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GUÍA DE APRENDIZAJE 
INDICADOR DE DESEMPEÑO 
DOCENTE: 
 
Fecha: 05/2013 
Versión: 1 
ANTONIO ELI CASTILLA 
Definición matemática de Relación y de Función 
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado 
Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango. 
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y 
sólo un valor del Recorrido. 
El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas 
ordenadas. 
Cuando se formula una expres ión que liga dos o más objetos entre s í, postulamos una relación (no necesariamente 
matemática) Por ejemplo: Samuel es padre de Irma. (Samuel, Irma) 
Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que: S ---> I 
Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado 
por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B. Si establecemos una relac ión entre los 
elementos de un mismo conjunto. 
Ejemplo de dominio y rango 
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, 
encontrar dominio y rango de la relación. 
Solución 
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es: 
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 
7), (4, 8)} 
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo: 
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)} 
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es pre imagen de 4”. 
Así, el dominio y rango son: D = {2, 3, 4} Rg = {4, 6, 8} 
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida? 
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En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A. 
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango? 
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7. 
Un ejemplo de una representación sagital es: 
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un 
punto. La recta hor izontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las 
yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El eje horizontal se le llama x por defecto y el eje 
vertical se llama y, por defecto. 
Cualquier punto en el plano se identif ica por dos valores, la distancia al eje y, llamada abscisa, y la distanc ia al eje x, 
llamada ordenada, estos dos valores se llaman coordenadas (x, y). 
El Par Ordenado (a, b) Satisface la Relación 
Es para comprobar relac iones. Se dice que (a, b) satisface una relación si al sustituir x=a y y=b en ésta, el enunciado 
resultante es verdadero. Si el par ordenado satisface la relación se dice que el punto correspondiente a las 
coordenadas (a, b) en el sistema de coordenadas cartesianas pertenece a la gráfica de la relación. 
Pasos para determinar si (a, b) pertenece a la gráfica de una relación 
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En un plano cartesiano. 
Paso 1: Sustituir x=a y y=b en la relación. 
Paso 2: Simplificar 
Paso 3: Determinar si la expresión resultante es cierta. 
En caso afirmativo, el punto (a, b) pertenece a la gráfica de la relación. 
Si la expresión es falsa, entonces el punto (a, b) no pertenece a la gráfica de la relación. 
Ejemplo: 
Dada la relación y = 1 – 2x, determine si el punto (2,-3) pertenece a la relación. 
Paso 1: Sustituir x=2 y y=-3 en la relación 
 -3= 1 - 2(2) 
Paso 2: Simplificar. 
 -3 = 1 - 4 
 -3=-3 
Paso 3: Determinar si la expresión resultante es cierta? 
Sí. 
Conclusión: El punto (2, -3) pertenece a la gráfica de la relación. 
Pasos para Encontrar la Gráfica de una relación. 
Paso 1: Construir una tabla de valores para x . 
 x-2-1012 
 y 
 Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación. 
 Paso 3: Completar la tabla. 
 Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy 
 Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos? 
En caso afirmativo, dibuja la gráfica (ubicar la curva de forma adecuada a través de los puntos dados). 
Si no, vuelva al paso 1 y añada más valores x en la tabla. 
Ejemplo 1: Construir la gráfica de: y =-2 x -1 
Paso 1: Construir una tabla de valores para x . 
 x-2-101 
 y 
Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación. 
Si x=-2, entonces y=-2 (-2) - 1=3 
Si x=-1, entonces y=-2 (-1) - 1=1 
Si x=0, entonces y=-2 (0) - 1=-1 
2 
Si x=1, entonces y=-2 (1) - 1=-3 
Si x=2, entonces y=-2 (2)-1=-5 
Paso 3: Completar la tabla. 
x 
y 
-2 
3 
-1 
1 
0 
-1 
3 
1 
-3 
2 
-5 
 
 
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Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy 
Versión: 1 
Pasó 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos? 
Ya hay suficientes puntos para reconocer que es una recta con intercepto en x igual a -0.5 y intercepto 
en y igual a -1. 
Ejemplo 2 
Construir la gráfica de: y = 2x - 2 
Paso 1: Construir una tabla de valores para x. 
 x-2-1012 
 y 
Paso 2: Para cada valor de x encontrar el valor y que satisfaga la relación. 
Si x=-2, entonces y= 2(-2) – 2 = 2 
Si x=-1, entonces y=(-1) – 2 = - 1 
Si x=0, entonces y= 2(0) – 2 = - 2 
Si x=1, entonces y= 2(1) – 2 = - 1 
Si x = 2 , entonces y = (2)2 – 2 = 2 
Paso 3: Completar la tabla. 
 x-2 
 y2 
-1 
-1 
0 
-2 
1 
-1 
2 
2 
Paso 4: Graficar todos estos puntos en el plano xy 
4 
 
