La_identidad_cuantica (1)

Vista previa del material en texto

775 
 
LA IDENTIDAD CUÁNTICA 
 
 
ENRIC PÉREZ CANALS1 
Universitat de Barcelona 
 
 
 
 
 
 
Por más vueltas que le doy ⎼decía Mairena⎼ no hallo la manera de sumar individuos 
 
Los testimonios de la perplejidad ante el hecho ⎼o la posibilidad⎼ de que dos cosas 
sean absolutamente idénticas se pierde en los tiempos. Hallamos restos ya en el pensamiento 
presocrático, y esta cuestión nunca ha dejado de suscitar interés, siendo Leibniz y sus 
indiscernibles seguramente uno de los ejemplos más ilustres al respecto. También los lógicos 
modernos le dieron unas cuantas vueltas ⎼como Juan de Mairena⎼ a la proposición 
fundamental A=A. 
 Las notas que voy a presentar aquí se centran en la aparición de ese problema en la 
física moderna. Suele decirse que la Mecánica Cuántica introdujo una distinción entre 
partículas idénticas distinguibles y partículas idénticas indistinguibles. Veremos que tal 
distinción ha provocado y sigue provocando numerosos equívocos. 
Antes del surgimiento de los debates en torno a la cuantización, ya se hicieron 
cálculos de teoría cinética en los que intervenía indirectamente el ideal de una perfecta 
identidad entre los constituyentes últimos de la materia. Ello sitúa nuestro análisis en el 
medio siglo que va, aproximadamente, desde el último cuarto del XIX hasta el primero del 
XX. O sea, en el tramo donde tuvieron lugar la gran mayoría de descubrimientos que dieron 
pie a teorías que todavía siguen vigentes: el Electromagnetismo, la Mecánica Estadística, la 
Relatividad y la Mecánica Cuántica. 
 De ésta última se han discutido largamente sus múltiples resultados fantásticos, que 
contravienen ⎼o así es como se acostumbra a presentarlos⎼ el sentido común. A saber: la 
dualidad onda-corpúsculo, la entronificación (cosificación) de las probabilidades, el 
principio de incertidumbre, o el aparente cuestionamiento de la causalidad, por ejemplo. 
Trataré de argumentar que el desmoronamiento del concepto de identidad de las partículas 
elementales merecería formar parte de esta lista de descubrimientos desconcertantes. De 
hecho, veremos que todos y cada uno de los mencionados están vinculados, de una manera u 
otra, con la identidad cuántica. 
 
1. LA IDENTIDAD CLÁSICA 
 
Los primeros análisis cuantitativos en los que intervino la identidad de los átomos y 
moléculas surgieron en el ámbito de la teoría cinética, y más en particular en los intentos de 
construir un fundamento mecánico para la joven termodinámica. La teoría cinética viene a 
ser la versión decimonónica del atomismo, que ha ido asomando prácticamente a lo largo de 
 
1 Departamento de Física Fonamental, Universidad de Barcelona. 
776 Enric Pérez Canals 
 
toda la historia, desde Demócrito, pasando por Pierre Gassendi o el propio Isaac Newton, 
hasta Ludwig Boltzmann. El primer tratamiento matemático no se articuló hasta el s. XVIII, 
pero no tuvo continuidad2. Fue en la segunda mitad del s. XIX cuando se instauró cierta 
tradición relativa al tratamiento cuantitativo del movimiento de los átomos, con su 
correspondiente traducción en datos medibles en el laboratorio3. En esos primeros estadios 
⎼en los que se incluye la obra de John Herapath, John J. Waterston, August K. Krönig, o 
Rudolf Clausius, entre otros⎼ el resultado más característico relacionaba la presión p de un 
gas contenido en un volumen V con la velocidad v de sus N moléculas (de masa m): 
 
�� = ����	
. (1) 
 
Esta igualdad conecta una variable medible, la presión, con una propiedad cinética de los 
átomos, su velocidad. Aunque en este contexto todavía no se puede hablar de un concepto 
preciso de identidad, sí parece que se daba por descontada la perfecta igualdad de las 
partículas elementales. De hecho, uno de los protagonistas de esos desarrollos fundacionales, 
el escocés James C. Maxwell, veía en esa propiedad de los átomos una prueba de la 
intervención divina, en contraste (o compensación) con la reciente desacreditación por parte 
de los evolucionistas de la inmutabilidad de las especies de seres vivos [MAXWELL, 2001, 
pp. 330-332]. 
 
1.1 La distribución de Maxwell 
 
Fue precisamente Maxwell quién propuso por primera vez, en 1860, una ley de 
distribución de velocidades, hoy conocida como distribución de Maxwell-Boltzmann (debido 
a la extensión a gases sometidos a un potencial externo que Boltzmann hizo poco después): 
 
��	
, 	�, 	���	
�	��	� = �����. ��
�
����� �!� �"�� (2) 
 
(esta función de distribución indica qué porción de partículas del gas tiene velocidad entre vx 
y vx+dvx, vy y vy+dvy, vz y vz+dvz; a es una constante y T la temperatura). Maxwell se limitó a 
aplicar a los gases una ley de distribución que venía aplicándose hacía unos años a sistemas 
tan dispares como el reparto de nacimientos entre sexos o la distribución de errores en las 
medidas astronómicas. Se puede decir que esa curva, la gaussiana, estaba de moda por aquél 
entonces. Ello no quita para que el mismo Maxwell ofreciera también una justificación física 
de la plausibilidad de la expresión (2). 
 
