en el lago Como en septiem-
bre de 1927, Heisenberg, antes tan 
seguro de su imprecisión, brindó a 
Bohr el primero de sus generosos re-
conocimientos . En la versión publi-
cada de la discusión que siguió al ar-
tículo de Bohr en Como, Heisenberg 
le agradeció por esclarecer la impre-
cisión "en todos sus detalles" y por 
enunciar lo que vino a conocerse como 
la interpretación de Copenhague. 
El cambio de corazón en Heisenberg 
pudo haberse iniciado con la reali-
zación de su ambición . Porque el 
mismo mes del congreso de Como, se 
T EMAS 31 
enteró de su inminente llamada a la 
cátedra de Leipzig. Al menos había-
se cumplido esa meta. 
Al apaciguarse en Heisenberg el 
deseo de demostrar su capacidad y sus 
aportaciones a la mecánica cuántica, 
surgió en él otro que ahora incluía a 
Bohr: la voluntad de crear en Leipzig 
un programa de investigación per-
manente y de primera línea, basado 
en la física. Además de reforzar lo 
defectuosamente argumentado so-
bre la imprecisión, las explicaciones 
de Bohr proporcionaban un punto de 
apoyo para los seguidores del danés 
que, como Heisenberg, estaban ansio-
sos por una física completa que poder 
propagar desde sus cátedras recién 
adquiridas y explotar en sus artícu-
los. Heisenberg y otros discípulos de 
Bohr ya no prestaron su fidelidad a 
programas y descubrimientos indi-
viduales, como la mecánica matricial 
o la imprecisión, sino al "espíritu de 
Copenhague". 
Heisenberg y otros consiguieron 
asegurar la aceptación de su inter-
pretación, a pesar de las prolongadas 
objeciones de Einstein y Schrbdin-
ger. Durante la media década que 
siguió a la reunión de Como y el ulte-
rior congreso Solvay, Heisenberg y su 
instituto produjeron teorías cuánti-
cas muy importantes: cristales de 
estado sólido, estructura molecular, 
dispersión de radiación por núcleos, 
y la estructura neutrónico-protónica 
de los núcleos. Con otros expertos, 
dieron pasos de gigante hacia una 
teoría cuántica de campos relativis-
ta y sentaron los fundamentos de la 
investigación sobre física de altas 
energías. 
Tales éxitos atrajeron a los mejo-
res alumnos hacia institutos como el 
de Heisenberg. Esos estudiantes, 
amamantados con la doctrina de 
Copenhague, formaron una nueva 
generación de físicos, predominante, 
que difundieron por todo el mundo 
esas ideas, cuando el ascenso de Hitler 
al poder, en los años treinta, les obligó 
a emigrar y dispersarse. 
Heisenberg y otros de la escuela de 
Copenhague no consumieron mucho 
tiempo en explicar su doctrina a los 
que no viajaron a los institutos euro-
peos. Aquél, en particular, encontró 
en los Estados Unidos un campo fér-
til para el proselitismo. Durante una 
vuelta alrededor del mundo con Dirac 
en 1929, Heisenberg impartió en la 
Universidad de Chicago unas clases 
sobre la doctrina de Copenhague que 
tuvieron un enorme impacto. En el 
prólogo a la publicación de esas cla-
ses, escribió: "El objetivo de este libro 
me parece que quedará alcanzado, si 
FENÓMENOS CUÁNTICOS 
contribuye de alguna manera a la 
difusión de este Kopenhagener Geist 
der Quantentheorie ... [espíritu de 
Copenhague de la física cuántica ... J, 
que ha dirigido todo el desarrollo de 
la moderna física atómica." 
El suministrador de ese espíritu 
retornó a Leipzig con sus primeros 
compromisos científicos, esta vez 
ampliamente aceptados por una pro-
fesión que le proporcionó posiciones 
prominentes en el aspecto insti-
tucional y en el aspecto científico. En 
1933 la profesión le otorgó a Heisen-
berg, con Schrbdinger y Dirac, el reco-
nocimiento supremo de su trabajo: el 
premio Nobel. 
Aunque se le celebre, con todajus-ticia, como uno de los físicos más 
eminentes de los tiempos modernos, 
no han faltado voces que le han cri-
ticado su comportamiento tras la 
subida de Hitler al poder. No militó 
nunca en el partido nacionalsocia-
lista, pero ocupó cargos académicos 
de altísimo rango y se convirtió en 
interlocutorde la cultura alemana 
en los territorios ocupados. Recha-
zando repetidos ofrecimientos de emi-
gración, dirigió el principal esfuerzo 
de investigación sobre la fisión del 
uranio para el Tercer Reich. Después 
de la guerra ofreció diversas expli-
caciones de sus actividades, que 
empañaron aún más su reputación en 
el extranjero. La enigmática yuxta-
posición de ese comportamiento cues-
tionable y una física brillante refleja 
los delicados compromisos del cien-
tífico y la ciencia durante un siglo 
turbulento ya veces brutal. Hijo leal 
de Alemania, Heisenberg, que veía 
tan profundamente en la naturaleza, 
encontró difícil distinguir y aceptar 
cuán trágicamente se había des-
carriado su país. Murió de cáncer 
de riñón y vesícula biliar en su casa de 
Munich en 1976. 
BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA 
THE SHAKY GAME: EINSTEIN, REALISM AND 
THEQUANTUMTHEORY. ArthurFine. Uni-
versity of Chicago Press , 1986. 
SCHRÓDINGER: LIFE AND THOUGHT. Walter 
1. Moore. Cambridge University Press, 
1989. 
NIELS BOHR 'S TLMES: IN PHYSICS, PHlLO-
SOPHY AND POLlTY. Abraham Pais. Ox-
ford University Press, 1991. 
UNCERTAINTY: THE LIFE AND SCfENCE OF 
WERNER HEISENBERG. David C. Cassidy. 
W. H. Freeman and Company, 1991. 
LA SEGUNDA LEY 
P. W. ATKINS 
Un volumen de 22 x 23,5 cm 
y 230 páginas, profusamente 
ilustrado en negro y en color. 
SUMARIO 
• Disimetría de la naturaleza 
• El indicador del cambio 
• Colapso en el caos 
• Cuenta y razón del caos 
• Potencia del caos 
• Transformaciones del caos 
• Potencias 
de la temperatura 
• Caos constructivo 
• Estructuras del caos 
• Aspectos formales 
• Juegos 
Prensa Científica, S. A. 
13 
Dirac y la belleza 
de la física 
Prefería la teoría bella a la corroborada con hechos 
pero fea porque, advertía, los hechos cambian. 
Ello le llevó a predecir la existencia de antimateria 
R. Corby Hovis y Helge Kragh 
A
los físicos distinguidos que vi-
. sitan la Universidad de Moscú 
se les pide que dejen en cierta 
pizarra una sentencia para la poste-
ridad. Niels Bohr, el padre de la teo-
ría cuántica del átomo, escribió allí 
la divisa de su famoso principio de 
complementariedad: "Contraria non 
contradictoria sed complementa sunt" 
("los contrarios no son contradictorios 
sino complementarios"). Hideki Yu-
kawa, el pionero de la moderna teo-
ría de las fuerzas nucleares fuertes, 
grabó con tiza la frase : "La natura-
leza es , por esencia, simple". Paul 
Adrien Maurice Dirac eligió el epí-
grafe: "U na ley física tiene que poseer 
belleza matemática". 
