sem 33

Vista previa del material en texto

Tema: ROTACIÓN Y TRASLACIÓN 
DE FIGURAS
Docente: CARLOS MORALES
RAZ. MATEMÁTICO
PROBLEMA 01
Resolución:
Las figuras I, II y III representan tres
láminas cuadradas congruentes y
transparentes, divididas en ocho partes
congruentes. Si la figura I rota 810° en el
sentido horario con respecto a su centro;
la figura II rota 1530° en el sentido
antihorario con respecto a su centro; y la
figura III, rota 990° en sentido horario
con respecto a su centro y luego se
trasladan dos de ellas, sin rotar, sobre la
tercera, ¿qué figura resulta?
Nos piden: El recorrido mínimo que recorre el punto O
Gira 810° horario Gira 1530° antihorario
<> 90° antihorario
Gira 990° horario
<> 270° horario
<> 90° antihorario
<> 90° horario
SUPERPONEMOS:
PROBLEMA 02 Resolución:
En la figura, se muestra un disco circular
de centro O y de radio 6 cm, AB = CD =
6(2 + 3) cm, y BC es una
semicircunferencia de radio 6 cm. Si el
disco rueda sobre ABCD, en el sentido
indicado desde el punto A hasta el punto
D, sin deslizarse en ningún momento,
¿cuál es la mínima longitud que recorre
el punto central O del disco circular?
A) (48+5π) cm B) 2(18+5π) cm
C) (48+13π) cm D) 2(24+8π) cm
E) 36+8π cm
Nos piden: El recorrido mínimo que recorre el punto O
6 6
6 3
12+6 3
18 18
1200
𝐿 =
2𝜋(12)
3
= 8𝜋
Recorrido mínimo del punto O: 18 + 8𝜋 + 18 = 36 + 8𝜋
A B C
D
OOO
6
6 30
0
600
PROBLEMA 03 Resolución:
Se hace rodar un disco circular de centro
O y de radio 4 cm, sobre la trayectoria
ABCDE, sin que se deslice en ningún
momento, desde el punto A hasta el
punto E. Si la semicircunferencia DE tiene
radio 7 cm, ¿cuál es el número de vueltas
que dará el disco con respecto a su
centro hasta llegar al punto F?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 7 E) 5
Nos piden: El número de vueltas.
16𝜋
24𝜋 + 4
9𝜋 + 4
4
4
3
𝑙 =
2𝜋(4)
4
= 2𝜋
2𝜋
𝑙 = 𝜋 3 = 3𝜋
16𝜋
4
24𝜋
9𝜋
Número 
de vueltas
=
𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
2𝜋(4)
=
16𝜋 + 2𝜋 + 24𝜋 + 9𝜋 + 2𝜋 + 3𝜋
2𝜋(4)
Número de vueltas = 7
O
A 16π
24π+ 4
9π+ 4 6π
B
C F
D E
PROBLEMA 04 Resolución:
En la figura se muestra una lámina
hexagonal regular la cual debe hacerse
rodar en el sentido horario, sin deslizarse
en ningún momento, sobre la trayectoria
BMNQ, hasta que el vértice B toque
finalmente por primera vez 𝑁𝑄 . Si
BM = 12 cm, MN = 4 cm y NQ = 12 cm,
¿cuál será la disposición del hexágono en
dicha posición final?
Nos piden: La posición final del hexágono.
600
12𝑐𝑚
4𝑐𝑚
4𝑐𝑚
12𝑐𝑚
La posición final del hexágono:
E)A) B) C) D)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMA 05 Resolución:
En la figura, ABC y PQR son triángulos
equiláteros, PQ = 18, AC = 6 cm. Si ABC es
una lámina metálica y esta se hace rotar
120º en sentido horario (sin que la lámina se
deslice en ningún momento), luego se
traslada de manera que el vértice A coincida
con Q, finalmente se la hace rodar sobre el
lado 𝑄𝑅 , sin que se deslice hasta que el
vértice A coincida con R, ¿cuál es la mínima
longitud que recorre el vértice A?
𝐴)2 9 + 11𝜋 𝐵)2 9 + 13𝜋 𝐶)2(9 + 10𝜋)
𝐷)2 11 + 10𝜋 𝐸)6(1 + 2𝜋)
Nos piden: el recorrido mínimo que recorre el punto A
Si se rota 1200
18
6
1200
A
A
1200
A
A
1200
𝐴6 6
𝐿 =
2𝜋(6)
3
= 4𝜋
𝐿 = 4𝜋
𝐿 = 4𝜋
Recorrido 
mínimo de A
12𝜋+6
A
C Q
R
B
P
PROBLEMA 06 Resolución:
Roberto hace rodar un disco, que
inicialmente se encuentra en el punto Q,
cuyo centro es el punto O y cuyo radio
mide 2 cm, por todo el perímetro del
cartón formado por una semi
circunferencia, dos cuadrantes y el
segmento MN, tal como se muestra en la
figura. Se hace rodar el disco en sentido
horario y sin deslizar. Halle, en
centímetros, la menor longitud que
recorre el punto O del disco hasta el ins
tante que el disco retorna a su posición
inicial.
A) 24+14π
B) 24+15π
C) 24+12π
D) 24+16π