1.2 El método combinatorio de Boltzmann 
 
La curva de Maxwell (2) no pasa de ser una ley de distribución de velocidades en la 
que el hecho de que las partículas sean idénticas o no no interviene para nada. Sencillamente 
da las proporciones de población que se encuentran en cada rango de velocidades. Tampoco 
la expresión (1) dice nada sobre si las partículas son idénticas o no. 
 
2 Me refiero al cálculo de la presión de un gas que encontramos en la Hydrodynamica de Daniel Bernouilli, de 
1738. 
3 Acerca de esta historia, puede consultarse BRUSH [1976]. 
La identidad cuántica 777 
 
Para situar, ahora sí, el primer cálculo en que ello empieza a ser relevante, hemos de 
acudir a las contribuciones de otro de los padres fundadores de la Física Estadística, para 
muchos el más importante: el vienés Boltzmann. Así como Maxwell apenas ahondó en la 
justificación cinética del segundo principio de la termodinámica, Boltzmann sí dedicó gran 
parte de sus esfuerzos a ello. Fue en esta lucha particular donde acudió a razonamientos 
probabilísticos, iniciando así una tradición que perdura en la Física de nuestros días. 
En 1877, a raíz de una polémica mantenida con su colega austriaco Josef Loschmidt, 
Boltzmann ideó un método combinatorio mediante el que calcular la probabilidad de un 
estado del gas [BOLTZMANN, 1877]. La idea que quería fundamentar era que el equilibrio 
térmico (termodinámico) se corresponde con el estado más probable a nivel molecular 
(mecánico). Boltzmann propuso partir del grupo de números: 
 
#$%, $�, $
, ⋯ '	. 
 
Esta serie ⎼que él llama distribución⎼ indica el número de partículas que hay en la celda 0, 1, 
2, etc., respectivamente. Satisfacen: 
 
)$*
*
= �							y							)$*,*
*
= - 
 
(N es el número total de partículas, εk la energía asociada a la celda k, y E la energía total del 
sistema). A continuación, define la permutabilidad como el número de formas en que puede 
construirse una determinada distribución. Viene dada por la fórmula: 
 
.!
01!02!0�!⋯. (3) 
 
Este es el punto clave. Lo que define un estado es la serie 	
#$%, $�, $
, ⋯ '	. Cada una tiene asociada una cierta permutabilidad, porque pueden ser 
diferentes partículas las que constituyen la misma distribución 	
#$%, $�, $
, ⋯ '	. En otras palabras, una distribución se puede construir con (3) complexiones 
diferentes, que así es como las bautiza Boltzmann. Calculando con estos presupuestos la 
distribución más probable, Boltzmann obtuvola distribución de Maxwell (2). 
 Notemos que las partículas son, a distintos niveles, iguales y diferentes. Se parte de 
que cada partícula es la que es (microestado), para decir luego que a otro nivel eso no 
importa (macroestado), pues si intercambiamos dos cualesquiera el macroestado es el mismo 
pero el microestado no. La neta división entre lo microscópico (no directamente visible) y lo 
macroscópico (medible) que toda teoría cinética conlleva es utilizada aquí por Boltzmann 
para establecer la identidad y la diferencia de las partículas elementales a niveles distintos. 
Este concepto de identidad no fue problematizado, que yo sepa, antes de que entraran 
en escena los desvelos cuánticos. Sí hubo alguna polémica vinculada con la identidad de las 
sustancias consideradas como un todo, no tanto de sus constituyentes últimos. O sea, más a 
nivel termodinámico. Se trata de la ⎼mal denominada⎼ paradoja de Gibbs, en la que no me 
detendré, pero cuya interpretación y solución todavía hoy sigue siendo objeto de debate. 
 
 
 
778 Enric Pérez Canals 
 
2. LOS ELEMENTOS DE ENERGÍA DE PLANCK 
 
Así pues, ni Maxwell ni Boltzmann nunca denunciaron abiertamente que hubiera 
algún tipo de problema con el concepto de identidad. Esta posición se hizo particularmente 
patente en la obra de otro de los artífices de la Mecánica Estadística, el físico norteamericano 
Josiah W. Gibbs. En el último capítulo de sus Elementary Principles in Statistical Mechanics, 
de 1902, propuso incluir o no un factorial de N −objeto posterior de vivas y encrespadas 
controversias⎼ según conveniencia [GIBBS, 1902]. 
La hoy considerada crucial contribución de Boltzmann de 1877 recibió pocas 
atenciones hasta 1900. Fue entonces cuando Max Planck la rescató para incluirla y utilizarla 
en el marco de sus investigaciones del cuerpo negro4. Él fue quién difundió entre los físicos 
−y, hasta donde yo sé, quién primero citó, utilizó, y escribió explícitamente− la relación 
propuesta por Boltzmann entre entropía y probabilidad. En 1900 escribió por primera vez la 
fórmula: 
 
S=k lnW + C (4) 
 