Hace exactamente 40 años Dirac 
escribía en ScientificAmerican: "Dios 
es un matemático excepcional, que 
usó matemáticas muy avanzadas pa-
ra construir el universo."[Véase "La 
concepción física de la naturaleza", 
TEMAS DE INVESTIGACIÓN y CIENCIA, 
número 10]. Inspirado por las concep-
ciones de Albert Einstein y Hermann 
Weyl, Dirac llegó a preocuparse, más 
que cualquier otro físico moderno, de 
la ide.a de "belleza matemática" como 
rasgo intrínseco de la naturaleza y 
como guía metodológica para su in-
vestigación científica. "Una teoría 
con belleza matemática es más pro-
bablemente correcta que otra fea, 
aunque ésta case con unos cuantos 
datos experimentales", aseguraba. 
La preocupación de Dirac por la 
estética y la lógica de la física mate-
mática,junto con su reticencia e intro-
versión legendarias han hecho de él 
una de las figuras más enigmáticas 
entre los grandes científicos del si-
glo xx. Desgraciadamente, su racio-
nalismo exagerado parece haberle 
conducido también a desviaciones 
estériles, tras unos años iniciales de 
éxito asombroso. Entre los 23 y los 
14 
31 años Dirac descubrió una original 
y potente formulación de la mecánica 
cuántica, una teoría cuántica de la 
emisión y absorción de radiación por 
los átomos (una versión primitiva 
pero importante de la electrodiná-
mica cuántica) , la ecuación de ondas 
relativista para el electrón, la idea 
de antipartículayuna teoría de mono-
polos magnéticos . Con todo, muy 
pocas de sus contribuciones ulterio-
res tuvieron valor perdurable, y nin-
guna el carácter revol ucionario de su 
obra inicial. 
Dirac había nacido en 1902 en Bris-tol, como el segundo de tres hijos, 
en el seno de una familia que hoy tilda-
ríamos de disfuncional. La calamidad 
de la familia era su cabeza, Charles 
Adrian Ladislas Dirac, que había emi-
grado de Suiza a Inglaterra hacia 
1890, y había encontrado y tomado por 
esposa allí a Florence Hannah Holten, 
la hija de un capitán de barco. Charles 
se ganaba la vida enseñando su len-
gua nativa, el francés, en el Instituto 
Técnico Merchant Venturers' de Bris-
tol, en el que fue tristemente famoso 
por imponer una rígida disciplina. El 
hogar Dirac era gobernado por él según 
los mismos principios de organiza-
ción militar. Obviando toda manifes-
tación de sentimientos e identificando 
amor paterno con disciplina, aprisionó 
a sus hijos en una tiranía doméstica 
que les aisló de la vida social y cul-
tural. N o pudiendo o no queriendo su-
blevarse, Paul se refugió en la segu-
ridad del silencio y se distanció de su 
padre. Esos años de infelicidad le mar-
caron para toda la vida. Al morir 
Charles Dirac en 1936, Paul no se afli-
gió. "Me siento ahora mucho más li-
bre", le escribía a su mujer. 
Paul poseía un rico mundo interior 
donde refugiarse. A una edad muy 
temprana mostró su aptitud por las 
matemáticas . A los 12 años se ins-
cribió en el Merchant Venturers', cen-
tro que, a diferencia de la mayoría de 
los demás de su tiempo, no ofrecía una 
educación clásica en latín y griego, 
sino un plan de estudios moderno, 
con ciencias, lenguas modernas y ofi-
cios. Estos estudios se adecuaban 
muy bien a Dirac, pues, según él 
mismo dijo, "no apreciaba el valor de 
las culturas antiguas". Una vez aca-
bado este programa de nivel secun-
dario, pasó a otra institución ubicada 
en los mismos edificios, la escuela de 
ingeniería de la Universidad de Bris-
tol. Allí se preparó en la especialidad 
de electricidad, no por tener gran 
interés en la ingeniería, sino por creer 
que eso daría gusto a su padre. 
El plan de estudios de ingeniería 
excluía toda materia que no fuese 
física aplicada o matemáticas. A pesar 
de estas omisiones, Dirac sintió la 
fascinación y obtuvo pronto el domi-
nio de las nuevas teorías einsteinia-
nas del espacio, el tiempo y la gravi-
tación -las teorías de la relatividad 
especial y general. 
Cuando Dirac se graduó en 1921, con las máximas clasificaciones, 
la depresión económica de la pos-
guerra parecía que iba a dejarle sin 
trabajo. Le salvó una beca para estu-
diar matemáticas en Bristol, tras la 
cual, en el otoño de 1923, comenzó sus 
estudios de posgrado de matemáticas 
y física teórica en la Universidad de 
Cambridge, constituida por entonces 
en centro de científicos consumados 
(Joseph Larmor, J. J. Thomson, Ernest 
Rutherford, Arthur Stanley Eddington 
y James J ean) y de jóvenes estrellas 
(James Chadwick, Patrick Blackett, 
RalphFowler, EdwardMilne, Douglas 
R. Hartree y Peter Kapitza). A Dirac 
se le asignó Fowler como director de 
tesis, y de él aprendió teoría atómica 
TEMAS 31 
y mecánica estadística, materias que 
no había estudiado anteriormente. 
De estos días recordará más tarde: 
"Me encerraba totalmente en el traba-
jo científico, y perseveraba en él muy 
a gusto día tras día, excepto los domin-
gos, en que descansaba y, si el tiempo 
era bueno, me daba un largo paseo soli-
tario por el campo". 
A los seis meses de su llegada a la 
universidad, publicaba Dirac su pri-
mer artículo científico, y en los dos 
años siguientes publicó 10 más. Al 
momento de concluir su tesis docto-
ral, en mayo de 1926, había descu-
bierto una formulación original de la 
mecánica cuántica, y había impar-
tido un curso de mecánica cuántica, 
el primero ofrecido en una universi-
dad británica. Al cabo de sólo 10 años 
. de pisar Cambridge, recibirá el No-
bel de física, por su "descubrimiento 
de nuevas y fructuosas formulacio-
nes de la teoría de los átomos... y por 
sus aplicaciones". 
L os ocho años de esplendor de Dirac comenzaron un buen día del mes 
de agosto de 1925, en el que recibió 
de Fowler las pruebas de imprenta 
de un artículo aún no publicado de 
Werner Heisenberg, un joven físico 
teórico alemán. El artículo trazaba 
las bases matemáticas de una revo-
lucionaria teoría de los fenómenos 
atómicos, que será pronto conocida 
como "mecánica cuántica". Dirac se 
dio cuenta inmediatamente de que el 
trabajo de Heisenberg abría una vía 
enteramente nueva de contemplar el 
mundo a una escala ultramicroscó-
pica. Durante el año siguiente refor-
muIó la intuición básica de Heisen-
berg, estableciendo una teoría original 
de la mecánica cuántica, que fue cono-
cida como álgebra de "números-q", 
por denominar así Dirac las magni-
tudes físicas "observables", tales como 
posición, momento o energía. 