E) 24+11π
Nos piden: La menor longitud que recorre el punto O
2
2
2
2
2
2
22
Recorrido mínimo del punto O
+ 16𝜋24
= 2π(2)
4
4[ ]+ 2π(10)
4
2[ ]+ 2π(2)
2
+ 3(8)
¡¡Ahora a aplicar lo 
aprendido con el test!!
Duración:10 minutos
PROBLEMA 03 Resolución:
Se hace rodar un disco circular de centro
O y de radio 4 cm, sobre la trayectoria
ABCDEF, sin que se deslice en ningún
momento, desde el punto A hasta el
punto F. Si la semicircunferencia DE tiene
radio cm, ¿cuál es el número de vueltas
que dará el disco con respecto a su
centro hasta llegar al punto F?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 7 E) 5
Nos piden: El número de vueltas.
16𝜋
24𝜋 + 4
9𝜋 + 4
4
4
5
6𝜋
𝑙 =
2𝜋(4)
4
= 2𝜋
2𝜋
2𝜋
𝑙 = 𝜋 5 = 5𝜋
16𝜋
4
24𝜋
9𝜋 6𝜋
Número 
de vueltas
=
𝑟𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
2𝜋(4)
=
16𝜋 + 2𝜋 + 24𝜋 + 9𝜋 + 5𝜋 + 2𝜋 + 6𝜋
2𝜋(4)
Número de vueltas = 8
O
A 16π
24π+ 4
9π+ 4 6π
B
C F
D E
PROBLEMA 02 Resolución:
En la figura, se muestra un disco circular
de centro O y de radio 6 cm, AB = CD =
6(2 + 3) cm, DE = EF = 12 cm y BC es
una semicircunferencia de radio 6 cm. Si
el disco rueda sobre ABCDEF, en el
sentido indicado desde el punto A hasta
el punto F, sin deslizarse en ningún
momento, ¿cuál es la mínima longitud
que recorre el punto central O del disco
circular?
A) (48+11π) cm B) 2(24+5π) cm
C) (48+13π) cm D) 2(24+7π) cm
E) 36+7π cm
Nos piden: El recorrido mínimo que recorre el punto O
6 6
6 3 − 6
12+6 3
18 18
1200
𝐿 =
2𝜋(12)
3
= 8𝜋
𝐿 =
𝜋
2
6 = 3𝜋
6
6
6
Recorrido mínimo del punto O:+18 + 8𝜋 + 18 + 3𝜋 + 6 + 6 = 48 + 11𝜋
A B C
D
E F
OOO
6
6
PROBLEMA 04 Resolución:
La figura muestra una lámina metálica
que tiene la forma de un hexágono
regular de lado 9 cm. Si dicha lámina se
hace rodar sobre la superficie en el
sentido indicado, hasta que quede en la
posición inicial por primera vez, ¿cuál es
la longitud en centímetros que recorre el
punto A?
𝐴)6(1 + 2 3)𝜋
𝐵)6(1 + 3)𝜋
𝐶)6(2 + 3)𝜋
𝐷)6 3 + 3 𝜋
𝐸)6(4 + 3)𝜋
Nos piden: La longitud que recorre el punto A
A A
600
9
600 60
0
600
18
600
9
𝐿1
𝐿1 =
𝜋
3
9 = 3𝜋
𝐿2
𝐿2 =
𝜋
3
(9√3) = 3√3𝜋
𝐿3
𝐿3 =
𝜋
3
18 = 6𝜋
𝐿4
𝐿4 = 𝐿2
𝐿5
𝐿5 = 𝐿1
Longitud que recorre el punto A: 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 + 𝐿5 =12𝜋 + 6 3𝜋
Longitud que recorre el punto A: 6(2 + 3)𝜋
PROBLEMA 01 Resolución:
Se tiene tres laminas transparentes, tal
como se muestra en la figura. Si cada una
de estas laminas se las hace girar
1800, 2700, 𝑦 4050 todas en sentido anti
horario, luego se colocan las láminas una
encima de las otras, ¿cuál es la figura
resultante?
Nos piden: La figura resultante
Figura 1 Figura 2 Figura 3
1800 2700 4050
Ubicando una lamina encima de otra
A) B) C)
D) E)
PROBLEMA 01 Resolución:
La Fig. I y Fig. II son láminas
transparentes con forma de triángulos
equiláteros congruentes.
La Fig. I gira sobre su centro 8400en
sentido antihorario y la Fig. II gira sobre
su centro 13200 en sentido horario.
Después de los giros al trasladar la Fig. II
sobre la Fig. I se obtiene:
 
 
Figura 1 Figura 2
PROBLEMA 02 Resolución:
La figura muestra dos fichas idénticas
circulares. La ficha superior es rotada
hasta la posición punteada, sin deslizarse
alrededor de la ficha de abajo. ¿Cuál es
la posición relativa de las caras felices?
 
 
 
PROBLEMA 03 Resolución:
Se tiene una ficha que tiene la forma de
un triángulo equilátero cuyos lados
miden 2 3 cm, y sus vértices son los
puntos M, N y Q, como se muestra en la
figura. Si se hace rodar la ficha sobre el
camino recto 𝐵𝐴, desde el punto B hasta
que el vértice M vuelva a tocar el camino
por primera vez, y BA = 24 cm, ¿cuál es la
longitud mínima que recorre el
baricentro G?
A) 
2𝜋
3
cm B) 
4𝜋
3
cm C) 
7𝜋
3
cm 
D) 
8𝜋
3
cm E) 
5𝜋
3
cm
B
M
N
Q AAA
GG
G
¡¡No se olviden reforzar lo 
aprendido con los problemas 
de la domiciliaria!!