(S es la entropía, k la constante hoy llamada constante de Boltzmann, W la probabilidad de 
un estado y C una constante arbitraria). 
 Si Boltzmann había partido de la probabilidad de un estado para probar que el estado 
más probable coincidía con el de equilibrio térmico, Planck, por el contrario, partió de la 
entropía de la radiación, deducida a partir de los datos experimentales, y, procediendo en 
sentido inverso, obtuvo la probabilidad asociada. Él mismo justificó esta inversión dada la 
falta absoluta de “pistas” en la teoría electromagnética de la radiación para poder hablar de 
probabilidad en un sentido preciso [PLANCK (1901, p. 556)]. 
 Y fue en el trance de deducir o justificar la probabilidad obtenida cuando cuantizó la 
energía, para distribuirla entre resonadores (osciladores cargados). Esos elementos de energía 
eran evidentemente idénticos entre sí, pues no eran más que cantidades de energía totalmente 
intercambiables. Como es lógico, la perfecta identidad de los elementos no alarmó a ningún 
físico. Los primeros que llamaron la atención sobre la peculiaridad del método de Planck 
⎼Einstein y Ehrenfest⎼ se fijaron inicialmente en la cuantización. Poco después también 
señalaron la falta de independencia estadística de esos paquetes energéticos. Pero no su 
indistinguibilidad. 
 En los años siguientes, hubo muchos intentos de afinar el método combinatorio que 
Boltzmann había ideado para los gases en 1877. Este interés tenía mucho que ver con la 
formulación, en 1906, del tercer principio de la termodinámica, por parte de Walther Nernst. 
Para algunos ⎼Planck entre ellos⎼ dicho principio implicaba que la entropía pasaba a tener 
un valor absoluto, siendo la C de (4) igual a cero. Boltzmann no le había dado importancia a 
esa constante, pensando ⎼de acuerdo con la termodinámica⎼ que sólo las diferencias de 
entropía eran medibles. En particular, la termodinámica no permite fijar la dependencia en N 
de la entropía de un gas ideal sin dejar un factor arbitrario (que sólo depende de N) por 
determinar. Muchos pensaron ⎼y muchos otros lo siguen pensando todavía hoy⎼ que esa 
dependencia podía determinarse completamente mediante la Mecánica Estadística, con 
ayuda de la teoría cuántica. 
 
 
4 PLANCK [1900]. Para una historia de los primeros episodios de la teoría cuántica, véase KUHN [1987] o 
SÁNCHEZ RON [2001]. 
La identidad cuántica 779 
 
2.1 De vuelta a las partículas 
 
Es en esta etapa cuando la cuestión de la identidad pasó al primer plano de los 
debates. De estos años provienen muchas de las argumentaciones sesgadas que todavía hoy 
encontramos en algunos libros. Aunque es una misión imposible, trataré de resumir los 
aspectos más importantes, dejando para otra ocasión su descripción pormenorizada5. 
 La complejidad de esta historia tiene mucho que ver con la multitud de factores que 
intervienen. Por un lado, el ya mencionado teorema de Nernst o tercer principio de la 
termodinámica, de interpretación no consensuada (ni siquiera hoy día). Por otro, la extensión 
de la cuantización, hasta el momento ensayada sólo en el ámbito de la radiación y los sólidos 
cristalinos; cómo debía aplicarse a los gases era una incógnita. Este último punto implicaba 
determinar cómo cuantizar el espacio de las fases de un sistema de moléculas libres. 
Finalmente, el significado del principio de Boltzmann (4): no había, ni mucho menos, 
acuerdo en torno al significado de la probabilidad que aparece dentro del logaritmo. Ninguna 
de las respuestas a estos puntos puede considerarse que estuviera bien asentada. 
 El primero que publicó un cálculo explícito de la entropía de un gas ideal aplicando 
la cuantización fue Otto Sackur, en 1911. Para obtener una entropía extensiva, como dicta la 
termodinámica, supuso que el volumen de la región elemental dependía del número de 
partículas. Planck inició su intervención en este asunto tomando una vía muy parecida. El 
siguiente intento vino de la mano de un joven físico holandés, Hugo Tetrode. A él se debe 
uno de los argumentos más comunes todavía hoy día. Razonó que el hecho de que las 
partículas fueran perfectamente intercambiables obligaba a dividir el número total de 
microestados calculados por Boltzmann por N! 6 Por otro lado, su región elemental no 
dependía de N. Sackur, en 1912, rectificó su anterior resultado, defendiendo ahora que, 
efectivamente, ese volumen elemental no debía depender de N. Conservó la extensividad 
aplicando su cálculo sólo a pequeñas regiones de volumen V/N. Otto Stern introdujo en 1913 
un método con el que entraba en juego la presión de vapor. Mediante el estudio del equilibrio 
sólido-gas trató de justificar la polémica dependencia en N de la entropía de un gas ideal. 
Poco después, fue Tetrode quien volvió a rectificar, reaccionando ahora a una crítica de 
Hendrik A. Lorentz. Sin embargo, su justificación del factorial de N siguió siendo oscura. 
 No fueron pocos los que denunciaron los intentos de fijar la dependencia en N 
mediante introducciones ad hoc disimuladas con argumentos poco convincentes. Albert 
Einstein, en una ponencia leída en la Deutsche Physikalische Gesellshaft, en 1916, fue uno 
de ellos. También, como hemos visto, Lorentz, así como su compatriota Obe Postma. Quizá 
la crítica más clara y precisa la hicieron en 1920 Viktor Trkal y Paul Ehrenfest, quienes 
también cuestionaron el método de la presión de vapor de Stern. Erwin Schrödinger, a su vez, 
se sumó a los que no veían con buenos ojos los argumentos basados en la perfecta 
intercambiabilidad de lasmoléculas. 
 