Aunque este trabajo le ganó pronto 
a Dirac un reconocimiento interna-
cional, muchos de sus resultados 
habían sido obtenidos simultánea-
mente por un potente grupo de físi-
cos teóricos que trabajaban en Ale-
mania, entre ellos Heisenberg, Max 
Born, Wolfgang Pauli y Pascual 
Jordan. Dirac competía abiertamente 
con ellos. Born, Heisenberg y J ordan 
elaboraron el esquema inicial de Hei-
senberg mediante el álgebra de matri-
ces. Luego, en la primavera de 1926, 
el físico austríaco Erwin Schrodinger 
elaboró otra teoría cuántica, la mecá-
nica ondulatoria, que conducía a los 
mismos resultados que las teorías 
más abstractas de Heisenberg y Dirac, 
y se prestaba más fácilmente al cálcu-
FENÓMENOS CUÁNTICOS 
lo. Muchos físicos sospechaban que 
esos tres sistemas eran meras re-
presentaciones particulares de una 
teoría más general de la mecánica 
cuántica. 
Durante una estancia de seis meses 
en el Instituto de Física Teórica de 
Copenhague, Dirac encontró esa teo-
ría general que tantos investigado-
res habían esperado -un sistema 
que subsumía todos los esquemas 
particulares y proporcionaba reglas 
definidas para transformar un es-
quema en otro. Esta "teoría de trans-
1. "ERA ALTO, macilento, desmañado y extremadamente taciturno", escribió el físico y bió-
logo alemán Walter Elsasser. "Había logrado que todo lo que en él había se pusiese en un 
solo afán. Era hombre de altísima categoría en un campo, pero al que había quedado poco 
interés y competencia para otras actividades humanas ... En otras palabras, era el prototipo 
de mente matemática superior. Mientras que en otros ésta había coexistido con una multi-
tud de intereses, en el caso de Dirac todo confluía hacia la realización de su gran misión his-
tórica, el establecimiento de la nueva ciencia, la mecánica cuántica, a la que probablemen-
te contribuyó como el que más." 
15 
Hechos memorables 
En 1931, siendo profesor en Cambridge , 
Nevill Mott escribía a sus padres : "Dirac 
se parece mucho a la idea que nos hemos 
formado de Gandhi. Le hemos tenido aquí 
a cenar .. . Ha sido una cenita estupenda, 
pero estoy seguro de que no le habría 
preocupado si no le hubiéramos dado más 
que 'porridge' (gachas de avena) . Se va 
a Copenhague por la ruta del mar del 
Norte porque piensa que debe curarse a 
sí mismo de los mareos en barco. Es total-
mente incapaz de aparentar que piensa 
algo que realmente no piense. En la época J. Robert Oppenheimer 
de Galileo habría sido un mártir muy satis-
fecho". Dirac asistió una vez a un almuerzo 
ha dicho que sabía francés? Contestación 
concisa de Dirac: "Usted nunca me lo pre-
guntó". 
Cuando Dirac pasó por Berkeley camino 
del Japón en 1934, J. Robert Oppenhei-
mer salió a su encuentro y le ofreció dos 
libros que le ocuparan durante el viaje . 
Dirac cortésmente los rechazó, diciendo 
que el leer libros impide pensar. Una vez 
el físico ruso Peter Kapitza dio a Dirac una 
traducción inglesa de Crimen y castigo, 
de Dostoievski. Pasado cierto tiempo , Ka-
pitza le preguntó si había disfrutado. A lo 
que respondió : "Es un libro bonito, pero en 
uno de los capítulos el autor comete un 
error . Describe el sol saliendo dos veces 
en un mismo día." 
con Eugene Wigner y Michael Polanyi. Se entabló allí una viva discusión sobre 
ciencia y sociedad , durante la cual Dirac 
no dijo una palabra. Interpelado para que 
interviniera y diera su opinión, respondió : 
"Siempre hay más gente dispuesta a hablar 
que dispuesta a escuchar". Un físico fran-
cés que a duras penas hablaba inglés 
acudió en cierta ocasión a visitarle. Dirac 
le escuchaba pacientemente mientras el 
pobre hombre se esforzaba por encontrar 
las palabras inglesas correctas con que 
exponer su asunto. En ese momento entró 
en la habitación su hermana y le pregun-
tó a Dirac algo en francés , a lo que él con-
testó también en un fluido francés. Na-
turalmente el visitante se puso furioso, y 
Eugene Wigner le preguntó indignado: ¿Por qué no me Peter Kapitza 
formaciones" de Dirac, junto con otra 
teoría semejante elaborada al mismo 
tiempo por Jordan, proporcionó la 
base de todos los ulteriores desarro-
llos de la mecánica cuántica. 
E126 de diciembre de 1927 el físico inglés Charles G. Darwin (nieto 
del famoso naturalista) escribía a 
Bohr: "He estado en Cambridge hace 
pocos días y he visto a Dirac. Acaba 
de obtener un sistema de ecuaciones 
completamente nuevo para el elec-
trón, que proporciona el espín correcto 
en todos los casos, y parece ser 'la 
cosa'. iSuS ecuaciones son ecuacio-
nes diferenciales de primer orden, y 
no de segundo!". 
La ecuación de Dirac para el elec-
trón era realmente "la cosa", pues 
satisfacía inmediatamente las exi-
gencias de la teoría especial de la 
relatividad, y daba cuenta del "espín" 
del electrón experimentalmente ob-
servado, que puede tomar uno de los 
dos valores, +112 o -112 , "arriba" o 
"abajo" . La ecuación original de 
Schrodinger no había logrado hacer 
esto, porque no era relativista, y su 
extensión relativista, la ecuación de 
16 
Klein-Gordon, no podía dar cuenta 
del espín. 
El uso de derivadas sólo de primer 
orden era crucial por dos razones. En 
primer lugar, Dirac deseaba conser-
var la estructura formal de la ecua-
ción de Schrodinger, que contenía una 
derivada de primer orden en el tiempo. 
En segundo lugar , necesitaba satis-
facer las exigencias de la relatividad, 
que ponen en pie de igualdad espacio 
y tiempo. La difícil reconciliación dira-
quiana de los dos criterios era a la vez 
bella y funcional: al aplicar la nueva 
ecuación al caso de un electrón que 
se mueve en un campo electromag-
nético, salía automáticamente el valor 
correcto del espín del electrón. 
Esta deducción de una propiedad 
a partir de primeros principios impre-
sionó a los físicos, que aludían a la 
ecuación como "un milagro" y "una 
absoluta maravilla", y se dedicaban 
a analizar sus sutilezas. Esta línea 
de investigación condujo al nacimien-
to del análisis espinorial -potente 
herramienta matemática para ana-
lizar problemas de prácticamente 
todas las ramas de la física- y con-
dujo también al desarrollo de la ecua-
ción de ondas relativista para partí-
culas con espín distinto de 112. Otro 
éxito consistió en que Dirac y otros , 
aplicando esta ecuación al átomo de 
hidrógeno, lograron reproducir exac-
tamente las líneas observadas en su 
espectro. Al cabo de un año escaso de 
su publicación, la ecuación de Dirac 
se había convertido en lo que sigue 
siendo hoy: una piedra angular de la 
física moderna. 