 
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Paso 5: ¿Puedes hacer la curva que forman estos puntos? 
Ya hay suficientes puntos para reconocer que es una parábola con interceptos 
en x igual a 2 y -2 y intercepto en y igual a -2. 
PROPIEDADES DE LAS RELACIONES 
Propiedad Reflexiva: 
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Propiedad Simétrica 
Diremos que R es simétrica si 
Gráficamente se representa así: 
a, b A: a R b b R a. 
Si la relación R es simétrica sobre A entonces los pares relacionados se reflejan respecto a la 
diagonal principal. 
Si la relación R es simétrica entonces todo par de elementos que tiene una flecha la tiene en las dos 
direcciones. 
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Propiedad Transitiva 
Diremos que R es transitiva si a, b, c A: [a R b b R c] aRc 
Gráficamente la podemos representar así: 
La relación R es transitiva si cada vez que hay un camino entre tres elementos, también está la flecha 
que comienza en el principio del camino y va al elemento que es final del camino. 
FUNCION 
Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del 
primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una 
función cuando de cada elemento del primer conjunto s olamente sale una única flecha. 
No estamos en presencia de una función cuando: 
De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. 
De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. 
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor. 
A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que 
la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El 
conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se 
llama recorrido de la función. 
CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES 
 Función Inyectiva: Una función es Inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un 
único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se 
repiten. 
Para determinar si una función es Inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. 
Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no. 
 Función Sobreyectiva: Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (también llamada 
Sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f . 
A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un con junto de llegada. 
Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio. 
Ejemplo: 
A = {a, e, i , o , u } 
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B = {1, 3, 5, 7} 
f={(a,1),(e,7),(i,3),(o,5),(u,7)} 
Simbólicamente: f: A B es Biyectiva Û f es Inyectiva y f es Sobreyectiva 
Función Biyectiva: 
Versión: 1 
Sea f una función de A en B, f es una función Biyectiva , si y sólo si f es Sobreyectiva e Inyectiva a la vez . 
Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la 
función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se 
cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una función BIYECTIVA. 
Ejemplo: 
A = {a, e, i, o, u} 
B = {1, 3, 5, 7, 9} 
f={(a,5),(e,1),(i,9),(o,3),(u,7)} 
Teorema: 
Si f es Biyectiva, entonces su inversa f - 1 es también una función y además Biyectiva. 
Bibliografías 
http://quiz.uprm.edu/tutorial_es/graph/graph_right.xhtml representación gráfica de relaciones 
http://mdiscret.blogspot.com/p/ejercicios.html propiedades de las relaciones 
EJERCICIOS FUNCIONES 
Ejercic io nº 1.- Halla el dominio de definición de las funciones siguientes: 
a) y 
1 
x2 1 
b) y 
x1 
x 
Ejercic io nº 2.- Asocia a cada gráfica su ecuación: 
a) y 3x 5 
b) y x 2 2 
c) y 
d) y 
I) 
5 
 x 
3 
4x 2 
II) 
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III) IV) 
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y 
Ejercic io nº 3.- Representa la gráfica de la siguiente función: 
 3 
 x 
5 
1 
Ejercic io nº 4.- Halla la expresión analít ica de la recta cuya gráfica es: 
Ejercic io nº 5.- Representa la gráfica de la siguiente función: y 
x2 4 
1 
1 y 
Ejercic io nº 6.- Representa gráficamente: 
2x 
x 2 
 1 si x 
2si x 
Ejercic io nº 7.- Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared: 
a) Llama x a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados? 
b) Construye la función que nos da el área del recinto. 
Ejercic io nº 8.- Haz la gráfica de la función: 
Ejercic io nº 9.- 
y 0,5 x 3,5 
Halla la ecuación de la recta que pasa por 1, 2 y cuya pendiente es 
fx 
1 
 . 
3 
2x 2 
1 
 1 
Ejercic io nº 10.- Representa gráficamente la siguiente función: 4x 
y 
Ejercic io nº 11.- Dibuja la gráfica de la función: 
x 1 /2 
x2 
si x 
 si x 
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Versión: 1 
Ejercic io nº 12.- Un cántaro vac ío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que nos da el 
peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene. 
Ejercic io nº 13.- Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: 
a) y 
b) y 
1 
x2 
 x 
9 
2 
x2 
2 fx 
Ejercic io nº 14.- Obtén la gráfica de la función: 
2x 1 
y 
Ejercic io nº 15.- Representa la siguiente función: 
2x 2si x 
2 x 4 si x 
1 
1 
Ejercic io nº 16.- El per ímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en 
función de la longitud de la base. 
Ejercic io nº 17.- Halla el dominio de definición de las funciones: 
a) y 
b) y 
2 x 
1 
x2 
3x 
y 
Ejercic io nº 18.- Dibuja la gráfica de la s iguiente función: 
x2si x 
x 1 2 si x 
1 
1 
Ejercic io nº 19.- El precio por establecimiento de llamada en c ierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos 
durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el prec io total de la llamada 
según los minutos que estemos hablando. 
Ejercic io nº 20- Averigua cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones: 
 1 
a) y 
 3x x 2 
b) y x2 1 
Ejercic io nº 22.- Representa gráficamente la función: y 
x2 4x 
x2 
3 
1 
1 si x 
 si x 
2 
2 y 
Ejercic io nº 23.- Representa gráficamente la siguiente función: 
Ejercic io nº 24.- En algunos países se utiliza un sistema de medic ión de la temperatura distinto a los grados 
centígrados que son los grados Fahrenheit. Sabiendo que 10 C 50 F y que 60 C 140 F, obtén la ecuac ión 
que nos permita traducir temperaturas de C a F. 
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