 
5 No voy a dar aquí una bibliografía detallada de los numerosos artículos que mencionaré sólo de pasada. 
Remito al lector interesado a los trabajos más exhaustivos sobre el tema: DARRIGOL [1991], DESALVO 
[1992] y MONALDI [2009]. 
6 Boltzmann también había dividido la suma total de microestados por N!, pero sólo para obtener una entropía 
extensiva. El cambio que eso provocaba en la constante, como hemos dicho más arriba, no le importaba. 
Además, no es difícil argumentar que esta división no puede llevar más que a una corrección aproximada, pero 
en ningún caso a un argumento concluyente; sin ir más lejos, ya se ve que la expresión (3), sin la N!, carece de 
sentido. 
780 Enric Pérez Canals 
 
 Prefiero pasar ya a discutir las contribuciones que cambiaron el panorama, e 
introdujeron, directa o indirectamente, un nuevo concepto de identidad, la que hemos 
denominado identidad cuántica. Con este brevísimo resumen sólo quería poner de manifiesto 
que cuando la identidad de las partículas pasó a ser objeto de debate, la confusión fue colosal. 
Lo reseñado aquí es sólo una pequeña muestra de los múltiples argumentos y 
contraargumentos que se pusieron en juego. Los cálculos involucraban una amalgama de 
preceptos clásicos (espacio fásico, distribución de Maxwell-Boltzmann o ecuaciones de 
Hamilton, por ejemplo), y añadidos cuánticos (cuantización del espacio fásico o principio de 
Nernst, por ejemplo). Pero no se llegó a considerar que la idea de identidad de las moléculas 
debiera cambiar. 
En cualquier caso, estas disputas tuvieron un final súbito al proponer Einstein una 
teoría del gas ideal cuántico. 
 
3. LA ESTADÍSTICA DE BOSE Y EINSTEIN 
 
El cambio de perspectiva llegó en 1924, una vez más de la mano de un físico que no 
era consciente de lo que hacía: el bengalí Satyendra N. Bose [BOSE, 1924]. Decidió enviarle 
a Einstein un manuscrito de su artículo después de que se lo hubieran rechazado los editores 
de Philosophical Magazine. El ya por entonces famoso físico lo tradujo y lo envió a publicar 
a Annalen der Physik con una nota al pie aprovatoria. Esta vez lo aceptaron7. 
Bose dedujo la ley de radiación de Planck, ajustándose lo más posible, en principio, a 
los métodos de Boltzmann. Además, aplicó la cuantización de principio a fin, cosa que no 
había hecho Planck ni los autores que tras él volvieron sobre el problema. Hasta la 
intervención de Bose, la deducción de la ley de radiación contenía una inquietante 
combinación de elementos continuos (ondulatorios) y cuánticos. 
Lo que aquí nos importa es que en la nueva forma de contar estados se ponía de 
manifiesto que dejaba de ser relevante qué partícula ⎼quanta de luz, en este caso⎼ está en 
cada estado monoparticular8. Hay que decir que este aspecto, como hemos dicho más arriba, 
era conocido por los pocos físicos que se habían dedicado a la cuestión. La irrelevancia de 
qué quanta de energía era el que ocupaba un cierto estado era incluso lógica o esperable. La 
auténtica novedad se produjo al trasponer Einstein el método de Bose a partículas materiales, 
al gas ideal. Tardó pocas semanas en hacerlo [EINSTEIN, 1924, 1925a, 1925b]. 
En efecto, tampoco él tuvo en cuenta qué partícula estaba en cada celda, sino sólo 
cuántas había. Siguiendo lo ideado por Bose, en lugar de la serie #$% , $�, $
, ⋯ ', usó: 
 
#�34 , ��4, �
4 , ⋯ '	, 
 
que indica cuántas celdas de energía ,4 no están ocupadas, cuántas tienen una partícula, 
cuántas dos, etc. Una vez conocida esta serie, el estado del sistema queda completamente 
determinado. Vemos pues que ahora ya no hay ningún nivel en el que se distingan estados 
debido a permutaciones entre moléculas, como sí ocurría en el planteamiento de Boltzmann. 
Pero ello no se hizo explícito al principio. 
 
7 Sobre este episodio y, en general, sobre las contribuciones de Einstein a la teoría cuántica y a la física 
estadística, puede consultarse NAVARRO [2009]. 
8 Con la expresión ‘estado monoparticular’ me refiero al ‘estado’ de una partícula, para distinguirlo del ‘estado 
del sistema’. 
La identidad cuántica 781 
 
 En el segundo artículo de su teoría del gas ideal cuántico Einstein analizó las nuevas 
propiedades de la distribución descubierta, que sustituía a la de Maxwell-Boltzmann (2). 
Entre otras cosas, dejó constancia de una cuestión que le había hecho notar, entre otros, su 
colega Paul Ehrenfest: en la nueva estadística las partículas no son estadísticamente 
independientes. Veamos una versión simplificada de esa explicación. Si consideramos 2 
partículas y 2 estados, clásicamente hay 3 distribuciones posibles ({2,0; 0,2; 1,1}) y 4 
complexiones. Son estas: 
 
 
 