Además de adorador de la lógica matemática, Dirac era maestro 
consumado de la intuición. Estos ras-
gos intelectuales de contradictoria 
apariencia destacaron, más que en 
ningún otro asunto, en su desarrollo 
de la teoría de los "agujeros" entre 
1929 y 1931. Con dicha teoría alum-
bró todo un mundo que había escapa-
do al conocimiento de los físicos. 
La teoría surgió cuando Dirac se 
dio cuenta de que su ecuación no sólo 
tenía soluciones correspondientes a 
los electrones de energía positiva, 
sino también otras correspondientes 
a electrones de energía negativa. 
Tales partículas deberíanmostrar 
propiedades muy peculiares. Además, 
TEMAS 31 
Porque se lo aconsejaron, leyó también 
Guerra y paz de Leon Tolstoi; tardó dos 
años en acabar la novela. 
tía exactamente lo que acababa de decir, 
usando las mismísimas palabras. 
Dirac rehuía la publicidad. En un primer 
momento, se sintió tentado de no acep-
tar el Nobel. El día en que se anunció su 
nombramiento para la cátedra Lucasiana, 
se escapó al zoo para evitar las muchas 
felicitaciones . Rechazó todos los docto-
rados honoris causa -por más que se le 
otorgaran muchos en su ausencia, y por 
lo que parece sin su aceptación. 
Alrededor de 1950 se le asignó la tutoría 
del doctorado en Cambridge de Dennis 
Sciama. Cierto día, entró éste entusias-
mado en el despacho de Dirac: "Profesor, 
se me acaba de ocurrir un método de rela-
cionar la formación de las estrellas con 
las cuestiones cosmológicas. ¿Quiere que 
se lo cuente?" Respuesta de Dirac: "No". 
Se acabó la conversación . Parece que 
Dirac no se daba cuenta de que su bre-
vedad y franqueza podía percibirse como 
descortesía o insolencia. En sus clases 
se esforzaba por presentar su manual con 
la máxima lucidez y claridad . Consideraba 
absurdo modificar esas frases cuidado-
samente elegidas sólo porque no hubie-
sen sido entendidas. Más de una vez 
alguien de la audiencia le pidió repetir un 
pasaje que no se había entendido, dando 
a entender que le agradaría oír una acla-
ración ulterior . En tales casos Dirac repe-
Escribía en 1977: "De todos los físicos que 
he conocido, creo que ninguno me ha 
parecido más estrechamente semejante 
a mí que Schrodinger. Con él me ponía 
de acuerdo antes que con ningún otro. 
Creo que la razón de ello es que 
Schródinger y yo teníamos en común un 
enorme aprecio por la belleza matemá-
tica ... Para nosotros era una especie de 
acto de fe que cualesquiera ecuaciones 
que describan leyes fundamentales de la 
naturaleza tienen que encerrar en sí una 
gran belleza matemática." 
las partículas de energía positiva 
deberían ir cayendo constantemente 
a esos estados de energía negativa , 
iprovocando así el derrumbe de nues-
tro mundo circundante! 
A finales de 1929 encontró unaesca-
patoria al enigma creado por la apa-
rente necesidad de que se den en la 
naturaleza electrones de energía 
negativa. Imaginó que el vacío cons-
tituía un "mar" uniforme de estados 
de energía negativa, todos llenos de 
electrones. Puesto que el principio de 
exclusión de Pauli prohíbe que dos 
electrones ocupen el mismo estado 
cuántico, los electrones de energía 
positiva se mantendrían por encima 
del mar invisible, formando los esta-
dos "excitados" que observamos en la 
naturaleza. Un estado excitado podría 
crearse también inyectando suficiente 
energía positiva para extraer del mar 
un electrón, proceso que dejaría un 
"agujero" en el que podría caer otro 
electrón de energía negativa. "Estos 
agujeros serían objetos de energía 
positiva, y por consiguiente serían 
en este respecto semejantes a las par-
tículas ordinarias", escribía Dirac a 
principios de 1930. 
FENÓMENOS CUÁNTICOS 
Erwin Schr6dinger 
Pero, ¿con qué partícula podría 
identificarse un agujero? En aquel 
tiempo, dos eran los candidatos ima-
ginables , y ambos fueron considera-
dos por Dirac: el protón y el electrón 
positivo. Su primera elección, el pro-
tón, se enfrentó casi inmediatamente 
con dos serias dificultades. En primer 
lugar, era de suponer que un elec-
trón podría caer ocasionalmente den-
tro de un agujero y llenarle , en cuyo 
caso ambos se aniquilarían produ-
ciendo un destello de luz (rayos 
gamma). Pero tales aniquilaciones 
protón-electrón no se habían ob-
servado nunca. En segundo lugar, re-
sultaba evidente que el candidato 
correcto tenía que ser idéntico al elec-
trón en todos los aspectos, salvo en 
la carga eléctrica; sin embargo, la 
masa del protón, como era bien sabido, 
multiplicaba unas 2000 veces la del 
electrón. 
Con todo, llevado del deseo de sim-plicidad, Dirac estaba a favor del 
protón como agujero. En 1930 elec-
trón y protón eran las únicas partí-
culas fundamentales conocidas, y no 
le apetecía lo más mínimo introdu-
cir una entidad nueva e inobserva·da. 
Además, si los protones podían ser 
interpretados como estados de ener-
gía negativa no ocupados por electro-
nes, el número de partículas elemen-
tales se reducía a una, el electrón. Tal 
simplificación era "el sueño de los fi-
lósofos", según declaraba Dirac. 
Pero las objeciones a esa interpre-
tación inicial de los agujeros resul-
taron pronto abrumadoras, y en mayo 
de 1931 Dirac se decidió, a su pesar, 
por el segundo candidato a agujero , 
el antielectrón: "Un nuevo tipo de par-
tícula, desconocido de la física expe-
rimental, que tiene la misma masa 
que el electrón y carga opuesta". La 
total simetría en esta teoría entre 
cargas positivas y negativas le impul-
só a admitir también el antiprotón en 
el ámbito de la existencia teórica. 
Dirac doblaba así el número de par-
tículas elementales que había de ad-
mitirse, y fijaba las bases para espe-
cular sobre mundos enteros hechos 
de antimateria. 
Dirac defendía también la exis-
tencia de otra partícula hipotética, el 
mono polo magnético, que tendría una 
carga magnética aislada, como tienen 
carga eléctrica el electrón o el protón. 
Ni aun hoy contamos con una prueba 
experimental concluyente en favor 
de los monopolos . 
En septiembre de 1932 fue elegido 
para la cátedra Lucasiana de Cam-
bridge, la famosa cátedra de matemá-
ticas que en su tiempo había ocupado 
Newton durante 30 años, y en la que 
Dirac permanecerá 37 años (actual-
mente la ocupa Stephen W. Hawking). 
Ese mismo mes, Carl D. Anderson, un 
joven físico experimental del Instituto 
de Tecnología de California, enviaba 
a Science un artículo en el que des-
cribía la detección , en los rayos cós-
micos, de "una partícula cargada po-
sitivamente que poseía una masa 
comparable a la del electrón". Aunque 
el descubrimiento no estaba en modo 
alguno inspirado por la teoría de Di-
rac, la nueva partícula, apodada "posi-
trón" , será universalmente identifi-
cada con el antielectrón de Dirac. En 
diciembre de 1933, al recibir su pre-
mio Nobel en Estocolmo, Dirac, a los 
31 años, daba su conferencia sobre la 
"Teoría de electrones y positrones". 
Tres años después Anderson, tam-
bién de 31 años , recibía el premio 
N obel por haber sacado la partícula 
de Dirac del ámbito de lo hipotético. 
L a electrodinámica cuántica (EDC) es el nombre dado a la teoría cuán-
tica del campo electromagnético . 
Hacia mediados de los años 30, los 
intentos de formular una teoría cuán-
17 
tica de campos relativista satisfac-
toria habían alcanzado una situación 
de crisis, y muchos físicos llegaban a 
la conclusión de que era necesario 
cambiar drásticamente ideas físicas 
fundamentales. Dirac había hecho 
contribuciones pioneras a la EDC al 
final de los años 20, y se dolía de los 
defectos del esquema teórico exis-
tente, construido en torno a una teo-
ría propuesta por Heisenberg y Pauli 
en 1929. Dirac llamaba a esa teoría 
ilógica y "fea". Además, los cálculos 
realizados con ella conducían a inte-
grales divergentes -infinitos- a las 
que no cabía atribuir ningún sentido 
físico. En 1936, Dirac elaboró una 
teoría alternativa en la que no se con-
servaba la energía. Aunque esta pro-
puesta radical fue pronto refutada 
por los experimentos, Dirac siguió 
. criticando la teoría de Heisenberg-
Pauli, y buscando -casi obsesiva-
mente- una mejor. En una mirada 
retrospectiva a su carrera, escribía 
en 1979: "Me he pasado la vida inten-
tando sobre todo encontrar ecuacio-
nes mejores para la electrodinámica 
cuántica, hasta ahora sin éxito, pero 
continúo trabajando en ello". 
Un camino lógico hacia una EDC 
mejor consistiría en utilizar, como 
trampolín, una teoría clásica del elec-
trón más perfecta. En 1938 Dirac si-
guió esta estrategia, y construyó una 
teoría del electrón clásico-relativista, 
que perfeccionaba mucho la antigua 
teoría elaborada por H. A. Lorentz a 
principiosde siglo. La teoría de Dirac 
daba como resultado una ecuación de 
movimiento exacta para el electrón, 
tratado como partícula puntual. Pues-
to que la teoría eliminaba los infini-
tos y los términos mal definidos, pare-
cía plausible que condujera a una 
EDC libre de divergencias. Pero el 
crear una versión mecánico-cuántica 
satisfactoria de la teoría clásica 
resultó ser más engorroso de lo que 
Dirac había previsto. Luchó -en 
vano- con este problema a lo largo 
de más de 20 años. 
Durante el bienio 1947-1948 sur-gió una nueva teoría de EDC que 
resolvía, en un sentido práctico, la di-
ficultad de los infinitos que habían 
arruinado anteriormente los cálcu-
los. Los iniciadores de la nueva teoría 
-Sin-itiro Tomonaga en Japón, y Ri-
chard Feynman, Julian Schwinger y 
Freeman Dyson en Estados U nidos-
propusieron un procedimiento de 
"renormalización", en el que los infi-
nitos que resultaban en los cálculos 
teóricos se reemplazaban por expre-
siones de los valores de la masa y la 
carga del electrón experimentalmen-
te medidos. Este procedimiento de 
sustraer cantidades (de hecho) infi-
nitas permitía hacer predicciones 
enormemente precisas, y los muchos 
triunfos experimentales de la teoría 
convencieron a los físicos de que la 
renormalización debía aceptarse co-
mo el método de hacer EDC. 
Dirac, sin embargo, se resistió a 
aceptar el método de renormaliza-
ción, juzgándole tan "complicado y 
feo" como el viejo de Heisenberg y 
Pauli. Una teoría que opera con tru-
cos matemáticos ad hoc no dictados 
directamente por principios físicos 
básicos -argüía- no puede ser bue-
na, por bien que concuerde con los 
resultados experimentales. Pero sus 
objeciones solían dejarse de lado. Al 
final de su vida no tuvo más remedio 
~ ..... ~~ Q4 Q,~ ~tl-T~ ~~~ 
~ ~ ti.. ~ ~~ (l.~. t4f'J ~~) eN. ~ 
2. EL CONCEPTO DE ANTIMATERIA, que introdujo Dirac en 1931, surgía directamente de su 
teoría de los "agujeros", bosquejada aquí en una carta a Niels Bohr con fecha 26 de no-
viembre de 1929, que ilustra, en pulcra escritura, la claridad y concisión que le definían. 
18 
que admitir, no sólo que se había qiIe-
dado aislado en la comunidad cien-
tífica, sino también que ninguna de 
sus muchas propuestas para recons-
truir la EDC había tenido éxito. 
La lucha de Dirac por una teoría 
cuántica de campos distinta obtuvo, 
no obstante, algunos subproductos 
valiosos. Uno de ellos fue la impor-
tante teoría clásica del electrón antes 
mencionada. Otro fue una notación 
para la mecánica cuántica conocida 
como el formalismo de "bras" y "kets" 
(del inglés "bracket", paréntesis), que 
introducía elegantemente en la física 
cuántica las potentes matemáticas 
de espacios vectoriales (o "espacios de 
Hilbert", como se les designa a veces). 
Este formalismo se difundió amplia-
mente a través de la tercera edición 
(1947) de su prestigioso libro de texto 
Principios de mecánica cuántica, y ha 
sido desde entonces el lenguaje mate-
mático preferido para este tema. 
Por lo general, Dirac sólo había tra-
bajado en áreas de la teoría cuántica 
muy especializadas. Resultó por ello 
algo sorprendente que en 1937 se 
aventurara a entrar en la cosmolo-
gía con una idea nueva, y que luego 
la desarrollara hasta obtener un mo-
delo concreto de universo. Su interés 
por este tema había sido inspirado en 
gran parte por dos de sus antiguos 
profesores de Cambridge, Milne y 
Eddington, y por discusiones con un 
brillante joven astrofísico indio, Su-
brahmanyan Chandrashekhar, cuyo 
trabajo de doctorado en Cambridge 
había dirigido en parte Dirac. Al prin-
cipio de los años 30, Eddington se 
había embarcado en un programa de 
investigación ambicioso y heterodoxo, 
que pretendía deducir las constantes 
fundamentales de la naturaleza enla-
zando teoría cuántica y cosmología. 
Esta búsqueda de una "teoría funda-
mental", según la llamaba Eddington, 
extendió la investigación racional 
hasta introducirla en el ámbito de la 
especulación metafísica -produ-
ciendo, según acusaba un crítico, una 
"combinación de parálisis de la razón 
con intoxicación de la fantasía". Dirac 
era escéptico respecto a las preten-
siones imaginativas de Eddington, 
pero estaba impresionado por su filo-
sofía de la ciencia, que subrayaba la 
potencia de un razonamiento pura-
mente matemático, y por su idea de 
una conexión fundamental entre el 
microcosmos y el macrocosmos. 
En su primer artículo sobre cosmo-
logía, Dirac concentraba la atención 
en los números "puros" (o sin dimen-
siones físicas) muy grandes que pue-
den construirse mediante combina-
ción algebraica de constantes físicas 
TEMAS 31 
fundamentales (como la constante de 
gravitación, la constante de Planck, 
la velocidad de la luz, y las cargas y 
masas de electrón y protón), de forma 
que sus unidades de medida se can-
celen en la división. Sostenía que sólo 
esos grandes números tenían signi-
ficado profundo en la naturaleza. 