Esquema 1 
 
 
En la nueva estadística sólo hay 3 distribuciones y 3 complexiones, pues las de la fila de 
abajo son indistinguibles. Y ya más en general, del contaje de Boltzmann hay que restar 
todos los estados que sólo difieren en permutaciones entre partículas, pues los estados así 
obtenidos son indistinguibles no sólo a nivel macroscópico, sino también a nivel 
microscópico. Queda abolida la diferencia entre si es una partícula la que ocupa un cierto 
lugar o es otra. Siguiendo este esquema, también puede decirse que la permutabilidad de una 
distribución con la que Boltzmann había caracterizado un estado ⎼dada por la expresión (3)⎼ 
pasa a ser siempre la unidad. Es en este sentido que no son estadísticamente independientes: 
el número total de microestados del sistema ya no es igual al producto de los posibles 
estados de una partícula; en cierto modo, las partículas actúan como un todo, y no 
independientemente unas de otras. 
 Al año siguiente, Enrico Fermi hizo un tratamiento análogo aplicable a un tipo de 
partículas sometidas al principio de exclusión de Pauli: los hoy denominados fermiones 
[FERMI, 1926]. Siguiendo el ejemplo que hemos puesto, de entre las 4 opciones ahora sólo 
una es posible, que corresponde a que haya una partícula en cada estado. De este modo, en 
poco más de un año quedaron formuladas las nuevas estadísticas cuánticas: Bose-Einstein 
(bosones) y Fermi-Dirac (fermiones). Pero ¿significa eso que había nacido el concepto de 
‘partícula indistinguible’? Desde luego, ni la terminología ni la idea están en los artículos 
fundacionales de Einstein y Fermi. Ahí sólo encontramos “partículas iguales”, 
“estadísticamente no independientes”. 
 
4. LA IDENTIDAD, ¿PROBLEMA RESUELTO? 
 
La nueva teoría del gas ideal cuántico era compatible con el principio de Nernst y 
proporcionaba una entropía extensiva, todo ello sin añadidos ad hoc. Pero, ¿a qué precio? 
¿Se podía seguir hablando de partículas idénticas? 
 
1
2
1
2
1 2 12
782 Enric Pérez Canals 
 
 Fijémonos que en todas estas descripciones se opera con dos ideas aparentemente 
contradictorias. Por un lado se sigue pensando en partículas, de las que uno se hace una 
imagen de ellas, incluso las cuenta o dispone ordenadamente en su imaginación; por el otro, 
se afirma que no importa cuál es cuál. En términos matemáticos puede decirse que la 
variable N ha perdido su valor ordinal, para pasar a convertirse en un mero cardinal. En 
efecto, N ya no puede ser la etiqueta de la N-ésima partícula, puesto que las partículas no 
pueden etiquetarse. Hay N partículas en total, pero no pueden contarse. Es, no cabe duda, 
una suma un tanto extraña. ¿Estamos ante una nueva afrenta de la teoría cuántica al sentido 
común? 
Pero aún hay más. Ni siquiera debería formularse que hay tantas partículas en un 
estado y tantas en otro,sino que, en cierto modo, todas están en todas partes a la vez. La 
nueva identidad desecha cualquier imagen de un número de partículas concretas en un cierto 
estado, otro en otro estado, etc., pues ello implicaría que sabemos cuál es cuál. De modo que 
el esquema clarificador que hemos presentado ⎼Esquema 1⎼ es más bien falsificador. En la 
estadística de Fermi hemos dicho que sólo hay una opción, que consiste en una partícula en 
cada estado. Pero no debemos imaginarnos algo como esto: 
 
 
Esquema 2 
 
Si no que más bien, el estado debe describirse esquemáticamente como: 
 
 
Esquema 3 
 
O sea, mediante una combinación de estados que quede inalterada en un intercambio de 
partículas. En el primer caso, lo equívoco está en que tenemos una partícula en cada estado, 
lo que sigue estableciendo una diferencia, aunque sea sólo de localización, entre ellas. 
Así que las estadísticas cuánticas nos ponen en un dilema. Finalmente se trata a las 
partículas como verdaderamente idénticas. Pero ello, como por otro lado parece lógico, nos 
impide contarlas, pues no hay forma de distinguir una de otra. El hecho de que haya N en 
total viene impuesto desde un principio. Además, ¿se puede seguir hablando de suma si no 
podemos distinguir los términos? 
El problema es que el tratamiento matemático que la Mecánica Cuántica da de este 
asunto se resiste a ser interpretado en términos corpusculares u ondulatorios. Los objetos de 
la teoría son funciones de onda, ni partículas ni ondas. Y la función de onda no es un objeto 
físico que esté en ningún lado; es un objeto matemático que nos da las probabilidades de 
obtener ciertos resultados en el laboratorio. 
El enigmático concepto de partícula indistinguible no es más que el producto de tratar 
de mantener a toda costa esa visión corpuscular. Este remiendo ha tenido mucho éxito, hasta 
el punto de que, retrospectivamente, se han reinterpretado las confusiones de esos 20 años 
que precedieron a la Mecánica Cuántica, y, también, la indeterminación de la constante de la 
1 2 1
1
2 7 2
La identidad cuántica 783 
 
entropía de un gas ideal, como meras consecuencias de no tratar las partículas como 
verdaderamente indistinguibles. Es decir, como si el concepto de partícula idéntica e 
indistinguible diera cuenta de todos los problemas que habían surgido anteriormente con el 
de partícula idéntica y distinguible. 
 
4.1 La identidad, ¿de qué? 
 
 Hasta dónde yo sé, el primero en utilizar el término ‘indistinguible’ en este contexto 
fue el otro co-creador de la estadística de los fermiones, Paul M. Dirac. En su artículo de 
1926 “Theory of Quantum Mechanics” leemos [DIRAC, 1926, p. 662]: 
 
If the positions of two of the electrons are interchanged, the new state of the atom is physically 
indistinguishable from the original one. 
 