Por ejemplo, era bien sabido que la 
razón de la fuerza eléctrica entre un 
protón y un electrón a la fuerza gra-
vitacional entre esas dos mismas par-
tículas es un número muy grande, 
del orden de 1039. Es curioso, notaba 
Dirac, que este número se aproxime 
a la edad del universo (tal como era 
estimada entonces), si esta edad se 
expresa mediante una unidad de 
tiempo apropiada, como es el tiempo 
que necesita la luz para atravesar el 
diámetro de un electrón. 
D irac sabía de varias correlaciones de este tipo entre números puros 
grandes, pero en vez de considerar-
las meras coincidencias, mantenía 
que constituían la esencia de un nuevo 
e importante principio cosmológico, 
que bautizó como la Hipótesis de los 
Grandes Números: "Dos cualesquiera 
de los números muy grandes sin 
dimensiones que ocurren en la natu-
raleza estarán conectados por una 
relación matemática simple en la que 
los coeficientes son del orden de mag-
nitud de la unidad". 
A partir de este principio, Dirac 
concluía fácilmente -yen forma muy 
discutible- que la "constante" gra-
vitacional G es inversamente pro-
porcional a la edad del universo , y por 
tanto ha de estar disminuyendo con-
tinuamente con el tiempo cósmico. 
Hacia 1938 Dirac había derivado 
diversas consecuencias empírica-
mente contrastables de la Hipótesis 
de los Grandes Números, y había bos-
quejado su propio modelo de universo, 
basado en ese principio. Pero la mayo-
ría de los físicos y astrónomos -que 
comenzaban a estar muy molestos 
por ese planteamiento racionalista 
de la cosmología- desecharon sus 
ideas. Sólo décadas más tarde, en los 
años setenta, volvería Dirac a ocu-
parse de la cosmología, principal-
mente a partir de su teoría original. 
Defendió su Hi pótesis de los Grandes 
N úmeros y su predicción de una cons-
tante gravitacional variable, contra 
las objeciones basadas en observa-
ciones, e intentó modificar su modelo 
para acomodarlo a nuevos descubri-
mientos, como las microondas de la 
radiación cósmica de fondo. Sus 
esfuerzos no llegaron a obtener reco-
nocimiento, y se convirtió -en cos-
mología como en EDC- en una figura 
FENÓMENOS CUÁNTICOS 
Predicciones de la raya alfa del hidrógeno 
La raya alfa del espectro de hidrógeno ilustra bien los avances de la teoría atómica desde que Niels Bohr la explicara en 1913 como el resultado de 
una sola transición cuántica. Cuando experimentos más perfeccionados reve-
laron una estructura fina en esa raya, Arnold Sommerfeld combinó la teoría 
atómica de Bohr con la teoría de la relatividad especial de Einstein para expli-
car las componentes de la raya como resultado de transiciones distintas. Los 
intentos de derivar el resultado de Sommerfeld a partir de la nueva mecá-
nica cuántica fracasaron hasta 1928, año en que la teoría del electrón de 
Dirac logró mostrar que reproducía exactamente la vieja ecuación de 
Sommerfeld. Medidas ulteriores demostraron una estructura todavía más fina, 
que recibió justificación teórica en las postrimerías de los años cuarenta, a 
través de la moderna electrodinámica cuántica de Julian Schwinger, Richard 
Feynmany Sin-itiro Tomonaga. A Dirac no le gustaba esta nueva teoría, por-
que no era, decía, "más que un conjunto de reglas que funcionan", no una 
verdadera teoría edificada sobre una base "firme y bella". 
o 
C§ 
ü5 
Z 
llJ 
1-
Z 
BOHR (1913) DIRAC (1928) SCHWINGER-FEYNMAN-
TOMONAGA(1947 -48) 
FRECUENCIA 
distanciada de la corriente central 
de investigación. 
Dirac estaba casado con su trabajo, 
y sus colegas le habían tenido desde 
siempre por un solterón empeder-
nido. Por eso produjo una enorme sor-
presa que en 1937 tomase por esposa 
a Margit Wigner, hermana del famoso 
físico húngaro Eugene Wigner. Margit 
era viuda, con un hijo y una hija de 
su matrimonio anterior; de Paul tuvo 
dos niñas. N o es de extrañar que éste 
permaneciera distanciado de la vida 
familiar. "Es la ironía de la vida: Paul 
sufrió terriblemente por parte de su 
padre y éste había tenido con su fami-
lia las mismas dificultades que él", 
ha escrito Margit. "Paul , aunque no 
fuera un padre dominante, se man-
tuvo excesivamente apartado de sus 
hijos. Que la historia se repite, es la 
mayor de las verdades en la familia 
de Dirac." 
Dirac no mostró nunca interés por 
el arte, la música o la literatura, y 
rara vez fue al teatro. Las únicas afi-
ciones a las que dedicó mucho tiempo 
eran caminatas por la montaña y via-
jes. Era un caminante infatigable, y 
en las excursiones demostraba con 
frecuencia una resistencia que asom-
braba a los que sólo le conocían de con-
gresos y convites. Sus viajes le lle-
varon a dar por tres veces la vuelta 
al mundo, y escaló algunos de los más 
altos picos de Europa y América. 
E n septiembre de 1969 Dirac seju-biló de su cátedra Lucasiana. Al 
año siguiente decidió con Margit tras-
ladarse de Inglaterra al templado 
clima de Florida, donde aceptó un 
puesto de profesor en la universidad 
del estado en Tallahassee, ciudad 
donde falleció en octubre de 1984. 
BIBLlOGRAFIA COMPLEMENTARIA 
THE HISTORICAL DEVELOPMENT OF QUAN-
TUM THEORY , Vol. 4, Parte 1: THE FuN-
DAMENT AL EQUATIONS OF QUANTUM ME-
CHANICS , 1925-1926. Jagdish Mehra y 
Helmut Rechenberg. Springer-Verlag , 
1982. 
PAUL ADRIEN MAURICE DIRAC. R. H. Da-
litz y Sir Rudolf Peierls en Biographical 
Memoirs of Fellows ofthe Royal Society, 
vol. 32, págs. 137-185; 1986. 
REMINISCENCES ABOUT A GREAT PHYSI-
CIST: PAUL ADRIEN MAURICE DIRAC. Di-
rigido por Behram N. Kursunoglu y 
Eugene P. Wigner. Cambridge University 
Press , 1987. 
DIRAC: A SCIENTIFIC BIOGRAPHY. Helge 
Kragh. Cambridge University Press , 
1990. 
19 
l 
Cien años 
de misterios cuánticos 
La mecánica cuántica cumple cien años 
combinando éxitos espectaculares con enigmas persistentes 
Max Tegmark y John Archibald Wheeler 
JUlIO l. _ .. -_ ... -
1t" .... ~ .. ' c.QUtll~' 
r , ~~~~:;~"&' 
-:;;:::.~ 
_....--_~-
.~-
Ecuación de Schrodinger; 
interpretación de Copenhague (1926) --l'l~L U1' tlB &. ... -.-=-' ....... 
T 
Planck explica la radiación 
del cuerpo negro (1900) 
-
Teoría de los 
espectros 
atómicos 
de Bohr (1913) 
Principio de exclusión 
de Pauli 
(1925) 
Predicción 
de la condensación 
de Bose-Einstein 
(1924) 
1920 
Principio de indeterminación 
de Heisenberg (1927) 
Ecuación del electrón 
de Dirac (1928) 
Descubrimiento de la superconductividad (1911) 
20 
LAS BASES de la mecánica 
cuántica se sentaron entre 1900 
y 1926, gracias en buena medida 
a los siete físicos de la derecha. 
A lo largo del último siglo, la me-
cánica cuántica no sólo nos ha 
permitido ahondar en nuestra 
comprensión de la naturaleza, si-
no que nos ha proporcionado 
también numerosas aplicacio-
nes técnicas. Pero quedan por 
resolver algunos enigmas funda-
mentales. 
MAXPLANCK 
(1858- 1947) 
Artículo del gato 
de Schrodinger; 
artículo de Einstein, 
Podolsky y Rosen 
sobre el realismo 
local (1935) 
Descubrimiento 
de la superfluidez (1938) 
ALBERT EINSTEIN 
(1879- 1955) 
Electrodinámica cuántica 
y renormalización 
(1948) 
NIELSBOHR 
(1885-1962) 
TEMAS 31 
" E n unos pocos años habre-
mos determinado con una 
buena aproximación las 
grandes constantes de la física, y .. . 
la única ocupación de los hombres de 
ciencia será extender las medidas a 
un nuevo decimal." Recién llegados 
al siglo XXI, en plena celebración de 
los logros anteriores, estas palabras 
resultan familiares. Pero la frase fue 
pronunciada por James Clerk Max-
well en 1871, en la clase magistral 
que impartió con motivo de su incor-
poración a la Universidad de Cam-
bridge; expresaba el sentir común 
por aquel entonces (aunque él no lo 
Interpretación de la 
onda piloto de Bohm 
(1952) 
Interpretación de estado 
relativo o de muchos 
universos (1957) 
• • 
Teorema de Bell 
sobre variables 
ocultas locales 
(1964) 
• •• 
, Invención del láser (1960) 
Teoría de la 
superconductividad 
(1957) 
compartiera). Treinta años después, 
el 14 de diciembre de 1900, Max 
Planck anunció su fórmula para el 
espectro del cuerpo negro y dio así el 
disparo de salida de la revolución 
cuántica. 
Abordamos aquí los primeros cien 
años de la mecánica cuántica, pres-
tando especial atención alIado mis-
terioso de la teoría, para culminar en 
el debate abierto sobre cuestiones 
que van de la computación cuántica 
a la naturaleza misma de la realidad 
física, pasando por la conciencia y los 
universos paralelos . Nos sorprende-
ríamos de la cantidad asombrosa de 
aplicaciones científicas y prácticas 
de la mecánica cuántica. Alrededor 
del 30 % del producto interior bruto 
de los Estados Unidos depende de 
inventos basados en la mecánica cuán-
tica; por citar algunos: semiconduc-
tores de los chips de los ordenadores, 
láser de los lectores de discos com-
pactos o aparatos de formación de 
imágenes por resonancia magnética 
de los hospitales . 
En 1871, los científicos tenían bue-
nas razones para sentirse optimis-
tas. La mecánica clásica y la elec-
trodinámica habían impulsado la 
revolución industrial, y sus ecuacio-
. ,, ~ .~ \ ., 
~i.~ ; 
Descubrimiento 
del quark cima 
(1995) 
Efecto Hall cuántico 
fraccionario (1982) 
1970 
Descubrimiento 
del leptón tau 
(1975) 
Unificación 
electrodébil 
(1973) 
, \ -1: 
Teoría delteletransporte 
cuántico (1993) 
Superconductores 
de altas temperaturas 
(1987) 
Refutación experimental 
de las variables ocultas 
locales (1982) 
Descubrimiento 
de condensados 
Bose-Einstein (1995) 
Teoría de aforo (gauge) 
de Yang-Mills (1954) 
Teoría de la decoherencia 
(1970) 
LOUIS DE BROGLIE 
(1892-1987) 
FENÓMENOS CUÁNTICOS 
ERWIN SCHRODINGER 
(1887-1961) 
MAXBORN 
(1882-1970) 
WERNER HEISENBERG 
(1901-1976) 
21 
Naipes cuánticos. 
La caída del naipe da pie a un misterio cuántico 
S
egún la física cuántica, un naipe ideal en equilibrio 
perfecto sobre uno de sus bordes caerá en ambos 
sentidos a la vez; es lo que se conoce como superposición. 
La función de onda cuántica del naipe (azu~ varía conti-
nuamente, sin saltos, desde el estado de equilibrio (izquierda) 
hasta el misterioso estado final (derecha), en el cual parece 
que el naipe esté en dos lugares a la vez. Aunque el expe-
rimento no es factible con un naipe real, se han puesto de 
manifiesto situaciones análogas en ocasiones innumera-
bles con electrones, átomos y objetos mayores. Uno de los 
retos más persistentes y fundamentales de la mecánica cuán-
tica consiste en comprender el significado de tales super-
posiciones y saber por qué no las vemos nunca en el mundo 
que nos rodea. A lo largo de varias décadas, los investi-
gadores han desarrollado diversas ideas para resolver este 
enigma, entre las que se cuentan las interpretaciones riva-
les de Copenhague y de los muchos universos, sobre la fun-
ción de onda, y la teoría de la decoherencia. 
, , 
, , 
It\ It\ A A,i::,: ~1. __ ~.Ll ! l _ _ _ lli 
nes fundamentales parecían bastar 
para describir todas las propiedades 
de los sistemas físicos. Algunos de-
talles insignificantes empañaban la 
imagen. Así, el espectro calculado pa-
ra la luz emitida por un objeto incan-
descente no coincidía con lasobser-
vaciones. La predicción clásica se 
conocía como la catástrofe ultravio-
leta, porque según ella una intensa 
radiación ultravioleta, acompañada 
de rayos X, debería cegarnos al con-
templar el elemento incandescente 
de una estufa. 
El desastre del hidrógeno 
En su artículo de 1900 Planck con-siguió deducir el espectro correc-
to. Mas, para ello, hubo de introducir 
una hipótesis tan extraña, que estuvo 
años sin creer realmente en ella: toda 
la energía se emitía en cantidades 
discretas, o cuantos. Esta enigmáti-
ca hipótesis resultó ser acertada. 
En 1905 Albert Einstein avanzó un 
paso más, al proponer que la radia-
ción sólo podía transportar energía 
en pequeños paquetes, o "fotones", y 
explicar de esta manera el efecto foto-
eléctrico, gracias al cual funcionan 
hoy las baterías solares y los sensores 
de imagen de las cámaras digitales . 
La física volvió a pasar apuros en 
1911. Ernest Rutherford argumentó 
de manera convincente que los áto-
22 
mos consistían en electrones que orbi-
taban en torno a un núcleo dotado de 
carga positiva, a la manera de un sis-
tema solar en miniatura. Según la 
teoría electromagnética, sin embargo, 
los electrones en órbita emitirían 
radiación continuamente y se preci-
pitarían sobre el núcleo en una billo-
nésima de segundo. Pero los átomos 
de hidrógeno eran muy estables. Tal 
discrepancia representa el error cuan-
titativo más grave de toda la histo-
ria de la física, ya que estima a la baja 
la vida media del hidrógeno en unos 
40 órdenes de magnitud. 