Así que no lo refirió inicialmente a partículas, sino a estados. El “physically” parece insinuar 
que, a pesar de que en el fondo se trata de estados distintos, hay que considerarlos, 
físicamente, como indistinguibles. En la primera edición de su libro The Principles of 
Quantum Mechanics, de 1930, ya encontramos el adjetivo aplicado también a partículas. El 
capítulo titulado “Sistemas que contienen partículas idénticas” empieza así9: 
 
En física atómica si un sistema contiene varias partículas de la misma clase −por ejemplo, un 
conjunto de electrones−, dichas partículas son absolutamente indistinguibles entre sí. Al 
intercambiar dos de ellas no se produce ningún cambio observable [...] Evidentemente una 
teoría aceptable debería considerar que dos estados indistinguibles en toda observación son el 
mismo estado y que el intercambio de dos partículas idénticas no constituye ninguna 
transición. 
 
Es decir, que Dirac no renuncia a la visión corpuscular. En 1927, Richard C. Tolman también 
participaba de ese doble uso. Por ejemplo, la sección “Case of permanently distinguishable 
particles”, de su libro Statistical Mechanics with Applications to Physics and Chemistry, está 
dedicada a la estadística de Boltzmann [TOLMAN, 1927]. En su libro The Principles of 
Statistical Mechanics, de 1938, también emplea las expresiones elementos o partículas 
distinguibles o indistinguibles [TOLMAN, 1938]. 
Pero en un brevísimo artículo publicado en 1927, Paul Ehrenfest y George Uhlenbeck 
ya habían señalado los problemas que conllevaba interpretar corpuscularmente las nuevas 
estadísticas [EHRENFEST & UHLENBECK, 1927]. También fue cauto en ese sentido 
Pascual Jordan. En Statistische Mechanik, de 1944, podemos ver cómo trata los sistemas 
compuestos de lo que él denomina “partículas equivalentes”, sin apelar al concepto de 
indistinguibilidad [JORDAN, 1944]. Jordan dice que los electrones no poseen 
“individualidad” alguna, y expone un análisis curioso. Según él, la nueva identidad se 
constituyó en un proceso de dos fases. La primera, que afecta también a los objetos clásicos, 
se refiere a la perfecta identidad per se de las moléculas mismas. La única diferencia entre 
dos moléculas es su posición y velocidad. La segunda fase del proceso, que ya sólo tiene 
cabida en un contexto cuántico, proviene de la imposibilidad de seguir la trayectoria de las 
moléculas (o, lo que es lo mismo, de determinar exactamente su posición y velocidad). Sólo 
si están lo suficientemente separadas es posible identificarlas. Pero en cuanto se acerquen, 
 
9 DIRAC [1967, p. 221]. Aunque cito la traducción al castellano de la cuarta edición, este fragmento aparece 
idéntico en la primera edición de 1930. 
784 Enric Pérez Canals 
 
como ocurre por ejemplo en una colisión, la nueva mecánica, mediante el principio de 
incertidumbre, establece una imposibilidad inherente de saber cuál es cuál. Seguramente por 
ese motivo, Jordan trata de presentar un tratamiento que evita en lo posible descripciones 
corpusculares, ciñéndose al uso estricto de las funciones de onda de la mecánica cuántica10. 
 Tampoco Schrödinger, en 1946, remite a la indistinguibilidad de las partículas. En sus 
famosas Lectures on Statistical Thermodynamics, impartidas en Dublin en 1946, 
encontramos un capítulo titulado “The n-particle problem”. En él leemos [SCHRÖDINGER, 
1946, pp. 42-43]: 
 
According to modern views, a gas must not be regarded as consisting of n identical systems 
in loose-energy contact, since the energy levels of the gas are not the sums of the energy levels 
of its n constituents in all combinations. They are numerically equal to them, certainly. But any 
two gas levels which differ only by an exchange of roles between two (or more) of the n 
identical atoms or molecules, have to be regarded as one and the same level of the gas. 
 
Y remata: 
 
The underlying physical idea is that the particles are energy quanta without individuality; 
that Democritos of Abdera, not Max Planck, was the first quantum physicist. 
 
Fiel a la mecánica ondulatoria, Schrödinger rehúye una descripción rigurosamente 
corpuscular. El físico vienés nunca ocultó que los trabajos de Einstein fueron la inspiración 
directa para su Mecánica Ondulatoria. Y es que fue Einstein quien, en su segundo trabajo 
sobre el gas ideal cuántico, había citado la idea de Louis de Broglie; como ya había 
propuesto nada menos que en 1909 a partir del análisis de las fluctuaciones de la ley de 
radiación de Planck, la nueva teoría tendría que contener una mezcla de conceptos 
ondulatorios y corpusculares. 
Sin embargo, en la literatura moderna, a partir de los años 60’s y 70’s, el concepto de 
partícula indistinguible se afianzó considerablemente. Así, en Statistical Mechanics de R. K. 
Pathria encontramos el apartado “Systems composed of indistinguishable particles” 
[PATHRIA, 1972,p. 125]. En el libro del mismo título de K. Huang podemos leer [HUANG, 
1963, p. 141]: 
 
Quantum mechanically, atoms are inherently indistinguishable in the following sense: A state 
of the gas is described by an N-particle wave function, which is either symmetric or 
antisymmetric with respect to the interchange of any two particles. A permutation of the 
particles can at most change the wave function by a sign, and it does not produce a new state 
of the system. 
 