En 1913 Niels Bohr, que había ido 
a la Universidad de Manchester para 
trabajar con Rutherford, dio con una 
explicación que nuevamente impli-
caba a los cuantos. Postuló que el mo-
mento angular de los electrones sólo 
podía tomar ciertos valores defini-
dos, que confinarían a los electrones 
en un conjunto discreto de órbitas. Los 
electrones sólo podrían emitir ener-
gía saltando a una órbita inferior y 
emitiendo un fotón. Al alcanzar la ór-
bita más cercana al núcleo, el elec-
trón no tenía donde saltar y se for-
maba un átomo estable. 
La teoría de Bohr daba cuenta tam-
bién de muchas de las líneas espec-
trales del hidrógeno, es decir, las fre-
cuencias específicas de la luz emitida 
por los átomos excitados . La teoría 
funcionaba con el átomo de helio, pero 
sólo si se ignoraba uno de sus dos 
electrones. De vuelta a Copenhague, 
Bohr recibió una carta de Rutherford 
que le instaba a publicar sus resul-
tados, pero el danés respondió que 
nadie le creería a menos que expli-
cara el espectro de todos los elemen-
tos. Rutherford insistió que, si expli-
caba el hidrógeno y el helio, el resto 
no plantearía problemas. 
Pese a los éxitos de la idea de los 
cuantos, los físicos todavía no sabían 
qué pensar de estas reglas extrañas 
y aparentemente arbitrarias. En 1923, 
Louis de Broglie propuso una respues-
ta en su tesis doctoral: los electrones 
y otras partículas actúan como ondas 
estacionarias, ondas que, cual vibra-
ciones de una cuerda de guitarra, 
adoptan ciertas frecuencias discretas 
(cuantizadas). La idea se salía tanto 
de lo normal, que el tribunal de tesis 
tuvo que recabar la ayuda de Einstein, 
que emitió un informe favorable. 
En noviembre de 1925 Erwin Schrti-
dinger dio un seminario en Zurich 
sobre el trabajo de De Broglie. Al ter-
minar, Peter Debye le preguntó que, 
tratándose de ondas, dónde estaba 
la ecuación de ondas. Schrtidinger 
dedujo entonces la ecuación que lleva 
su nombre, donde se encierra la llave 
de buena parte de la física moderna, 
al tiempo que Max Born, Pascual 
TEMAS 31 
J ordan y Werner Heisenberg propo-
nían una formulación matricial equi-
valente. Gracias a esta sólida fun-
damentación matemática, la teoría 
cuántica realizó progresos espec-
taculares . En pocos años, los físicos 
explicaron multitud de resultados 
experimentales, desde los espectros 
de átomos más complicados hasta las 
propiedades de las reacciones quí-
micas. Pero seguía sin saberse qué 
era esa "función de ondas" que veri-
ficaba la ecuación de Schrbdinger. Es 
el interrogante central de la mecánica 
cuántica, que permanece abierto . 
A Born se le ocurrió que la función 
de onda podía interpretarse en clave 
probabilista. Cuando los físicos expe-
rimentales miden la posición de un 
electrón, la probabilidad de hallarlo 
en una región determinada depende 
de la magnitud de la función de onda 
en esa región. Esta interpretación 
concedía al azar un papel funda-
mental en las leyes de la naturaleza, 
una conclusión que inquietaba pro-
fundamente a Einstein, quien expresó 
su preferencia por un universo deter-
minista con la célebre frase "N o puedo 
creer que Dios juegue a los dados". 
Gatos curiosos 
y naipes cuánticos 
Tampoco Schrbdinger se sentía sa-tisfecho. Las funciones de onda 
podían describir combinaciones de 
distintos estados, las llamadas super-
posiciones. Un electrón, por ejemplo, 
podía estar en una superposición de 
distintas posiciones. Para Schrbdin-
ger, si los átomos y otros cuerpos mi-
croscópicos podían estar en extrañas 
superposiciones, por qué no iban a 
estarlo los objetos macroscópicos, 
hechos de átomos. E ideó un ejemplo 
rebuscado: el famoso experimento 
mental en el que un dispositivo per-
verso acaba con un gato si un átomo 
radiactivo se desintegra. Puesto que 
el átomo radiactivo se halla en una 
superposición de desintegrado y no 
desintegrado, produce un gato que 
está a la vez vivo y muerto, en super-
posición. 
El recuadro "Naipes cuánticos" 
muestra una variante sencilla de este 
experimento mental. Consiste en 
tomar un naipe con un borde impe-
cable y colocarlo en equilibrio sobre 
una mesa. Según la física clásica, el 
naipe permanecerá en equilibrio inde-
finidamente. Según la ecuación de 
Schrbdinger, caerá a los pocos segun-
dos aunque esté perfectamente equi-
librado, y lo hará en ambos sentidos, 
a derecha y a izquierda, en superpo-
sición. 
Si acometiéramos ese experimento 
FENÓMENOS CUÁNTICOS 
ideal con un naipe de verdad, con-
cluiríamos sin duda que la física clá-
sica está equivocada y que el naipe 
cae; siempre lo veríamos caer al azar 
a la derecha o a la izquierda, nunca 
en ambos sentidos a la vez, como pre-
tende la ecuación de Schrbdinger. 
Semejante contradicción aparente 
está relacionada con uno de los mis-
terios originales y más persistentes 
de la mecánica cuántica. 
La interpretación de Copenhague 
de la mecánica cuántica, que se fra-
guó en los intercambios que mantu-
vieron Bohr y Heisenberg a finales 
de los años ve in te del siglo xx, aborda 
este misterio a partir del carácter 
especial de las observaciones o las 
mediciones. Mientras no observamos 
el naipe en equilibrio, su función de 
onda evoluciona de acuerdo con la 
ecuación de Schrbdinger; se trata de 
una evolución continua y gradual que 
recibe el nombre matemático de "uni-
taria" y que tiene diversas propie-
dades interesantes. La evolución uni-
taria produce la superposición en la 
cual el naipe ha caído tanto a la iz-
quierda como a la derecha, pero el acto 
de observarlo provoca un cambio 
brusco en la función de onda, lo que 
se conoce como un "colapso": el obser-
vador ve el naipe en un estado clá-
sico determinado (cara ar riba o cara 
abajo) y a partir de ese momento sólo 
subsiste la parte correspondiente de 
la función de onda. Es como si la natu-
raleza seleccionara un estado al azar, 
de acuerdo con las probabilidades que 
determina la función de onda. 
La interpretación de Copenhague 
permitió calcular en detalle, con sor-
prendente eficacia, el resultado de 
los experimentos, pero no eliminó la 
sospecha de que alguna ecuación 
debía describir cuándo y cómo se pro-
duciría el colapso de la función de 
onda. Para muchos físicos, el no dis-
poner de esta ecuación significaba 
que la mecánica cuántica era intrín-
secamente defectuosa, y que pronto 
la sustituiría una teoría más funda-
mental que incluiría dicha ecuación. 
Por ello, en lugar de debatir las impli-
caciones ontológicas de las ecuacio-
nes, la mayoría