En el libro de J. De la Rubia y J. Brey Introducción a la Mecánica Estadística, apartado 
“Partículas Idénticas en Mecánica Cuántica. Condiciones de Simetría”, leemos [DE LA 
RUBIA & BREY, 1978, p. 197 ]: 
 
Al considerarse sistemas consituidos por partículas idénticas desde un punto de vista 
mecánico-cuántico, aparecen ciertos hechos específicos muy importantes que no poseen 
análogos clásicos. […] en Mecánica Cuántica el concepto de identidad de partículas 
 
10 En uno de los que debió de ser uno de los primeros libros de divulgación de la teoria cuántica, de 1938, 
Jordan ya establecía esta distinción entre identidad clásica y cuántica: JORDAN [1950, pp. 100-101]. 
La identidad cuántica 785 
 
tiene un sentido mucho más estricto que en Mecánica Clásica […] Se introduce el 
principio de identidad de las partículas que puede formularse del modo siguiente: En un 
sistema de partículas idénticas sólo son posibles aquellos estados que no cambian 
cuando se intercambian entre sí dos partículas idénticas. 
 
 Yendo finalmente a los libros de divulgación, hay que mencionar que, por ejemplo, 
en el libro de John Gribbin En busca del gato de Schrödinger, este aspecto no aparece 
mencionado explícitamente [GRIBBIN, 1986]. Obviamente, trata ⎼y profusamente⎼ la 
cuestión de la dualidad onda-corpúsculo. Pero para ello, y como es habitual, se centra más en 
experimentos como el de la doble rendija y el efecto de difracción. Algo parecido ocurre en 
un libro de Brian Greene, quien por otro lado confiesa que “de entre los [numerosos asaltos a 
nuestra idea de la realidad] que han sido verificados experimentalmente, no encuentro 
ninguno más extraordinario que la reciente comprensión de que nuestro universo es no local” 
[GREENE, 2006, p. 113]. Dicha no localidad tiene mucho que ver con la indisitinguibilidad 
de la que venimos hablando. Pero tampoco Greene acomete directamente la tarea de analizar 
el “asalto” a la tradicional idea de identidad que provino del estudio del gas ideal. 
Lo que sugiere este fugaz repaso es que el peliagudo asunto de la identidad 
seguramente no es una cuestión que haya quedado bien entendida ni por los propios 
especialistas. El embrollo que se fue creando en esos 20 años de física cuántica ⎼pre-
Mecánica Cuántica⎼ dio lugar a numerosos lugares comunes que han pervivido a pesar de 
ser engañosos. Las “partículas indistinguibles” no son sino un concepto paradójico y 
equívoco fruto del empeño en mantener la descripción corpuscular. Las partículas de un gas, 
encerradas en un cierto volumen a una temperatura, experimentan una transformación al 
bajar la temperatura que tratarlas como partículas. Ya no hay forma de distinguir unas de 
otras. 
El resultado cuántico conduce al clásico ⎼salvo una constante arbitraria⎼ en el límite 
matemático de altas temperaturas y/o bajas densidades. Sin embargo, para el entendimiento, 
ambos tratamientos siguen tan separados como Aquiles y la tortuga. 
 
5. ÁTOMOS E INDIVIDUOS 
 
Para acabar, querría dejar aquí planteada otra cuestión. Está muy documentada la 
estrecha relación entre el nacimiento de la Física Estadística y el rápido desarrollo de las 
Ciencias Sociales en siglo XIX11. El propio Maxwell reconoció esa inspiración. También 
resulta curioso que el problema de la identidad de los átomos y las moléculas no surgiera 
hasta que se trató de justificar el segundo principio, o sea, la flecha del tiempo. Resulta 
curioso porque, en otro orden de cosas, memoria e identidad (ya sea nacional, ya sea 
personal, ya sea de otro tipo), parecen dos conceptos indisolublemente ligados. Como 
explicaba Jordan, tiene mucho sentido equiparar la posibilidad de seguir la trayectoria ⎼o 
historia⎼ de una partícula con su discernibilidad respecto de las otras. O sea, como entre ellas 
son idénticas, no nos queda más remedio que asegurarnos de que cada una sigue siendo cada 
una en todo momento. 
La idea subyacente a estos paralelismos no es otra que el hecho de que del mismo 
modo que la Sociedad está formada de individuos (no divisibles), la materia está constituida 
de átomos. Por estos y otros motivos, son muchos los estudios que tratan de ahondar en ese 
 
11 Véase, por ejemplo, GARBER [1972] y PORTER [1981]. 
786 Enric Pérez Canals 
 
trasvase de ideas entre las ciencias naturales y las sociales que tuvo lugar en la segunda 
mitad del siglo XIX. 
¿Podría extenderse esta conexión al primer tercio del siglo XX? ¿Se produjo algún 
cambio en las concepciones del individuo y de la sociedad en ese periodo tumultuoso de la 
historia occidental que permita vislumbrar algún desarrollo paralelo de las vicisitudes del 
concepto de identidad de las partículas elementales y el papel de los individuos en las nuevas 
democracias? Fijémonos que, según hemos visto, las primeras discusiones en torno a la idea 
de identidad no surgieron hasta entrado el siglo XX. La idea previa, utilizada por ejemplo 
por Maxwell y Boltzmann, apenas se cuestionó. También sería interesante estudiar si puede 
aventurarse alguna relación de este proceso con el cambio de planteamiento y aspiraciones 
que experimentaron las ciencias, y en particular la física, alrededor del cambio de siglo12. 
 Echamos pues el guante. Es este un problema que no por complejo deja de ser 
atractivo. Al fin y al cabo, Juan de Mairena, en la frase con que abríamos estas notas, 
manifestaba su incapacidad para sumar individuos allá por los años 30 del siglo pasado, 
precisamente cuando el concepto de partícula indistinguible se estaba implantando, mal que 
bien, entre los físicos. 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 
 
BOLTZMANN, L. (1877) “Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der 
mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, respective 
den Sätzen über das Wärmegleichgewicht”. Akademie der Wissenschaften, 
Vienna, Sitzungsberichte, Abteilung II, 373-435. 
BOSE, S. N. (1924) “Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese”. Zeitschrift für 
Physik 26, 178-181. 
BRUSH, S. G. (1976) The kind of motion we call heat. New York, North Holland. 2 
volúmenes. 
DIRAC, P. (1926) “Theory of Quantum Mechanics”. Proceedings of the Royal Society 
112, 661-677. 
DIRAC. P. (1967) Principios de Mecánica Cuántica, Barcelona, Ariel. Original inglés 
de 1958 (4ª edición). 
DE LA RUBIA, J. & BREY, J.J. (1978) Introducción a la Mecánica Estadística. 
Madrid, Ediciones del Castillo. 
DARRIGOL, O. (1991) “Statistics and combinatorics in early quantum theory, II: 
Early symptoma of indistinguishability and holism”. Historical Studies in the 
Physical and Biological Sciences 21:2, 237-298. 
DESALVO, A. (1992) “From the chemical constant to quantum statistics: A 
thermodynamic route to quantum mechanics”. Physis 29 (2), 465-537. 
EHRENFEST, P. & TRKAL, V. (1920) “Deduction of the dissociation equilibrium 
from the theory of quanta and a calculation of the chemical constant based on 
this”. Proceedings of the Amsterdam Academy 23, 162-183. 
EHRENFEST, P. & UHLENBECK, G. (1927) “Die wellenmechanische Interpretation 
der Boltzmannschen Statistik neben der der neuren Statistiken”. Zeitschrift für 
Physik 5, 24-26. 
 
12 Véase,por ejemplo, STALEY [2008]. 
La identidad cuántica 787 
 
EINSTEIN, A. (1924) “Quantentheorie des einatomigen idealen Gases”. Preussische 
Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (Berlin). 
Sitzungsberichte, 261-267. 
EINSTEIN, A. (1925a) “Quantentheorie des einatomigen idealen Gases. Zweite 
Abhandlung”. Preussische Akademie der Wissenschaften (Berlin), 
Physikalisch-mathematische Klasse. Sitzungsberichte, 3-14. 
EINSTEIN, A. (1925b) “Zur Quantentheorie des idealen Gases”. Preussische 
Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalisch-mathematische Klasse. 
Sitzungsberichte, 18-25. 
FERMI, E. (1926) “Zur Quantelung des idealen einatomigen Gases”. Zeitschrift für 
Physik 36, 902-912. 
GARBER, E. (1972) “Aspects of the Introduction of Probability into Physics”. 
Centaurus 17, 11-39. 
GIBBS, J. W. (1902) Elementary principles in statistical mechanics. Yale, Yale 
University Press. 
GREENE, B. (2006) El tejido del cosmos. Espacio, tiempo y la textura de la realidad. 
Barcelona, Crítica. Original inglés de 2004. 
GRIBBIN, J. (1986) En busca del gato de Schrödinger. Barcelona, Salvat. Original 
inglés de 1984. 
HUANG (1963) Statistical Mechanics. New York, John Wiley & Sons. 
KUHN, T. S. (1987) La teoría del cuerpo negro y la discontinuidad cuántica, 1894–
1912. Madrid, Alianza Editorial. Original inglés de 1978. 
JORDAN, P. (1944) Statistische Mechanik. Braunschweig, Friedr. Vieweg & Sohn. 
JORDAN, P. (1950) La Física del Siglo XX. México, Fondo de Cultura Económica. 
Original alemán de 1938. 
MAXWELL, J. C. (2001) Theory of Heat. New York, Dover. Original ingles de 1888. 
MONALDI, D. (2009) “A note on the prehistory of indistinguishable particles”. 
Studies in History and Philosophy of Modern Physics 40, 383-394. 
NAVARRO, L. (2009) Einstein, profeta y hereje. Barcelona, Tusquets. Primera edición 
de 1990. 
PATHRIA, R. K. (1972) Statistical Mechanics. Oxford, Butterworth-Heinemann Ltd. 
PLANCK, M. (1900) “Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung in 
Normalspectrum”. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2, 
237-245. 
PLANCK, M. (1901) “Über das Gesetz der Energieverteilung in Normalspectrum”. 
Annalen der Physik 4, 553-563. 
PORTER, T. (1981) “A statistical survey of gases: Maxwell’s social physics”. 
Historical Studies in the Physical Sciences 12, 1, 77-116. 
SÁNCHEZ RON, J. M. (2001) Historia de la física cuántica, I. El periodo fundacional. 
Barcelona, Crítica. 
SCHRÖDINGER, E. (1946) Statistical Thermodynamics. Cambridge, Cambridge 
University Press. 
STALEY, R. (2008) “The fin de siècle thesis”. Berichte zur Wissenschaftsgeschichte, 
311-330. 
TOLMAN, R. C. (1927) Statistical Mechanics with Applications to Physics and 
Chemistry. New York, Chemical Catalog Company. 
TOLMAN, R. C. (1938) The Principles of Statistical Mechanics. New York, Dover.